h

Banquet des Anciens

Les inscriptions sont ouvertes

C’est une tradition d’honorer nos anciens en fin d’année. Comme d’habitude un repas leur sera offert le dimanche 17 janvier 2010 à 12h. L’objectif est de faire la fête, de se rencontrer, de passer un bon moment. Le banquet sera animé par Pascale et Juliette, qui présenteront leur spectacle « Bienvenue au cabaret ». Le repas gratuit est ouvert à tous les Plouhatins nés avant le 31 décembre 1937.
Les personnes qui ne peuvent se rendre au banquet pourront recevoir un colis.
Les inscriptions pour le banquet ou pour le colis seront prises en mairie jusqu’au 27 novembre. Le respect de cette date est impératif afin de pouvoir répondre à toutes les demandes.

h

L’événement

Mona Ozouf revient sur les lieux de son enfance

Depuis le 25 septembre, l’école maternelle porte le nom d’ “Ecole maternelle Jacques et Mona Ozouf“. La célèbre historienne a accepté la proposition de la Municipalité, et s’est émue de se retrouver à Plouha, dans l’école où s’est déroulée une partie de sa scolarité. Les anciennes élèves de l’école publique se souviennent de Mona Sohier, leur condisciple des années 30. Devenue une philosophe et une historienne de renom, elle est l’auteur, avec son époux, d’ouvrages de référence sur la Révolution française et sur les instituteurs d’avant guerre.
Son dernier ouvrage, “Composition française, retour sur une enfance bretonne”, raconte son enfance plouhatine avec une expertise d’historienne de l’école, de la Révolution et des femmes. Comment combiner les attachements particuliers et l’exigence de l’universel ? Tel est le questionnement perpétuel.
De nombreuses manifestations ont ponctué cette journée : une conférence de l’UTL l’après-midi dans une salle de L’Hermine archi pleine, la cérémonie devant l’école, une séance de dédicaces avec la Presse de Plouha, puis une émission sur TV Armor.  L’émotion était à son comble quand les anciennes de la classe de Mme Le Quéré de 1939 se sont retrouvées. Les souvenirs sont intacts : la petite bague de Mona, les leçons de couture, la maison des poupées, les Allemands dans “le palais scolaire”. Mona les décrit ainsi dans son livre : “elles sont tout de suite là, joyeuses,  jacassantes, endiablées… il n’y a qu’à se laisser glisser dans le groupe… on y est acceptée, reconnue”. La magie des retrouvailles a fait son effet et une photo de 2009 immortalise maintenant les élèves de 1939.
L’atelier d’éveil musical de l’établissement d’enseignement artistique de la Communauté de communes, avec une chansonnette transformée pour l’occasion, et le bagad Plouha ont apporté leur concours à la réussite de la soirée. Qu’ils en soient remerciés.

Toutes nos écoles publiques sont maintenant clairement identifiées et portent des noms de personnes qui ont contribué à leur renommée.
Le collège : Jean-Louis Hamon était un peintre né à Bréhec.
L’école élémentaire : Théophile Le Lannou fut le 1^er directeur de cet imposant ensemble.
L’école maternelle “Jacques et Mona Ozouf” rend hommage à une historienne-philosophe prestigieuse qui a tenu à associer son époux sans qui, dit-elle, sa « Composition Française » n’aurait jamais vu le jour.

h

A la résidence des Genêts-d’Or

Les animations sont partagées

Afin de rompre l’isolement des personnes âgées résidant sur notre commune, la résidence des Genêts-d’Or s’est inscrite dans un partenariat avec le comité cantonal d’entraide et la résidence Saint-Joseph afin d’ouvrir les activités et animations aux personnes intéressées.
Le programme est fourni aux directions pour être mis à disposition du public retraité.

h

Un déménagement attendu

Le relais parents assistants maternels à L’Hermine

Suite aux demandes de nombreux parents et assistantes maternelles, et en accord avec la Communauté de communes qui les organise, les rencontres du RPAM ont désormais lieu dans la petite salle de L’Hermine le mardi matin de 10h à 12h. Il accueille gratuitement les enfants de moins de 3 ans accompagnés de leurs parents ou de leur assistante maternelle. Encadré par du personnel diplômé, il permet de mettre les petits dans un environnement socialisant et de favoriser les rencontres entre adultes et professionnels.

