Hoje acordei com um dielema, sou novo, mas nos meus um terço da vida tenho um problema. Como dizer aos que ficam tudo que sinto e aos que prezo tudo o que eu quero. Para isso deixarei um testamento, espero que seja lido depois de muito tempo, pois ainda faltam dois terços da vida para ai sim eu ir residir ao relento.

Aos nascituros deixo minha expectativa de um mundo mais belo; aos bebês, o sorriso de um pai, às crianças, deixo  os meus sonhos; aos pré-adolescentes, a minha calma e serenidade; aos adolescentes, o respeito aos mais velhos; aos adultos, o meu desejo de ser criança; aos idosos, meu orgulho de não fazer nada diferente do que foi feito; aos abandonados, deixo minha família;  aos pobres, minha nobreza e aos ricos, a minha humildade.

A minha mãe, deixo a lembrança do meu primeiro aniversário; ao meu pai, a lembrança do último abraço; ao meu irmão, nossas brincadeiras em comum; as minhas tias, o agradecimento da minha educação;  aos meus filhos, o meu amor e a minha proteção; já aos meus amigos, deixo os momentos vívidos e aos meus amores, os momentos inesquecíveis. Por fim a todos deixo a minha saudade e para mim o desejo de existir eternidade.

Daniel Farias
26 de Agosto de 2009

Communism - Capitalism - Pragmatism

1. Pragmatismo vs Pragmática

Tenho de confessar que desconhecia a existência da Pragmática, muito menos a diferença entre os adjectivos “pragmático” e “pragmatista”. Pragmatista refere-se a um seguidor da escola de filosofia designada por Pragmatismo, enquanto pragmático é alguém que se dedica ao estudo da Pragmática – um ramo da linguística. Apesar de ter encontrado no dicionário online da Priberam a aceitação dos termos pragmático e pragmatista como sendo referentes ao pragmatismo, considero importante, à luz da necessidade da escolha de um título permanente, a utilização do termo pragmatista no caso deste blogue, que se refere ao pragmatismo.

2. Pragmatismo

De acordo com a Wikipédia, o pragmatismo “constitui uma escola de filosofia, com origens nos Estados Unidos da América, caracterizada pela descrença no fatalismo e pela certeza de que só a acção humana, movida pela inteligência e pela energia, pode alterar os limites da condição humana. Este paradigma filosófico caracteriza-se, pois, pela ênfase dada às consequências – utilidade e sentido prático – como componentes vitais da verdade”. Os seus fundadores foram Charles Sanders Pierce e William James ambos americanos e cujos princípios difundiram-se largamente pela América e além dela.

No meu pequeno estudo sobre pragmatismo do ponto de vista formal, deparei-me com um fenómeno interessante – a miríade de artigos disponíveis online criticando o pragmatismo, bem como a rotulação de quaisquer afirmações ou raciocínios pragmatistas que divergem do que alguns acharam de definir como sendo o pragmatismo.

Não quero entrar em discussões filosóficas formais, tanto que não tenho conhecimentos para isso, nem formação adequada. Sei no entanto o que eu entendo por pragmatismo e que acredito ser o ponto fundamental desta filosofia aquando da sua criação e que passo a apresentar.

O pragmatismo está inerente ao método científico, a saber:

1. Observação

2. Pergunta

3. Hipótese

4. Experiência

5. Análise

6. Conclusão

Aparentemente aqui falamos da ciência indutiva, em oposição à dedutiva. No entanto, não considero que isto seja rigorosamente verdade. É certo que a dedução tem em última análise axiomas ou mesmo postulados como raízes a partir dos quais a lógica assume o comando, criando um tronco, ramos, folhas, flores, logo outras raízes, outros troncos, e assim por diante. Neste ponto assumo uma divergência pessoal com esta dicretização formalista, i.e., para mim os axiomas e até mesmo os postulados fundamentais são na verdade observações. Observações intelectuais (ou até mesmo espirituais/extra-sensoriais) e/ou conceptuais, mas ainda assim observações. Ok, acredito que esta última frase pareça completamente distante da realidade. Passo a explicar…

O ponto 1 do método científico não se referente unicamente a observações da natureza, nem sequer do visível. Tomamos como exemplo os cinco axiomas da geometria Euclidiana e apesar de um deles não ser tão “óbvio” assim (falo do caso das rectas infinitamente paralelas), os outros são auto-evidentes e são “observados” na natureza de uma forma conceptual. Por exemplo, ao observarmos uma recta na natureza (imperfeita, claro), o salto mental para uma recta perfeita, pertencente ao mundo das ideias de Platão, não representa a criação de um axioma vindo do nada, mas sim da dedução que parte de uma observação (indução). Considero que isto deita por terra a existência de uma ciência séria puramente dedutiva baseada em “axiomas puros” ou postulados.

Uma estigmatização aplicada frequentemente ao pragmatismo é a ênfase dada ao ponto 1 do método científico – as ideias têm de vir da observação. No entanto acredito que apresentar o pragmatismo dessa forma é desonesto, porque induz à interpretação do mesmo como um ponto de vista básico e limitado, ignorando que o mesmo não rejeita a existência de uma lógica consistente, desde que enrraizada em fundamentos no mínimo auto-evidentes (axiomas) induzidos de alguma forma (como descrito acima) de um qualquer tipo, relativamente aceitável, de observação. Outra crítica falaciosa é a de que a aplicação/comprovação de uma ideia (hipótese) que assim se torna verdadeira (teoria) é feita no imediato, ignorando as consequências. Ora, tal não é de todo verdade e é uma manipulação semântica do conceito quando este fala na aplicação imediata prática e concreta. No pragmatismo, as decisões devem sempre ter em vista as consequências globais de uma sociedade, ou qualquer outra entidade, no maior prazo possível.

