bilangan-real &laquo; WordPress.com Tag Feed http://en.wordpress.com/tag/bilangan-real/ Feed of posts on WordPress.com tagged "bilangan-real" Wed, 10 Feb 2010 11:46:12 +0000 http://en.wordpress.com/tags/ en <![CDATA[Nilai Mutlak]]> http://exponensial.wordpress.com/2009/10/29/nilai-mutlak/ Thu, 29 Oct 2009 04:39:29 +0000 gempur http://exponensial.wordpress.com/2009/10/29/nilai-mutlak/ <![CDATA[Sifat Urutan Pada R]]> http://exponensial.wordpress.com/2009/10/28/sifat-urutan-pada-r/ Wed, 28 Oct 2009 15:04:11 +0000 gempur http://exponensial.wordpress.com/2009/10/28/sifat-urutan-pada-r/ <![CDATA[Bilangan Rasional]]> http://exponensial.wordpress.com/2009/10/27/bilangan-rasional/ Tue, 27 Oct 2009 10:40:27 +0000 gempur http://exponensial.wordpress.com/2009/10/27/bilangan-rasional/ <![CDATA[Sistem Bilangan Real ]]> http://exponensial.wordpress.com/2009/09/14/sistem-bilangan-real/ Mon, 14 Sep 2009 06:00:20 +0000 gempur http://exponensial.wordpress.com/2009/09/14/sistem-bilangan-real/ <![CDATA[IMO 1967 #5]]> http://olimpiadematematika.wordpress.com/2009/05/03/imo-1967-5/ Sun, 03 May 2009 01:22:40 +0000 Johan http://olimpiadematematika.wordpress.com/2009/05/03/imo-1967-5/

5. Misalkan a_1,\ldots,a_8 adalah bilangan-bilangan real, tidak semuanya nol. Misalkan juga c_n=a_1^n+\ldots+a_8^n untuk n\in\mathbb{N}. Pada barisan (c_n), ada tak berhingga banyaknya yang nilainya 0. Tentukan semua nilai n sehingga c_n=0.

Solusi:

Jika n genap, jelas bahwa nilai c_n positif. Kita klaim bahwa jika n ganjil, maka c_n=0. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a_1 adalah yang terbesar di antara a_1,\ldots,a_8, dan a_2 adalah bilangan dengan tanda berbeda dari a_1 yang paling besar. Maka c_n=a_1^n\left(1+\frac{a_2^n}{a_1^n}+\frac{a_3^n}{a_1^n}+\cdots+\frac{a_8^n}{a_1^n}\right). Misalkan \left(1+\frac{a_2^n}{a_1^n}+\frac{a_3^n}{a_1^n}+\cdots+\frac{a_8^n}{a_1^n}\right)=S. Jadi S\ge1+7\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^n. Jika |a_1|\ne |a_2|, jika kita ambil n yang cukup besar, jelas bahwa S\ne 0, dan kita dapat kontradiksi. Maka |a_1|=|a_2|, yaitu a_1=-a_2. Dengan cara serupa, kita bisa pasang-pasangkan a_3,a_4,\ldots,a_7 sehingga jumlah setiap pasang adalah 0. Maka klaim kita terbukti. Jawabannya adalah bilangan ganjil.

]]> <![CDATA[Bilangan Real]]> http://mathbox.wordpress.com/2009/04/03/bilangan-real/ Fri, 03 Apr 2009 05:42:29 +0000 ayasofa http://mathbox.wordpress.com/2009/04/03/bilangan-real/

1) Berbagai sistem bilangan

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: clip_image002 dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

clip_image003clip_image004

Gambar 1.1

2) Pengertian Bilangan Real

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (clip_image006= Natural),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (clip_image008= dari bahasa Jerman, Zahlen):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

clip_image010,…

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk clip_image012, dimana m dan n adalah bilangan bulat dan clip_image014, disebut bilangan-bilangan rasional (clip_image016= Quotient ).

Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun clip_image018 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi clip_image018[1] adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga clip_image021

Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari clip_image023. Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.

Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:

clip_image025

clip_image027

clip_image029

clip_image031

Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu clip_image033 dan clip_image035 memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu clip_image018[2] dan clip_image038 (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).

Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

clip_image040

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.1.

