Jujur saya tidak menyukai analisis, saya merasa mual dengan konsep epsilon delta yang merupakan fondasi dari analisis. Menurut saya konsep epsilon delta adalah konsep yang rumit, njelimet, dan amat sulit untuk dipahami. Saya butuh waktu 4 semester untuk memahami definisi formal limit, untuk sebarang epsilon terdapat delta sehingga bla-bala..damn timbul rasa mual setiap kali membaca definis formal limit. Prof Widodo pernah berkata banyak lulusan matematika yang tidak paham definisi limit. Padahal kalau kita melihat sejarah, Newton dan Leibnitz sang penemu kalkulus pada abad ke 17 sama sekali tidak menggunakan epsilon delta. Mereka menggunakan konsep bilangan teramat kecil (disebut bilangan infinitesimal) sebagai dasar dari kalkulus. Nah barulah pada abad ke-19 muncullah konsep epsilon delta menggantikan konsep bilangan infitisimal sebagai dasar dari kalkulus dan analisis. Saat itu para matematikan beralasan konsep epsilon delta lebih kuat lebih tegas dibanding konsep bilangan Infitismal, padahal sebenarnya mereka tidak mampu mengembangkan konsep bilangan infitismal. Untungnya pada tahun 1970, ada seorang Matematikan Abraham Robinson yang mampu mengembangkan konsep bilangan infitismal, konsep asli dari newton dan Leibnitz maka muncullah cabang baru dari Matematika yang dikenal dengan Non Standard Analisis (NSA). NSA dan Analisis sama-sama membahas kalkulus, turunan , integral dan kawan-kawannya bedanya NSA berdasarkan bilangan infitismal, sedangkan Analisis berdasarkan epsilon-delta.

Bilangan Hyperreal

Diatas saya telah menyinggung mengenai bilangan infitisimal, apa kah bilangan infitisimal itu?

Definisi 1: dikatakan infitisimal jika , untuk semua bilangan real tak nol

Dalam bilangan real hanya nol yang memenuhi definisi dari infitisimal. Oleh karena itu perlu diciptakan himpunan bilangan baru yang disebut himpunan bilangan hyperreal (dinotasikan ) agar ada bilangan-bilangan infitismal lain  selain nol. Himpunan bilangan hyperreal merupakan perluasan dari himpunan bilangan real atau dengan kata lain himpunan bilangan real termuat didalam himpunan bilangan hyperreal ( ). Sama seperti himpunan bilangan real, himpunan bilanag hyperreal juga merupakan lapangan terurut lengkap ( complete ordered field) bedanya pada himpunan bilangan hyperreal tidak berlaku sifat archimedean.

selain bilangan infitisimal, himpunan bilangan hyperreal juga memuat 2 jenis bilangan lain yaitu

Definisi 2: Suatu elemen  dikatakan

1. Berhingga jika untuk suatu bilangan real

2. tak berhingga jika jika untuk ssemua bilangan real

Terdapat hubungan bilangan hyperreal dengan bilangan real yang dinamakan standard part

Definisi 3: Diberikan bilangan hyper real , standard part dari adalah suatu bilangan real yang sangat dekat sekali (infinitely close), dinotasikan . Jika adalah tak hingga maka maka tidak terdefinisi dan jika adalah infitisimal maka

Nah..apa yang dimaksud dengan “sangat dekat sekali” (infinitely close),

Definisi 4: Dua buah bilangan hyperreal dan dikatakan sangat dekat sekali (infinitely close), dinotasikan jika adalah bilangan infitisimal. Jika merupakan infitismal maka .

***

Nah..kita telah memebahas sekilas mengenai bilangan hyperreal. Sekarang mari kita lihat definis limit, dan turunan pada NSA.

Limit

Pada NSA, didefinisikan

jika maka

Dengan kata lain jika sangat dekat sekali ke maka sangat dekat sekali ke . Nah sekarang bandingkan definisi limit pada analisis

untuk sebarang bilangan real ( dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  ( dibaca delta) dimana yang berakibat 

Jelas definisi limit pada NSA jauh lebih singkat, jauh lebih mudah dipahami dibandingkan definisi pada Analisis. Definisi limit pada NSA sesui dengan pemahaman limit secara intuisi. Bukan kah waktu sma kita diajarkan pengertian limit itu jika mendekati maka mendekati

Turunan

Kita tahu turunan suatu fungsi real di adalah gradien garis singung dititik  . Dalam NSA, turunan fungsi real di ,(dinotasikan ), didefinisikan

untuk setiap bilangan infitisimal tak nol .

Jadi menurut NSA, gradien garis yang melaui titik adalah suatu bilangan real yang teramat dekat sekali dengan gradien garis yang melalui titik  dan dan kedua titik terebut jaraknya juga teramat dekat sekali. Inilah sebenarnya. Inilah sebenarnya konsep asli turunan yang dikembangkan oleh Newton dan Leibnitz.