Em suma, para mim, o pragmatismo é mais que tudo uma atitude, um conceito muito simples que incide na necessidade de aferir sempre que possível as ideias com dados experimentais, observações passadas e presentes, e que combate a dedução muitas vezes demagoga a que normalmente se assiste, que a dada altura perde a sua ligação com a realidade. Nada disto seria de suprema importância pragmatistamente não fosse o facto de que cada vez mais se tomam decisões (que atingem todos nós) com base em raciocínios preconceituosos, ou onde os fundamentos não são consistentes, são falsos, e algumas vezes até mesmo inexistentes. Um exemplo actual é a proibição em França do uso de telemóveis nas escolas primárias devido ao suposto perigo das ondas electromagnéticas – algo que está longe de ser confirmado e que na verdade a própria OMS refere não existirem sequer indícios sérios de que tal possa acontecer. Mas isto não quer dizer que as hipóteses deverão ser abandonadas, ou, pior que isso, que se deva rumar no sentido contrário só porque uma qualquer ideia não seja passível de ser comprovada empiricamente. De facto esse é um erro igualmente comum (“só acredito vendo”), mas que é tudo menos pragmático, já que promove uma negação de uma possível realidade por simples desconhecimento da mesma. Há sim, que colocar as coisas em perspectiva, manter um espírito aberto e acima de tudo honesto, não embarcando em sagas de cepticismo que a dada altura se tornam autistas e que vão tendendo a longo prazo para a esterilidade.

Nota: Não estaria a ser honesto, omitindo um célebre postulado que é o da constante C das teorias da relatividade restrita e geral de Einstein. De facto a postulação da velocidade da luz constante independente do meio ainda não foi comprovada. No entanto o que importa nestas teorias é que os resultados são comprovados experimentalmente nos domínios em que são aplicadas. Resta salientar que as mesmas teorias só foram aceites como uma maior aproximação à “verdade do universo” a partir do momento em que as mesmas foram postas à prova. Por exemplo (se não me falha a memória) na descoberta do planeta Plutão (agora despromovido), bem como das experiências realizadas com relógios postos em terra e em aeronaves. Mais uma vêz, não é o seguimento fundamentalista do método que importa, mas sim o seu espírito e princípios subjacentes, que se podem resumir na conexão obrigatória das deduções à realidade, sendo que até lá não passam de hipóteses, ainda que apresentem fios de lógica consistentes e aparentemente irrefutáveis.

Por outro lado temos como exemplo de uma ciência virtualmente dedutiva pura aquela de Aristóteles, com a consequência de que a esmagadora maioria das suas teorias foram uma após outra refutadas. Na minha opinião, a defesa das mesmas durante a idade média pela Igreja, cujos dogmas tão em voga nesse tempo (que eram igualmente um belo exemplo de uma filosofia dedutiva pura), constituiu a maior contribuição para o entardecer da refutação universal de tais disparates.

3. Referências

Pragmática (linguística):

http://www.filologia.org.br/soletras/1/07.htm

Pragmatismo:

http://www.pragmatism.org/

Método Científico:

http://www.molwick.com/en/scientific-methods/024-reasoning.html

OMS (Electromagnetic fields and public health – Base stations and wireless technologies):

http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs304/en/index.html

Lógica dedutiva de Aristóteles:

http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/

Igreja e Aristóteles (basta “googlar” para saber mais, mas gostei deste artigo amador):

http://beinghuman.blogs.fi/2008/08/07/why-did-catholic-church-fall-in-love-wit-4557117/

Relatividade restrita e geral (para leigos – conceitos simples e directos):

http://www.astronomynotes.com/relativity/s1.htm

O quinto axioma da geometria Euclidiana:

http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate

Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico, necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.

Axiomas

Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.

Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.

Axiomas básicos

1-    El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.

2-    El plano tiene infinitos puntos y rectas.

3-     La recta tiene infinitos puntos.

4-    Por un punto pasan infinitas rectas.

5-    Por una recta pasan infinitos planos.

6-    Por dos puntos pasa una única recta.

7-    Por tres puntos no alineados pasa un único plano.

En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si pertenece a una misma recta.

8-    Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.

El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos y estos se unen para formar las rectas y los planos, entre otras cosas. A estos cuatro conceptos; espacio, punto, recta y plano; no los definiremos, aunque todos tenemos una idea de ellos y conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos conceptos son ideales, es decir, existen únicamente en la mente humana.

Los puntos son fundamentales en la construcción del conocimiento geométrico, no tienen dimensión y cuando hablemos de ellos los nombraremos con letras en imprenta mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones de un punto.

Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con líneas que no se doblan.

Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar diversas superficies planas, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de block, etc.

Un autocalificado abuelo, cerveza en mano, compartió su idea sobre la vida y el amor con otros viajeros.

Al primero, 18 años.
“Mujeres… no se puede vivir con ellas ni sin ellas.”

Pareja de amigos, edad adulta.
“El que no se ria de la vida… que se joda.”

Los alumnos de la Facultad de Informática parecen tenerlo claro…

No existen cachondas para toda tía perteneciente a FIC

Y las correspondientes respuestas:

-Existe una única cachonda para toda tía perteneciente a "Caminos". -¿Y cuando se gradúe qué? -Nos jodemos y nos hermanamos con FIC

“Amar é sempre ser vulnerável. Ame qualquer coisa e certamente seu coração vai doer e talvez se partir. Se quiser ter a certeza de mantê-lo intacto, você não deve entregá-lo a ninguém, nem mesmo a um animal. … O único lugar além do Céu onde se pode estar perfeitamente a salvo de todos os riscos e perturbações do amor é o inferno.”