Pertanyaan

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

3) Operasi pada Bilangan Real

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a) Operasi penjumlahan

clip_image042

Contoh:

1. clip_image044

2. clip_image046

3. clip_image048

4. clip_image050

b) Operasi pengurangan

clip_image052

Contoh:

1. clip_image054

2. clip_image056

3. clip_image058

c) Operasi perkalian

clip_image060

Contoh:

1. clip_image062

2. clip_image064

3. clip_image066

d) Operasi pembagian

clip_image068

Contoh:

1. clip_image070

2. clip_image072

3. clip_image074

4. clip_image076

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya

a) Mengubah pecahan biasa ke desimal

Contoh:

1. clip_image078

2. clip_image080

3. clip_image082

b) Mengubah pecahan desimal ke persen

Contoh:

1. clip_image084

2. clip_image086

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

1. clip_image088

2. clip_image090

3. clip_image092

4. clip_image094

Menghitung persentase

a) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan

Contoh:

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi clip_image096

clip_image098

clip_image100

clip_image102 Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesarclip_image104.

b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan

Contoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon clip_image106

clip_image108

clip_image110

clip_image111Jadi, kita harus membayar sebesar:

clip_image113

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Laba = Penjualan – Pembelian

Rugi = Pembelian – Penjualan

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba clip_image115

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

clip_image117

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

clip_image119

4) Sifat-sifat operasi bilangan real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap clip_image121, beralku sifat-sifat berikut;

Penjumlahan:

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

clip_image123

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

clip_image125

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

clip_image127

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

clip_image129

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

clip_image131

6. Sifat invers pada penjumlahan

clip_image133

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

clip_image135

2. Sifat komutatif pada perkalian

clip_image137

3. Sifat asosiatif pada perkalian

clip_image139

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

clip_image141

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

clip_image143

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

clip_image145 (untuk clip_image147)

clip_image149 (tidak ada/tidak didefinisikan)

Catatan:

Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini

 

]]> <![CDATA[Polinomial]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/25/polinomial-2/ Wed, 25 Jun 2008 05:49:01 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/25/polinomial-2/

[OSP 2008] Diberikan polinomial P(x) = x^{2008} + a_1x^{2007} + a_2x^{2006} + \ldots+ a_{2008} yang memiliki 2008 akar real dan P(2008)\le1. Diberikan polinomial Q(x) = x^2 + 2x + 2008. Buktikan bahwa P(Q(x)) = 0 mempunyai akar real.

Solusi
Misalkan x_1,\ldots,x_{2008} adalah akar-akar P(x). Jika semua akarnya kurang dari 2007, maka P(2008)=(2008-x_1)(2008-x_2)\ldots(2008-x_{2008})>1. Jadi ada akar yang \ge 2007. Misalkan akar ini a\ge2007. Jadi x^2+2x+2008=a harus memiliki akar real. Ini jelas karena akarnya x=-1\pm\sqrt{a-2007} pasti bilangan real. Terbukti.

]]> <![CDATA[Ketaksamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/10/ketaksamaan-3/ Tue, 10 Jun 2008 01:08:28 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/10/ketaksamaan-3/

[MathLinks] Jika a,b,c bilangan real positif sehingga abc=1, buktikan \displaystyle\sum\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1.

Solusi
Perhatikan bahwa (a^3-b^3)(a^2-b^2)\ge0, karena jika a\ge b kedua ruas positif, dan jika a\le b kedua ruas negatif. Maka a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3=a^2b^2(a+b). Jadi \displaystyle\sum\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\sum\frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1. Terbukti.

]]> <![CDATA[Ketaksamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/09/ketaksamaan/ Mon, 09 Jun 2008 14:18:26 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/09/ketaksamaan/

[Bosnia Herzegovina 2008] Buktikan untuk x,y,z bilangan real, ketaksamaan berikut berlaku:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx \geq \max \left\{\frac {3(x - y)^{2}}{4} , \frac {3(y - z)^{2}}{4} , \frac {3(y - z)^{2}}{4} \right\}

Solusi
WLOG, asumsikan ruas kanan =\frac{3(x-y)^2}{4}. Ketaksamaan dapat disederhanakan sehingga ekuivalen dengan x^{2}+2xy+y^{2} + 4z^{2} \geq 4yz+4xz, yang ekuivalen dengan (x+y-2z)^2, yang pasti benar.

]]> <![CDATA[Ketaksamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/05/19/ketaksamaan-12/ Mon, 19 May 2008 12:36:33 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/05/19/ketaksamaan-12/

[Klamkin] Buktikan untuk bilangan real \displaystyle\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}\ge\frac{3\sqrt2}{2}.

Solusi
Dengan ketaksamaan Minkowski, didapat bahwa ruas kiri lebih besar atau sama dengan \sqrt{(a+b+c)^2+(3-a-b-c)^2}. Dengan power mean inequality dan misalkan a+b+c=x, nilai di dalam akar lebih besar atau sama dengan 2(x-3/2)^2+9/2. Maka ruas kiri pada soal lebih besar atau sama dengan \sqrt{9/2}=3\sqrt2/2.