h

Au Palus

Les jeux font des heureux

Les enfants qui connaissent bien l’aire de jeux du Palus, profitent aujourd’hui de deux nouvelles structures récemment installées. La surface consacrée aux jeux a été agrandie, et le bateau des petits a pris place dans l’enceinte existante, tandis que la structure permettant aux grands de s’exercer à différentes acrobaties a été installée de l’autre côté du ruisseau du Corzic. Les jeux existants ont été redistribués dans ces deux enceintes, selon l’âge des enfants auxquels ils s’adressent. Dès l’an prochain, une passerelle sur le Corzic facilitera le passage d’une aire à l’autre.

aa

Le centre de loisirs municipal de Plouha profite aussi d’un emplacement réservé à côté de l’aire de jeux des grands. Ces travaux marquent la volonté de l’équipe municipale de mettre en valeur le site du Palus, d’autres aménagements suivront.

A noter : une toute nouvelle association de plaisanciers profite d’un emplacement réservé pour le stationnement des bateaux. Renseignements à la mairie.

h

Pour votre été

Des vacances sans voiture

Le service départemental des transports vous propose depuis le 1er juillet et jusqu’à la fi

in de l’été d’aller à la plage… en car ! Depuis le centre-ville de Plouha, devant la mairie,  le Ti’bus vous amène à la plage du Palus en quelques minutes. Il vous suffit de réserver votre trajet la veille avant 17h au 0 810 22 22 22.

Départ de Plouha : 14h30

Retour au départ du Palus à 17h40

x

Une pétition à signer

Pour que l’accès à l’eau devienne un des Droits de l’Homme

Proposition d’un article supplémentaire pour intégrer ce droit à la

DECLARATION UNIVERSELLE DES DROITS DE L’HOMME

“Article 31

Tout le monde a le droit à l’accès à l’eau potable, suffisamment pour la santé et le bien-être de l’individu et de la famille. Personne ne sera privé d’un tel accès et d’une telle qualité d’eau à cause d’une circonstance économique individuelle.“

L’eau est un droit, pas un privilège.

Pour que la répartition des ressources en eau ne soit pas la conséquence d’intérêts commerciaux.

Signez la pétition pour l’adoption de l’article 31a

e

x

Faites-nous part de vos idées, contactez-nous !

communication@mairiedeplouha.fr

Copyright Mairie de Plouha – Service Communication – Mai 2008 – Photos Mairie de Plouha et Nicolas Defives (Gwin Zegal)

In our last installment in this series on Stone duality, we introduced the notion of Heyting algebra, which captures the basic relationships between the logical connectives “and”, “or”, and “implies”. Our discussion disclosed a fundamental relationship between distributive laws and the algebra of implication, which we put to work to discover the structure of the “internal Heyting algebra logic” of a topology.

I’d like to pause and reflect on the general technique we used to establish this relationship; like the Yoneda principle and the Principle of Duality, it comes up with striking frequency, and so it will be useful for us to give it a name. As it turns out, this particular proof technique is analogous to the way adjoints are used in linear algebra. Such analogies go all the way back to work of C. S. Peirce, who like Boole was a great pioneer in the discovery of relationships between algebra and logic. At a deeper level, similar analogies were later rediscovered in category theory, and are connected with some of the most potent ideas category theory has to offer.

Our proof that meets distribute over sups in the presence of an implication operator is an example of this technique. Here is another example of similar flavor.

Theorem: In a Heyting algebra , the operator preserves any infs which happen to exist in , for any element . [In particular, this operator is a morphism of meet-semilattices, i.e., , and .]

Proof: Suppose that has an inf, which here will be denoted . Then for all , we have

if and only if

if and only if

(for all , ) if and only if

for all , .

By the defining property of inf, these logical equivalences show that is indeed the inf of the subset , or in other words that , as desired.

In summary, what we did in this proof is “slide” the operator on the right of the inequality over to the operator on the left, then invoke the defining property of infs, and then slide back to on the right. This sliding trick is analogous to how adjoint mappings work in linear algebra.