C.S. LEWIS

Clive Staples Lewis, mais conhecido como C.S. Lewis, nasceu em Belfast, Irlanda, no ano de 1898. Cresceu nos meios dos livros da seleta biblioteca particular de sua família criando, através de sua fértil criatividade e imaginação,  um mundo próprio. Seus pais eram anglicanos, porém Lewis se decidiu pelo ateísmo. Em 1916, aos 18 anos, foi admitido no University College, Oxford, mas seus estudos foram interrompidos pelo serviço militar na Primeira Guerra Mundial. Em 1918 retornou à universidade. De 1925 a 1954 Lewis ensinou no Magdalen College, e de 54 até sua morte, em Oxford. Foi professor de Literatura Medieval e Renascentista na Universidade de Cambridge. Tornou-se altamente respeitado neste campo de estudo, tanto como professor como escritor. Em 1930 volta à fé cristã e passa a defendê-la assiduamente. É autor da famosa série de livros Crônicas de Nárnia, adaptadas com sucesso para o cinema, e de tantos outros livros tais quais Cartas de um Diabo a Seu Aprendiz, A Abolição do Homem, Cristianismo Puro e Simples e Surpreendido pela alegria, foi considerado um dos maiores teólogos de todos os tempos. Morreu em Oxford no ano de 1963.

Mais uma vez insisto na necessidade de se educar financeiramente, se é que você pretende ter algum dia uma vida financeira saudável. Segue abaixo uma lista de livros recomendados para iniciantes no tema :

1. Dinheiro,os segredos de quem tem – Gustavo Cerbasi, www.editoragente.com.br . Livro menos conhecido de Cerbasi,fácil de ler,em formato de bolso e bem didático.

2. As leis do dinheiro para mulheres – Eliana Bussinger, www.campus.com.br  . Apesar do título pode ser lido por homens e mulheres uma vez que o tema interessa a todos. Bastante explicativo e de leitura agradável ,vale a pena .

3.Os segredos da mente milionária – T.Harv Eker ,  www.sextante.com.br  . Embora siga o  estilo de auto ajuda considero importante como aprendizado de conceitos sobre riqueza.

4. Casais Inteligentes Enriquecem Juntos – Gustavo Cerbasi , www.maisdinheiro.com.br . Mais um livro de Cerbasi este direcionado a casais. Bastante prático e bem elucidativo. ótimo prá quem tá começando a vida a dois.

5. O Milionário mora ao lado – Thomas Stanley , William Danko, www.manole.com.br . Livro mais técnico, que mostra como vivem os milionários americanos.  Com certeza bem diferente do que voce imagina.

5.Os axiomas de Zurique , Max Gunther , www.record.com.br  . Mais dirigido para aqueles que aplicam em renda variável. De qquer modo se voce quer aprender um pouco sobre risco, Os Axiomas é leitura obrigatória.

Em breve nova lista de livros recomendados.

Paul Strathern en “Russell en 90 minutos” describe brevemente y con amenidad el teorema de Gödel:

“Segun la prueba de Gödel, todo sistema complejo, tal como las matemáticas, que trate de fundarse sobre axiomas está condenado a contener proposiciones aparentemente verdaderas cuya verdad o falsedad no puede ser probada dentro de él. Se tiene que introducir siempre otro axioma de fuera del sistema a fin de probar la verdad o la falsedad de tales proposiciones. Pero tan pronto como se introduce el nuevo axioma que las hace demostrables se generan nuevas proposiciones cuya verdad o falsedad no puede ser probada. En otras palabras, todo intento de basar las matemáticas en un conjunto de axiomas fundamentales está condenado al fracaso. Las matemáticas son incompletas por su propia naturaleza.”

Esta es una explicación del teorema de Gödel que, aunque deba precisarse más (ver en la Wikipedia para mayor profundidad), es bastante útil para entender los argumentos de mi blog en que hago uso de este teorema.

Ludwig Wittgenstein, en “Observaciones sobre los fundamentos de la matemática” -”Remarks on the Foundations of Mathematics-3rd edition”- (Alianza Editorial), en la Parte III (1939-1940):

“81. (…)

Imaginemos el caso siguiente: Las gentes de una tribu determinada sólo pueden calcular oralmente. Todavía no conocen la escritura. Enseñan a sus hijos a contar en el sistema decimal. Entre ellos son frecuentes los errores al contar, hay números que se repiten o se dejan sin que ellos lo noten. Pero un viajero graba fonográficamente su modo de contar. Les enseña la escritura y a calcular por escrito y les muestra, entonces, cuán a menudo se equivocan al calcular sólo oralmente. -¿Han de admitir esas gentes, ahora, que antes no calculaban propiamente? ¿Que sólo andaban a tientas, mientras que ahora caminan? ¿No podrían, incluso, decir: que antes les iban mejor las cosas, que su intuición no tenía que cargar con el material muerto de la escritura? Con máquinas no puede atraparse el espíritu. Dicen, por ejemplo: “Sí, como afirma tu máquina, antes repetíamos cifras, seguramente estaba bien como estaba.”

(…)”

“82. (…)

Si yo estuviera empeñado, por ejemplo, en producir contradicciones con fines estéticos, digamos, entonces aceptaría sin reparos la prueba inductiva de consistencia y diría: carece de toda esperanza el querer producir en este cálculo una contradicción; la prueba te muestra que eso no funciona. (Prueba en la teoría de la armonía.)”

Desde mi punto de vista, las matemáticas se pueden ver como “diseños”: tomamos diferentes ideas y los vamos, en cierta forma, “construyendo”. Al fin y al cabo, nosotros al operar “construimos” relaciones: podemos escoger entre representar un “4″ como un “2+2″, un “1+3″ o lo que sea, pero la “operación escogida” la plasmamos nosotros (cabe pensar que todas esas igualdades -relaciones- están ahí desde siempre, somos nosotros quienes elegimos una u otra de las ya existentes de un “mundo mental matemático” como el que imagina Roger Penrose; lo mismo puede pasar con los axiomas). En principio, podríamos formular cualquier relación, por ejemplo, “2+2=5″, o “3+4=576″; ya que en un primer momento bien pudiéramos no decidir tomar el “principio de no contradicción”. Luego podemos escoger añadir un sistema axiomático en el que incluyamos el principio de no contradicción y esas relaciones dejarían de ser válidas. Y así, poco a poco, ir añadiendo o quitando axiomas según los necesitemos para algo que queramos hallar, para desarrollar ideas que se nos ocurran o para que se ajuste a lo observado experimentalmente en un sistema matemático que dé cuenta de algún proceso físico.