Penutup

Saya baru seminggu mempelajari NSA. Sejauh apa yang saya pahami NSA dengan konsep bilangan infitisimalnya jauh lebih mudah dipahami, jauh lebih “membumi” dibandingkan  analisis dengan konsep epsilon-deltanya. Referensi penulisan ini diambil dari buku Foundations of Infinitesimal Calculus oleh H. Jerome Keisler, silahkan kalian unduh gratis.

Gambar diambil dari http://www.fallingfifth.com/blog/

Penggunaan bilangan biner sebenarnya sudah ada sejak zaman dahulu kala di negeri China dan India. Namun penggunaannya sebagai  hanya bentuknya masih sederhana, bukan untuk perhitungan. Baru ketika di abad ke-17, Gottfried Wilhelm Leibniz memperkenalkan bilangan biner modern sebagai sebuah sistem bilangan.

Pada tahun 1854, seorang ahli matematika asal Inggris George Boole mempublikasikan tulisan yang mendasari sistem logika aljabar yang kemudian dikenal dengan nama Aljabar Boolean. Perhitungan logikanya menjadi dasar instrumen dalam perancangan rangkaian elektronika digital.

Memang tidak ada yang menyangka bahwa sistem bilangan biner atau bilangan berpasangan (0 dan 1) ini dapat mengubah kehidupan manusia. Dengan hanya menggunakan dua jenis bilangan ini, manusia dapat membuat peralatan yang sangat membantu kehidupannya.

Sebagaimana diketahui, rangkaian elektronika menggunakan arus listrik agar bisa bekerja. Arus listrik ini dapat dimanipulasi menggunakan rangkaian atau komponen tertentu. Agar bisa dimanipulasi diperlukan penyederhanaan dari penerjemahan arus listrik ini. Dan dengan adanya bilangan biner yang mengenal dua bilangan, maka sangat membantu dalam memecahkan masalah ini. Bilangan biner diadopsi untuk membuat rangkaian yang disebut rangkaian digital, yang hanya mengenal dua kondisi atau keadaan. Kedua kondisi tersebut adalah ada arus dan tidak ada arus.

Jadi bilangan biner 0 dan 1 dapat mewakili atau diwakili dengan kondisi arus listrik pada rangkaian elektronika dengan ada dan tidak adanya arus listrik. Jadi ada kesamaan sifat antara bilangan biner dengan rangkaian digital. Lebih lanjutnya, rangkaian digital dirancang agar bisa melakukan operasi-operasi sebagaimana yang bisa dilakukan pada bilangan biner, seperti tambah, kurang, bagi dan kali serta operasi logika pada bilangan biner (OR, AND, NAND, NOR dan XOR).

Dengan dasar yang sangat sederhana tersebut, rangkaian digital saat ini menjelma menjadi benda yang sangat membantu kehidupan manusia. Komputer adalah salah satunya.

So, sebenarnya komputer itu sangat sederhana dan mudah untuk dimengerti. Yang harus menjadi landasan untuk memahaminya adalah mengerti operasi logika dan arimatika. Siapa yang mau belajar komputer…?

Ini masih lanjutan dari postingan kemarin, Kemarin saya mengusulkan untuk mendefinisikan bilangan baru (dibaca xi) yang didefiniskan . Bilangan tersebut merupakan solusi  dari persamaan karena persamaan tersebut tidak mempunyai solusi baik di bilangan real maupun di bilangan kompleks.

Saya berpikir apakah mungkin kita mendefinisikan bilangan ?

Dalam matematika kita bebas menciptakan definisi baru, asalkan definisi yang kita ciptakan benar-benar baru/orisnil, belum pernah ada orang lain yang mendefinisikan hal serupa dan tidak terjadi kontradiksi. Saya tidak tahu apakah ada orang lain yang pernah mendefinisikan bilangan serupa atau tidak tapi saya bisa men-cek apaka bilangan menimbulkan kontradiksi atau tidak.

Saya mendefinisikan sebagai berikut

Kuadratkan kedua sisi diperoleh

Kemudian akar kan kedua sisi diproleh

.

.

Ternyata terjadi Kontradiksi. Itu berarti kita mustahil mendefinisikan , bilangan tersebut mustahil eksis di dunia matematika.

]]> http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/15/apa-perlu-kita-mendefinisikan-bilangan-baru/ Sun, 15 Nov 2009 15:09:37 +0000 Aria Turns http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/15/apa-perlu-kita-mendefinisikan-bilangan-baru/

Iseng-iseng jalan-jalan ke physicsforums.com. Saya menemukan pertanyaan yang menarik di forum tersebut. Ada yang bertanya:

Berapa solusi dari

Atau bisa juga ditulis

Member-member di forum tersebut menjawab kalau persamaan tersebut tidak mempunyai solusi di bilangan real maupun di bilangan kompleks dan saya juga berpendapat sama. Nah sekarang mari kita coba selasaikan persamaan diatas.

kita tahu bahwa diperoleh

Jelas merupakan solusi yang salah. Jadi jelas persamaan di atas tidak mempunyai solusi. Mmm…saya jadi berpikir

apa kita perlu mendefinisikan bilangan baru yang didefinisikan .

Bagaimana teman-teman, apa kalian punya pendapat lain? Atau jangan-jangan saya salah hitung?