In fact, everything we have done so far with posets can be translated in terms of matrix algebra, provided that our matrix entries, instead of being real or complex numbers, are truth values ( for “true”, “false”). These truth values are added and multiplied in the way familiar from truth tables, with join playing the role of addition and meet playing the role of multiplication. In fact the lattice is a very simple distributive lattice, and so most of the familiar arithmetic properties of addition and multiplication (associativity, commutativity, distributivity) do carry over, which is all we need to carry out the most basic aspects of matrix algebra. However, observe that has no additive inverse (for here ) — the type of structure we are dealing with is often called a “rig” (like a ring, but without assuming negatives). On the other hand, this lattice is, conveniently, a sup-lattice, thinking of sups as arbitrary sums, whether finitary or infinitary.

Peirce recognized that a relation can be classified by a truth-valued matrix. Take for example a binary relation on a set , i.e., a subset . We can imagine each point as a pixel in the plane, and highlight by lighting up just those pixels which belong to . This is the same as giving an -matrix , with rows indexed by elements and columns by elements , where the -entry is (on) if is in , and if not. In a similar way, any relation is classified by a -matrix whose entries are truth values.

As an example, the identity matrix has a at the -entry if and only if . Thus the identity matrix classifies the equality relation.

A poset is a set equipped with a binary relation satisfying the reflexive, transitive, and antisymmetry properties. Let us translate these into matrix algebra terms. First reflexivity: it says that implies . In matrix algebra terms, it says , which we abbreviate in the customary way:

(Reflexivity) .

Now let’s look at transitivity. It says

( and ) implies .

The “and” here refers to the meet or multiplication in the rig of truth values , and the existential quantifier can be thought of as a (possibly infinitary) join or sum indexed over elements . Thus, for each pair , the hypothesis of the implication has truth value

which is just the -entry of the square of the matrix . Therefore, transitivity can be very succinctly expressed in matrix algebra terms as the condition

(Transitivity) .

• Remark: More generally, given a relation from to , and another relation from to , the relational composite is defined to be the set of pairs for which there exists with and . But this just means that its classifying matrix is the ordinary matrix product !

Let’s now look at the antisymmetry condition: ( and ) implies . The clause is the flip of ; at the matrix level, this flip corresponds to taking the transpose. Thus antisymmetry can be expressed in matrix terms as

(Antisymmetry)

where denotes the transpose of , and the matrix meet means we take the meet at each entry.

• Remark: From the matrix algebra perspective, the antisymmetry axiom is less well motivated than the reflexivity and transitivity axioms. There’s a moral hiding beneath that story: from the category-theoretic perspective, the antisymmetry axiom is relatively insignificant. That is, if we view a poset as a category, then the antisymmetry condition is tantamount to the condition that isomorphic objects are equal (in the parlance, one says the category is “skeletal”) — this extra condition makes no essential difference, because isomorphic objects are essentially the same anyway. So: if we were to simply drop the antisymmetry axiom but keep the reflexivity and transitivity axioms (leading to what are called preordered sets, as opposed to partially ordered sets), then the theory of preordered sets develops exactly as the theory of partially ordered sets, except that in places where we conclude “ is equal to ” in the theory of posets, we would generally conclude “ is isomorphic to ” in the theory of preordered sets.

Preordered sets do occur in nature. For example, the set of sentences in a theory is preordered by the entailment relation ( is derivable from in the theory). (The way one gets a poset out of this is to pass to a quotient set, by identifying sentences which are logically equivalent in the theory.)

Exercises:

1. (For those who know some topology) Suppose is a topological space. Given , define if belongs to the closure of ; show this is a preorder. Show this preorder is a poset precisely when is a -space.
2. If carries a group structure, define for elements if for some integer ; show this is a preorder. When is it a poset?

Since posets or preorders are fundamental to everything we’re doing, I’m going to reserve a special pairing notation for their classifying matrices: define

if and only if .

Many of the concepts we have developed so far for posets can be succinctly expressed in terms of the pairing.

Example: The Yoneda principle (together with its dual) is simply the statement that if is a poset, then if and only if (as functionals valued in ) if and only if .

Example: A mapping from a poset to a poset is a function such that .

Example: If is a poset, its dual or opposite has the same elements but the opposite order, i.e., . The principle of duality says that the opposite of a poset is a poset. This can be (re)proved by invoking formal properties of matrix transpose, e.g., if , then .