Bajo esta forma de verlo, Gottlob Frege, en sus “Las Leyes Fundamentales de la Aritmética” (“Die  Grundgesetze der Arithmetik”), aunque esté desarrollando -tal y como le avisó Russell por carta, formulando la “paradoja de Russell”- un sistema inconsistente, éste sería “posible y existente” si no tomamos el principio de no contradicción (eso sí, un sistema inconsistente no tiene demasiado interés para los matemáticos ya que, por el “principio de explosión”, de una contradicción se puede derivar como “cierta” cualquier cosa). Es decir, los sistemas formales -consistentes- no son más que algunos casos particulares -con principio de no contradicción, etc.- de los múltiples que podemos escoger de un “mundo mental”; cogemos ideas -o las “creamos” imaginándolas- de forma que se puede decir que las “construimos”; y, aunque esté presente el teorema de incompletitud (o incompletud) de Gödel, como podemos “añadir” axiomas según los necesitemos o queramos (la completitud, aunque deseable, no resultaría imprescindible).

¿Pueden acaso estas ideas -más o menos acertadas- servir para tratar de trascender las posturas de formalistas, constructivistas y logicistas en un nuevo marco conceptual filosófico que concilie y englobe las tres posturas lo más cordialmente que se pueda?

Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …

Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …

Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

Los puntos s on los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.

Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.

• I – Axiomas de conexión (1 – 7)

• II – Axiomas de orden (1 – 5)

• III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)

• IV – Axiomas de congruencia (1 – 6)

• V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)

He encontrado un intento de “demostración matemática de la Inexistencia de Dios” que me gustaría comentar.

Aquí está lo principal del artículo en que se trata el tema:

Los creyentes han escogido como cierta una cosa (a Dios) de entre todas las cosas que podrían existir, pero que no han sido percibidas de ningún modo.

De ahora en adelante, denominaremos SUPERCONJUNTO a “el conjunto de cosas que podrían existir pero que no han sido demostradas”.

Dentro del SUPERCONJUNTO están incluidos los 2 conjuntos siguientes:

- Cosas que no existen (luego no se han demostrado)
- Cosas que existen (pero no se han demostrado)

Las “cosas que no existen” es un conjunto infinito (creo que esto es evidente).
Las “cosas que existen” es un conjunto finito (también evidente).

Estos son los dos axiomas sobre los que se edifica la argumentación. Si alguno no fuera cierto, el razonamiento perdería todo su fundamento.

DESENLACE:

Los creyentes han elegido el elemento “Dios” de entre todos los elementos del SUPERCONJUNTO, con la esperanza de que esté incluido dentro del subconjunto “cosas que existen” y por tanto fuera del subconjunto “cosas que no existen”.

Resumiendo, han escogido un elemento de un conjunto formado por 2 subconjuntos: uno finito y otro infinito.

¿Qué probabilidades hay de que el elemento escogido esté dentro del subconjunto infinito?
Según la teoría de probabilidades, es fácilmente demostrable que el elemento escogido pertenecerá al conjunto infinito con un 100% de probabilidad.

Por tanto, existe un 0% de probabilidades de que “Dios” pertenezca al conjunto “cosas que existen”. Es decir, una persona que afirma que “Dios existe”, se equivoca con toda probabilidad.

Matemáticamente, Dios no existe.

Posteriormente, el autor, Eduardo Couselo (duducou@hotmail.com), indica que este artículo no debe interpretarse como una demostración pretenciosa de la inexistencia de Dios, sino como un artículo curioso que ayuda a ver el tema desde un punto de vista distinto y nuevo, que intenta trasladar la discusión sobre la existencia de Dios a la discusión sobre la veracidad de los axiomas. Si tales axiomas se consideran ciertos, el razonamiento es impecable.

Se podría estar de acuerdo con esta afirmación considerando válida en todo caso la lógica formal aristotélica usada habitualmente (cosa que he puesto en duda en mi blog), pero no hay que olvidar que cuando entran en juego magnitudes infinitas la argumentación se vuelve más riesgosa y endeble (con lo que el razonamiento podría no ser tan “impecable”) y hay muchas consideraciones a tener en cuenta. De hecho, Gauss llega a decir lo siguiente:

Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemáticas nunca se permite. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción.

De todas formas, querría hacer un apunte en lo que se refiere a la veracidad de los axiomas; en concreto el segundo: Las “cosas que existen” es un conjunto finito. No sabemos exactamente si el universo es finito o infinito, y aún en el caso de que se diera lo primero, cabría preguntarse si no pudiera haber “algo” que, existiendo, no estuviera contenido entero en él (por no mencionar que puedan existir universos paralelos no conectados con el nuestro).

Couselo también dice que su artículo va más allá de demostrar la inexistencia de Dios. Lo que demuestra es que al dar por existente algo, debe hacerse en base a algún indicio o prueba. Estas líneas que escribo no pretenden llegar a una respuesta concluyente absoluta sobre la existencia o no de Dios, sólo considerar ciertos  aspectos del tema y algunas posibilidades desde un punto de vista un tanto estricto (si hay algún “resquicio” que pueda dar lugar a algo, procuro considerarlo). Por ello, creo hay que decir que el hecho de que no tengamos evidencia empírica de algo no implica su inexistencia. Incluso habría que replantearse qué es o qué quiere decir que algo “exista”, si es necesario que algo se dé en el mundo físico para que se pueda decir que exista (pues, por ejemplo, los pensamientos que tenemos no tienen por qué reproducirse materialmente y, pese a ello, “existen” -entendiendo por pensamientos “aquello que se piensa”, no los impulsos bioeléctricos cerebrales en sí mismos:  algo así como el mundo platónico de las ideas-).