]]> <![CDATA[Persamaan dua variabel]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/05/03/persamaan-dua-variabel/ Sat, 03 May 2008 07:38:03 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/05/03/persamaan-dua-variabel/

[MathLinks] Selesaikan persamaan {x}^{2}+20x+351=\dfrac{2008}{{y}^{2}+30y+233} dalam bilangan real.

Solusi
Ruas kiri adalah x^2+20x+351=(x+10)^2+251\ge251, sedangkan ruas kanan \displaystyle\frac{2008}{{y}^{2}+30y+233}=\frac{2008}{(y+15)^2+8}\le\frac{2008}8=251. Maka, kesamaan harus terjadi, yaitu \displaystyle{x}^{2}+20x+351=\frac{2008}{{y}^{2}+30y+233}=251. Jadi x=-10 dan y=-15.

]]> <![CDATA[Ketaksamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/15/ketaksamaan-14/ Tue, 15 Apr 2008 05:48:59 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/15/ketaksamaan-14/

[Mathematical Reflections 2007] Misalkan a, b, c adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa

\dfrac{a}{b(b+c)^2}+\dfrac{b}{c(c+a)^2}+\dfrac{c}{a(a+b)^2}\ge\dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}.

Solusi
Menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz kita mendapat

\displaystyle\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{a}{b(b+c)^2}+\dfrac{b}{c(c+a)^2}+\dfrac{c}{a(a+b)^2}\right)\ge\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2.

Maka cukup dibuktikan bahwa

\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2\ge\dfrac94

atau

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32,

yang terbukti benar dari ketaksamaan Nesbitt.

]]> <![CDATA[Sistem persamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/05/sistem-persamaan/ Sat, 05 Apr 2008 12:56:22 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/05/sistem-persamaan/

[AIME 2008] Misalkan a dan b adalah bilangan real positif dengan a\ge b. Misalkan \rho adalah nilai maksimum \frac{a}{b} di mana sistem persamaan

a^2+y^2=b^2+x^2=(a-x)^2+(b-y)^2

memiliki solusi (x,y) yang memenuhi 0\le x<a dan 0\le y<b. Maka \rho^2 dapat dinyatakan sebagai pecahan \frac{m}{n} di mana m dan n adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan m+n.

Solusi
Perhatikan bahwa

a^2+y^2=(a-x)^2+(b-y)^2\rightarrow a^2+y^2=a^2-2ax+x^2+b^2-2by+y^2\rightarrow b^2+x^2=2ax+2by.

Dengan cara yang sama, dengan memperhatikan ruas tengah dan ruas kanan, didapat a^2+y^2=2ax+2by. Maka didapat

a^2+y^2=b^2+x^2=2ax+2by.

Tetapi 2by\ge y^2, sehingga 2ax\le a^2. Ini menyebabkan x\le \frac{a}{2}. Perhatikan bahwa b^2+x^2=a^2+y^2\ge a^2. Maka b^2\ge\frac34a^2. Terdapat solusi (a,b,x,y)=(1,\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0), di mana kesamaan b^2\ge\frac34a^2 terjadi. Jadi nilai maksimum \rho^2 adalah \frac43. Maka m+n=7.

]]> <![CDATA[Jumlah perbandingan empat bilangan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/07/jumlah-perbandingan-empat-bilangan/ Thu, 07 Feb 2008 13:55:47 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/07/jumlah-perbandingan-empat-bilangan/

[olimpiade.org] Diketahui a, b, c, d adalah bilangan real yang memenuhi

\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6,

\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{b}=8.

Tentukan nilai dari \frac{a}{b}+\frac{c}{d}.

Solusi
Misalkan

\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=x,

\dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a}=y.

Maka x+y=6 dan xy=8. Sehingga x dan y adalah solusi dari persamaan

t^2-6t+8=0.

Akar-akarnya adalah

t=2, t=4.

Maka \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=2 atau 4.

]]> <![CDATA[3^n+4^n=5^n]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/01/01/3n4n5n/ Tue, 01 Jan 2008 03:52:51 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/01/01/3n4n5n/

[MathLinks] Tentukan semua solusi bilangan real n sehingga

3^n+4^n=5^n.

Solusi
Satu solusi trivial n=2.

Persamaan itu dapat diubah menjadi

\displaystyle\left(\dfrac{3}{5}\right)^n+\displaystyle\left(\dfrac{4}{5}\right)^n=1.

Jika n<2, maka ruas kiri > ruas kanan. Jika n>2, maka ruas kiri < ruas kanan.

Maka, solusinya hanya satu: n=2.

]]>