By far the most significant concept that can be expressed in terms of these pairings that of adjoint mappings:

Definition: Let be posets [or preorders], and , be poset mappings. We say is an adjoint pair (with the left adjoint of , and the right adjoint of ) if

or, in other words, if if and only if . We write . Notice that the concept of left adjoint is dual to the concept of right adjoint (N.B.: they are not the same, because clearly the pairing is not generally symmetric in and ).

Here are some examples which illustrate the ubiquity of this concept:

1. Let be a poset. Let be the poset where iff ( and ). There is an obvious poset mapping , the diagonal mapping, which takes to . Then a meet operation is precisely a right adjoint to the diagonal mapping. Indeed, it says that if and only if .
2. Dually, a join operation is precisely a left adjoint to the diagonal mapping .
3. More generally, for any set , there is a diagonal map which maps to the -tuple . Its right adjoint , if one exists, sends an -tuple to the inf of the set . Its left adjoint would send the tuple to the sup of that set.
4. If is a Heyting algebra, then for each , the conjunction operator is left adjoint to the implication operator .
5. If is a sup-lattice, then the operator which sends a subset to is left adjoint to the Dedekind embedding . Indeed, we have if and only if (for all ) if and only if .

As items 1, 2, and 4 indicate, the rules for how the propositional connectives operate are governed by adjoint pairs. This gives some evidence for Lawvere’s great insight that all rules of inference in logic are expressed by interlocking pairs of adjoint mappings.

Proposition: If and where and are composable mappings, then .

Proof: . Notice that the statement is analogous to the usual rule , where refers to taking an adjoint with respect to given inner product forms.

We can use this proposition to give slick proofs of some results we’ve seen. For example, to prove that Heyting algebras are distributive lattices, i.e., that , just take left adjoints on both sides of the tautology , where is right adjoint to . The left adjoint of the left side of the tautology is (by the proposition) applied to . The left adjoint of the right side is applied to . The conclusion follows.

Much more generally, we have the

Theorem: Right adjoints preserve any infs which exist in . Dually, left adjoints preserve any sups which exist in .

Proof: where the last inf is interpreted in the inf-lattice . This equals . This completes the proof of the first statement (why?). The second follows from duality.

Exercise: If is a Heyting algebra, then there is a poset mapping for any element . Describe the left adjoint of this mapping. Conclude that this mapping takes infs in (i.e., sups in ) to the corresponding infs in .

Nous connaissons enfin les adjoints à Pierre Cohen qui l’aideront dans sa tâche. Ils représentent la diversité et l’ouverture avec des hommes et des femmes représentant diverses Catégories Socio-Professionnelles. Pour en savoir plus, cliquez ici.

Le maire et les quatre adjoints ont été élus à l’unanimité par le nouveau conseil municipal, hier soir :

maire : Vincent Popelier

1er adjoint : Gérard Malthet

2e adjointe : Céline Bastin

3e adjointe : Emmanuelle Dupin

4e adjoint : Noël Bonnet

Les commissions et les délégations seront mises en place à la prochaine étape. Vincent Popelier a seulement annoncé dans son court discours la mise en place d’une commission communication concertation qui aura la mission (essentielle) de créer des liens les plus riches possibles entre la municipalité et l’ensemble des fierboisiens.

Voici quelques photos :

l’accueil par Régis de Lussac…

… le premier discours de M. le maire…

… le nouveau conseil municipal désormais installé…

… les quatre adjoints : (de gauche à droite) Gérard Malthet, Céline Bastin, Emmanuelle Dupin et Noël Bonnet …

… et en route vers le vin d’honneur à l’Auberge Jeanne d’Arc !

Le code électoral oblige le nouveau conseil municipal à se réunir dans les huits jours suivant l’élection municipale, afin de désigner le nouveau maire, ainsi que les adjoints.

Le nouveau conseil municipal est donc convoqué vendredi 14 mars, à 18H00, en salle du conseil, pour l’élection du nouveau maire et des adjoints.

Cette séance, qui ne comporte pas d’autre point à l’ordre du jour, est bien entendu publique, même si les votes se font obligatoirement à bulletin secret.

Jusqu’à l’élection du maire, c’est le doyen d’âge qui présidera la séance !