También cabe añadir que si suponemos que podamos redefinir a Dios como un Ser capaz de manejar la inconsistencia, la contradicción (como hice hace un tiempo: ver preferentemente mi post “Dios, completitud e inconsistencia”), con argumentos lógico-matemáticos formales no se podría demostrar la inexistencia de Dios al no poderse considerar válidos ya que estarían entrando en un espacio al que no deben ni pueden acceder (un sistema lógico formal no puede tratar aquello que está fuera de la lógica formal, puesto que la lógica formal exige ciertos principios que no se verificarían en un dominio en el que, por ejemplo, no se cumpla un principio tan fundamental como el de no contradicción -muchas demostraciones de la inexistencia de Dios hacen uso de técnicas como la de reducción al absurdo o la de contradicción-). El problema pasaría a ser de carácter ontológico más que lógico: Dios es o no es, existe o no, independientemente de las tentativas de demostración o refutación (es decir, con nuestros sentidos, las herramientas de que disponemos y nuestras limitaciones por estar en el mundo terrenal, si Dios existe, existiría aunque no se pudiera demostrar -siempre y cuando no tuviéramos una prueba de Él empírica, perceptual o sencillamente una “revelación divina“, que devolvería el problema al ámbito de la creencia personal y de la Fe-; y es más, podría darse que Dios no exista y no se pudiera refutar su existencia, ya que necesitaríamos ser nosotros mismos omniscientes para afirmarlo); y las propiedades que pudiera tener en caso de que exista sólo podemos intuirlas o suponerlas, ya que nuestras mentes no todopoderosas -limitadas- no pueden, en principio, aprehender todo esto por entero.

Por último, sería conveniente señalar que con el zen y los koans de sus escritos quizá se pudiera llegar a tener la llave a al menos una mínima comprensión o percepción de estas cuestiones acerca de las contradicciones y la esencia del mundo (que supuestamente se alcanzaría con el satori o “iluminación”).

En el libro “Mecánica Teórica” de Murray R. Spiegel, en el Capítulo 1, viene un esquema de lo que son las bases de un sistema axiomático. Lo aplica a la Mecánica, pero serviría para cualquier “forma de pensamiento axiomático” (un tema que he tocado anteriormente en el post “Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez”.):

FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS DE LA MECÁNICA

Un desarrollo axiomático de la mecánica, como para cualquier otra ciencia, debe contener los siguientes elementos básicos:

1. Términos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad, ya que en último término cualquier definición debe basarse en algo que no está definido.

2. Afirmaciones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expresados en forma matemática, de los cuales se espera que lleven a descripciones válidas de un fenómeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiomas o postulados, se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llamados leyes.

3. Términos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean los términos o conceptos no definidos.

4. Afirmaciones demostradas. Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de definiciones y axiomas.

Un ejemplo de la “forma de pensamiento axiomático” está dado por la geometría euclidiana en la que punto y recta son conceptos no definidos.

Unas palabras de una persona a la que debemos mucho por sus numerosos libros didácticos los estudiantes de ciencias e ingenierías; sirva este post en honor suyo.

Todo teorema matemático tiene incluido en sí mismo de forma tácita el sistema axiomático A (con sus axiomas, definiciones, postulados, reglas, etc.) en el que se sustenta. Supongamos un teorema T. Este teorema T sería en realidad T’ (T prima), de tal forma que T’ se enunciaría de la siguiente manera: “Supuesto un sistema axiomático A, deberá cumplirse T”.
T’ es un artificio para revelar explícitamente la dependencia de unos axiomas y reglas del teorema T original.
T’ se va a cumplir siempre; es una tautología, como todas la proposiciones matemáticas si están correctamente derivadas (para una visión conceptual acerca de los sistemas axiomático conviene consultar en el Capítulo 8 (“Axiomática”) del libro “Conceptos de matemática moderna” de Ian Stewart).
Los axiomas y las reglas que se usan en un sistema matemático están implícitas, se encuentran de forma tácita en cada teorema, el que no se expliciten no significa que no estén presentes.
Por hacer una analogía con el ajedrez, un teorema sería la posición de las piezas tras una partida con todos sus movimientos; con unas reglas mediante las cuales se han realizado los movimientos, que pueden ser comparables con los pasos lógicos de una demostración matemática; y con unos axiomas, que podrían simbolizarse en la posición inicial de las piezas y cuántas y cuáles son.
Pero los sistemas matemáticos no se pueden aplicar a la ligera en el mundo físico, no son válidos siempre cuando se trasladan como herramienta para hacer Física y tratar de comprender el universo. Por ejemplo, tomando los axiomas de Euclides generamos la geometría euclídea; pero eliminando el axioma de las paralelas podemos conseguir geometrías no euclídeas (según qué postulemos obtendremos la geometría hiperbólica o la elíptica), distintas de la anterior (donde el axioma de las paralelas sería falso) pero también consistentes (es decir, con un sistema de axiomas que no se contradicen entre sí).
Todos estos sistemas axiomáticos son válidos formalmente, lo discutible sería el ámbito de aplicación en Física. La geometría euclídea se podría usar en un ámbito clásico -por así llamarlo- de la Física y las no euclídeas se usarían, por ejemplo, en cosmología.

La carrera no siempre la ganan los mas veloces sino aquellos que siguen corriendo

Sobre el riesgo

Primer axioma

La preocupación no es una enfermedad sino una señal de salud.
• Si usted no está preocupado, no está arriesgando lo suficiente.
Existen varias formas de medir el riesgo de una inversión, pero no hay ninguna forma científica de medir el riesgo que cada uno de nosotros somos capaces de soportar y que estamos dispuestos a correr. Lo mejor que podemos hacer es: ser honestos con nosotros mismos y definir el nivel de preocupación con el que estamos dispuestos a vivir.

Siempre juegue por apuestas importantes
¿Que caso tiene obtener una ganancia mínima por nuestra preocupación?, Si lo vamos a hacer, que valga la pena.
Quizá usted quiera comenzar modestamente y luego aumentar la dosis de preocupación en la medida que adquiere experiencia y confianza en sus desiciones.
Cada especulador encuentra su propio nivel de riesgo tolerable.

• Resista el atractivo de la diversificación.
Con poco capital para especular hay que enfocar los esfuerzos para obtener el efecto máximo de nuestras propias desiciones.
Con mucho capital para especular, también hay que procurar el máximo efecto de nuestras desiciones.
La diversificación, tal como se entiende en la comunidad inversionista, significa repartir el dinero en muchas pequeñas especulaciones en lugar de hacerlo en unas pocas, grandes.
La idea es la de conseguir una seguridad o una “cobertura”.
Pero lo primero que obtendremos es la seguridad de no obtener un rendimiento extraordinario, porque lo mismo que nos protege de perder, nos mantiene lejos de hacer grandes ganancias.
En un portafolios diversificado, el hecho de que unos instrumentos bajen, se compensa con los instrumentos que suben.

Sobre la codicia
Segundo axioma

¿Qué pasaría si mantengo la inversión un poco más?
• ¡Cuidado!, este es el primer indicio de la codicia.
Apartarse del éxito es un acto sumamente difícil.
En el curso de un juego de azar, de una inversión o de una especulación, de vez en cuando se presentan rachas de buena suerte, son eventos que la condición humana disfruta tanto que tiende a querer que sigan por siempre, no obstante el sentido común hace reconocer que esta situación no puede prolongarse indefinidamente.

Hay que tener cuidado con el sentimiento de que en momentos alcistas del mercado podemos quedarnos durante períodos mas largos con alguna inversión. Recordemos que básicamente la estrategia del especulador se concentra en la reinversión de las utilidades.

Decida por adelantado cuánto quiere ganar y cuando lo tenga, ¡venda!
• Para enfriarnos la mente es mucho mas fácil fijar desde el mometo de la compra el nivel al que estaríamos dispuestos a vender, inclusive, si es posible, colocar la orden de venta a ese precio por adelantado.
• No intente ganarlas todas.
Todos los dias usted verá oportunidades pasar, no se preocupe, mejor enfóquese en alcanzar alguna de ellas y punto.

Sobre la esperanza
Tercer axioma
Cuando el barco comienza a hundirse, no rece. Sin esperar más hay que saltar del barco y salvarse.

• Quedarse atascado en una empresa perdedora es el peor dolor monetario que hay”, es por esto que recomienda no esperar a que el barco se encuentre sumergido hasta la mitad para tomar una decisión, lo que hay que hacer es evaluar la situación, buscar evidencia confiable y tangible para ver las posibilidades de una mejora, y si éstas no convencen se debe proceder a liquidar el asunto en cuestión antes de que los demás comiencen a sentir pánico, sin esperar más hay que saltar del barco y salvarse.

Acepte las pequeñas pérdidas como un hecho de la vida.
Espere recibir varias pérdidas pequeñas en lo que logra conseguir una gran
ganancia.

Sobre los pronósticos
Cuarto axioma

No se puede predecir la conducta humana.

• Las desiciones de compra y venta en los mercados de valores son tomadas por seres humanos.
Lo que se puede observar es la conducta pasada y la conducta pasada tiene poco que ver con el control de la conducta futura del ser humano.
Desconfíe de cualquiera que afirma que conoce el futuro, aunque sea confusamente.
Recuerde que el mercado valora por adelantado los pronósticos, pero todo se resume a un juego de expectativas.

Escuchar la opinión de un tercero frecuentemente es un error, nadie puede adivinar lo que va a pasar en el futuro.
Todos los oráculos financieros o económicos esperan que nadie examine sus métodos y resultados cuidadosamente. No obstante a veces tienen razón y esto es lo que los hace peligrosos.
Es mejor seguir sus propias convicciones y de preferencia, invertir en una industria o sector que usted conozca y por lo tanto pueda saber si las expectativas son alcistas o a la baja.

Sobre los patrones
Quinto axioma
El caos no es peligroso hasta que comienza a parecer ordenado.

• La ilusión de un orden en el mundo del dinero es una percepción efímera que ha engañado a millones y seguirá atrapando a inversionistas.
Todo el mundo está buscando la fórmula que explique con un enfoque racional y sensato cómo enriquecerse, lamentablemente ésta no existe.

A pesar que de tiempo en tiempo aparecen patrones que descifran en forma exitosa el caos de las inversiones, éstos no son una base firme sobre la cual fundamentar los planes financieros.

• ¡Cuidado con la ilusión de las gráficas!
La vida no es una linea recta, no se deje hipnotizar por líneas rectas que imagine en una gráfica.

• ¡Cuidado con los espejismos de la causalidad y la correlación!
No se deje engañar por las coincidencias.

• ¡Cuidado con la falacia del juego de azar!

En las apuestas en los juegos de azar hay una teoría que sugiere que uno debe de poner pequeñas cantidades de dinero inicialmente en una apuesta, para probar suerte y si éstas pequeñas apuestas van bien, entonces uno puede ir por la grande. Pero esto no es cierto, lo único que prueba es que las rachas ganadoras pueden suceder, pero nada garantiza cuánto durarán y cuándo terminarán.

Sobre la movilidad
Sexto axioma
¿Cree que es bueno tener raíces?

• La mayoría de las personas caen en el error de tratar su dinero como tratan a las personas, les da confianza sentirse confortables respecto a sus inversiones y se cobijan con un sentimiento de despreocupación.

Dejar una inversión inmóvil significa bajar la guardia, en el mundo del dinero esto es algo que no se puede hacer por que dejar de preocuparse permite que los activos echen raíces…cuidado, su patrimonio podría estar a la deriva en un mar lleno de tiburones.

No se deje atrapar en una inversión que no resultó por sentimientos como: lealtad, nostalgia o venganza.

• Nunca dude en abandonar una inversión si aparece algo mas atractivo.

Sobre la intuición
Séptimo axioma
¿Le hace caso a las corazonadas?

• El tema de la intuición tiene una muy singular relación con el dinero, es un tópico complicado e imperfectamente comprendido, incluso llega a ser problemático para muchas personas.
Se puede confiar en una corazonada solamente si se la puede explicar.
Nunca confunda una corazonada con una esperanza.

Sobre el consenso
Octavo axioma
¿Ustéd acostumbra seguir al rebaño?

• En la era democrática que vivimos, frecuentemente tendemos a aceptar sin crítica las opiniones de la mayoría, es más, desde chicos nos entrenan para aprobar la voluntad de la mayoría.
Permitir que el juicio de la mayoría conduzca su vida financiera le puede costar dinero.

En palabras de Descartes: es más probable que la verdad haya sido descubierta por unos pocos que por muchos.

Cuándo todos saben algo sobre una inversión, es que ya es demasiado tarde.

Sobre el optimismo y pesimismo
Noveno axioma
¿Pertenece Ud. al club de los optimistas?

• Todo mundo piensa que el optimismo es una característica agradable de tener, las personas optimistas son almas alegres de buena compañía, todo lo contrario de los pesimistas o mejor catalogados como aguafiestas.
A pesar de que la sensación de esperanza y buenas expectativas causa un estado de beneplácito entre hombres y mujeres, hay que ser muy cautelosos respecto al papel que juega el optimismo en su vida financiera personal.
El optimismo significa esperar lo mejor, pero la confianza significa saber cómo manejar lo peor.

• Nunca haga un movimiento si simplemente se siente optimista.

Sobre la religión y lo oculto
Décimo axioma
Es improbable que el plan de Dios para el universo incluya hacerlo rico.

• Si la astrología fuera eficáz, todos los astrólogos serían ricos.
• Se pueden tener supersticiones, siempre y cuando las mantenga en su lugar.

• No se confíe y llegue a un estado de despreocupación.

En ocasiones la conducta humana nos hace buscar explicaciones de lo que no comprendemos en poderes sobrenaturales, de tal forma que omitimos algunos razonamientos por qué están “fuera de nuestro alcance” y dejamos ciertas decisiones al buen juicio del Señor.

¡Precaución! El dinero, la religión y/ó lo oculto son una mezcla explosiva muy peligrosa para la salud financiera de cualquier persona.

Sobre la terquedad
Décimo primer axioma
Si no da resultado la primera vez, olvídelo.

• Nunca trate de salvar una inversión “promediando hacia abajo”.

¿Es ustéd perseverante? La perseverancia es como el optimismo, siempre ha tenido buena propaganda.

En muchas áreas de la vida, esta actitud de carácter y determinación para acatarse a un plan en pro de conseguir un ideal puede rendir gratificantes frutos, no obstante, tratándose de dinero se puede transformar en terquedad y causar serios estragos financieros.

Sobre la planeación
Décimo segundo axioma
¿Le gusta hacer planes a largo plazo?

• Nadie puede conocer el futuro, para lidiar con esta incertidumbre el hombre ha creado una serie de mecanismos que prometen resolver lo inesperado, solucionar el porvenir.

Cuidado, Los planes de largo plazo engendran la peligrosa creencia de que el futuro estará bajo control.
Es importante que nunca se tome en serio sus planes de largo plazo, o los de otras personas.

Leyendo el libro “La trama oculta del universo”, del ‘premio Templeton’ John D. Barrow, he encontrado un pasaje relacionado de alguna forma con mi post “Ciencia, Matemáticas y Medida” que por su interés voy a transcribir (la negrita es mía):

<<Bourbaki debe responder también al reto de contestar a la pregunta crucial, planteada aquí por Einstein:

¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano, independiente de la existencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?

Él ve que el verdadero curso de la obra de los matemáticos es la elucidación de las estructuras básicas de la lógica. Si se exploran éstas en su totalidad englobarán todas las interrelaciones sancionadas por la lógica. El mundo que nos rodea se ve como una realización particular de algunas de estas estructuras para que puedan ser ejemplificadas o modeladas por las interrelaciones concretas de las cosas materiales. Puede dársele la vuelta al hecho de que las estructuras matemáticas formales carezcan de significado: en lugar de mantener que no se aplican a nada, uno puede mantener que se aplican a todas las posibilidades. El universo observado no es sino una de ellas.>>

Para aclarar a quien no lo sepa quién es “Nicolas Bourbaki”, diré que es el pseudónimo colectivo –supuestamente tomando el apellido de un oficial del ejército que destacó en la guerra franco-prusiana– de un grupo de matemáticos franceses surgido a finales de los años 30 del siglo XX que pretendían revisar los fundamentos de las matemáticas dotándolas de un mayor rigor siguiendo un método axiomático. En palabras de Barrow en el libro citado: “Ellos personifican las últimas esperanzas de los formalistas; prevalecen la axiomática, el rigor y la elegancia monótona; los diagramas, los ejemplos y lo particular son evitados en favor de lo abstracto y lo general.” Y es que hay muchas dificultades, enfoques y puntos de vista a la hora de definir las matemáticas y sus fundamentos.

Por Rodrigo Campos 

Dizem que conselhos são uma forma de nostalgia. Por isso, vou escrever com base nas minhas próprias experiências e observações, que são fruto dos meus acertos e muitos tropeços. Fiquem tranqüilos, pois não recomendarei que usem “filtro solar”. Buscarei ser breve e direto. Irei sintetizar “tudo” em 12 conselhos, que, como são meus, minhas verdades, chamarei de Axiomas Fields, sendo eles:

1º  - O que quer que deseje ser, seja qual profissão for, que ela seja por opção, nunca por falta dela. A falta de sinceridade profissional é um dos piores pecados que podem ser cometidos e, normalmente, condena o pecador à mediocridade profissional, seguida de frustração pessoal.

2º - A formação acadêmica, certificações e cursos são muito importantes. As certificações, por exemplo, no mínimo, mudam o seu currículo de pilha na mesa do avaliador. Porém, é o modo como você faz o seu trabalho e produz resultados objetivos (mensuráveis) que irá definir você como profissional. Obtenha títulos e certificados, mas faça com que os seus resultados possam falar mais por você que eles. Resultados são sempre o melhor cartão de visita. Se tiver dúvidas quanto a isso, pense em Bill Gates e Steve Jobs, por exemplo.

3º - Vivemos em uma sociedade de consumo. Por isso, evite torna-se um bem que vai ser consumido e descartado. Ao invés disso, torne-se um ativo. Não só “ganhe”, “faça” dinheiro. Evite modismos. Tenha visão holística. Seja pragmático(a). Neste aspecto, desconfie de 50% daquilo que ver e 100% daquilo que escutar, sempre.

4º - Envolva-se em encrencas boas. Escolha projetos e desafios complexos. Não se acomode. Não tenha auto-piedade. Não se envergonhe por ser competente. Descubra e potencialize o seu talento. Seja diferente do “rebanho”. Você tem que saber o valor da sua contribuição para o todo, e também deixar isso claro aos demais. É cruel, mas é assim que o “mercado” funciona.

5º - Desenvolva sua rede (networking). Participe de eventos, de redes sociais (LinkedIn, Plaxo, etc.), de comunidades e grupos relacionados com suas áreas de atuação. Esteja presente nas confraternizações e eventos formais e sociais da sua empresa. Aproxime-se do seu cliente. Sorria! Seja alguém com quem as outras pessoas queiram se relacionar e ter por perto. Muitos assuntos do trabalho são resolvidos em ambientes informais, acredite. Isso é o que chamam de ócio criativo. Uma boa rede vale tanto, ou ainda mais, que o seu esforço de formação.

6º – Não basta ser honesto(a), é preciso parecer honesto(a). Esse é um velho ditado romano valioso. Cumpra compromissos firmados, e avise com antecedência quando não puder cumpri-los. Cuide da sua reputação. Defenda com vigor a sua honra. Fuja de boatos e dos boateiros, ligue-se aos fatos.

7º – Se a sua profissão exigir liderança, lidere! Não tenha receio de decidir. Seja justo, mas, quando não for, desculpe-se. Seja coerente. Não subestime ou subjugue seus liderados. Não permita ser subestimado ou subjugado. Comprometa-se e proteja os seus liderados. A lealdade é o patrimônio do líder.

8º – Os locais onde trabalhamos, a quem servimos, e as pessoas com quem escolhemos andar dizem muito sobre nossos valores. Nesta mesma linha, a forma como terminamos as coisas diz muito sobre quem verdadeiramente somos. Evite as ações motivadas por raiva, ao invés disso, racionalize.

9º – Preserve sua família, os amigos e a(o) companheira(o). Esse deve ser o seu “lugar sagrado”, pois, por melhor que seja a sua relação com o trabalho, ela tem limites de tempo. E, quando esse tempo esgotar, para onde voltamos? Quando “tudo” parece dar errado, a quem procuramos? Onde encontramos apoio?

10º – Cuide-se! Esteja vivo para usufruir de tudo aquilo que está “plantando”. Lembre-se que sua relação com o mundo se dá por interseções (você e a sua família, você e o seu filho(a), etc.), mas, o ponto de contato é você, sempre você!

11º – Acredite no seu potencial. Desenvolva o seu auto-conhecimento. Siga a sua intuição. Se você acreditar em você, os “outros” tendem a fazer o mesmo. Vibre com as suas vitórias. Se permita errar, mas busque ser assertivo. Apaixone-se por você! Se não fosse assim, não existiriam líderes, presidentes, etc.

12º – “Fortitudine Vincimus”.

Sinceramente, espero que os meus axiomas possam ser úteis a você da mesma maneira que eles me são úteis. É bem verdade que não consigo praticá-los sempre, mas são neles que busco orientação. Compartilho com vocês o que de melhor a experiência me trouxe. E, por mais que meus axiomas possam parecer a compilação de livros de auto-ajuda, não o são.

Escolhi escrever este texto por razão de observar nas várias listas e grupos dos quais participo profissionais em início de carreira “gritando” por orientação. Essa é a minha pequena contribuição a esses profissionais. E, como diz a sabedoria popular – “Conselho bom não se dá de graça”. E, por crer nisso, como pagamento, peço que você se comprometa sinceramente com o seu sucesso e que crie e, quando julgar procedente, divida os seus próprios axiomas.

Saúde, sabedoria, sucesso, satisfação e sorte!

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Rodrigo Campos .:. Diretor Presidente do Allegro Business Group. Consultor atuante no mercado de tecnologia da informação e logística há mais de 15 anos. 

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Esta obra está licenciada sob uma Licença Creative Commons.

-Encuentro la televisión muy educativa. Cada vez que alguien la enciende, me retiro a otra habitación y leo un libro.

-La política es el arte de buscar problemas, encontrarlos, hacer un diagnóstico falso y aplicar después los remedios equivocados.

- Hijo mío, la felicidad está hecha de pequeñas cosas: Un pequeño yate, una pequeña mansión, una pequeña fortuna…

-Fuera del perro, un libro es probablemente el mejor amigo del hombre, y dentro del perro probablemente está demasiado oscuro para leer.

-¡Hay tantas cosas en la vida más importantes que el dinero! ¡Pero cuestan tanto!

-Lo malo del amor es que muchos lo confunden con la gastritis y, cuando se han curado de la indisposición, se encuentran con que se han casado.

-El secreto de la vida es la honestidad y el juego limpio, si puedes simular eso, lo has conseguido.

-Detrás de un gran hombre hay una gran mujer y detrás de ésta su esposa.

-Nunca olvido una cara pero con la suya voy a hacer una excepción.

-¿Por qué lo llaman amor cuando quieren decir sexo?

Biografia.

Axioma

(Del lat. axiōma, y del gr. ἀξίωμα).

1. m. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.

2. m. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

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Axioma I – 1

Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos  a=AB o a=BA.

También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b, diremos que a y b tienen un punto en común, A.

Axioma I – 2

Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.

Axioma I – 3

Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un plano, escribiremos ABC=α.

Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de α.

Axioma I- 4

Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.

Axioma I – 5

Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de a están en el plano α.

En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.

Axioma I – 6

Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en común.

Axioma I- 7

En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el mismo plano.

Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría planas, serán llamados axiomas del plano.

Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.

Teorema 1

Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.

Teorema 2

Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un punto en común, un único plano puede pasar por ellos.