Berikut beberapa file softcopy yang bisa didownload mengenai mata kuliah Pengenalan Komputer.

1. Sejarah Perkembangan Komputer
2. Sistem Komputer
3. Sistem Bilangan

Semoga bermanfaat.

Ide pembulatan bilangan ini saya dapet dari someone… yang menanyakan bagaimana caranya membulatkan sebuah bilangan misalnya dari 1.750.235 menjadi 1.750.250 atau 1.750.300

Biasanya pembulatan ini juga digunakan oleh situs-situs e-commerce untuk menampilkan total pembayaran pada sebuah invoice.

Awalnya saya sempat bingung juga, tapi setelah coding sana-sini akhirnya ketemu juga… (duh senengnya…)

Ternyata simple aja programnya, gak panjang-panjang, hanya perlu menggunakan operator modulus(%) ditambah function floor.

OK.. monggo… langsung contek aja script ini:

<?
if (isset($_POST['submit']))
$hasil = diBulatkan($_POST['angka'], $bulat, $_POST['kelipatan']);
?>
<form method="post">
TOTAL : <input type="text" name="angka" value="<?= $_POST['angka']; ?>" />
<input type="submit" name="submit" value="Bulatkan" />
Dengan kelipatan
<select name="kelipatan">
<option value="50">50</option>

<option value="100" <?= ($_POST['kelipatan'] == 100) ? "selected=\"selected\"" : ""; ?>>100</option>
</select><br />
Pembulatan : <b><?= $bulat; ?></b><br>
BAYAR      : <b><?= $hasil; ?></b>

</form>
<?
function diBulatkan($angka, &$bulat = 0, $kelipatan = 50) {
  $sisa = $angka % $kelipatan;
  if ($sisa > 0) {
    $bulat = $kelipatan - $sisa;
    $hasil = $angka + $bulat;
  }
  else
    $hasil = $angka;

  return floor($hasil);
}

Kalo ga mw repot-repot ngetik (gitu aja kok repot) tinggal donlot aja:

Download Script

72. REFISI BILANGAN RUPIAH
Mudah-mudahan Anda sudah bisa menghitung ala Indonesia. Sebab, dengan modal itu bilangan rupiah akan diluruskan. Mudah-mudahan pula, Anda sudah membaca Banjir Uang dan Kala Rupidin Bangun

Mata uang kertas

Di samping itu, Anda juga harus ingat bahwa masa pelurusan bilangan adalah sembilan tahun. Masa tersebut dinamakan masa transisi. Ingat pula, masa transisi diawali dengan komando Wajib (Belajar) Bela Negara dari presiden –yang entah kapan akan dikumandangkan. Selanjutnya, Anda juga harus ingat bahwa selama masa transisi akan terjadi banjir uang. Yang tidak kalah pentingnya adalah rumusan, “ Kekayaan negara ada pada bilangannya, sedangkan kekayaan rakyat ada pada lambang bilangannya”. Keduanya tertera pada helai uang yang sama. Atau dengan kata lain, “Hak dan kewajiban negara ada pa bilangannya, sedangkan hak dan kewajiban rakyat ada pada lambang bilangannya”

Nah, agar rupiah milik Anda tidak beterbangan, jauh-jauh hari perbaiki tas-tas Anda yang sobek, perbaiki pintu-pintu almari Anda. Dompet Anda tidak akan muat menampung uang Anda. . Malah kalau perlu, buka tabungan di bank.
Perhatikan helai rupiah setelah direfisi bilangannya, SERIBU RUPIAH menjadi SEPULUH RATUS RUPIAH.

SEPULUH RATUS RUPIAH

DUA RIBU RUPIAH menjadi DUA PULUH RATUS RUPIAH.

DUA PULUH RATUS RUPIAH

LIMA RIBU RUPIAH menjadi LIMA PULUH RATUS RUPIAH.

LIMA PULUH RATUS RUPIAH

SEPULUH RIBU RUPIAH menjadi SERIBU RUPIAH.

SERIBU RUPIAH

DUA PULUH RIBU RUPIAH menjadi DUA RIBU RUPIAH.

DUA RIBU RUPIAH

LIMA PULUH RIBU RUPIAH menjadi LIMA RIBU RUPIAH.

LIMA RIBU RUPIAH

Sedangkan SERATUS RIBU RUPIAH menjadi SEPULUH RIBU RUPIAH.

SEPULUH RIBU RUPIAH

Dari situ, akhirnya dapat diketahui bahwa dengan merefisi bilangan pada uang akan dapat menggerakkan sektor ekonomi yang nyaris ambruk. Terakhir juga jangan lupa bahwa di penghujung masa transisi akan ada senering /devaluasi Rupiah dengan angka koofesien 1 : 10000. Nah, saat itulah Sen dan Ketip sebagai uang kecil akan hidup kembali. Pertanyaannya, sudah siapkah Anda termehek-mehek menghitung uang Anda? Atau para ekonom mempunyai rumus lain setelah berguru ke manca negara?
Wallahualam.

Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalah sebuah sistem bilangan berbasis delapan. Simbol yang digunakan pada sistem ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem Bilangan Oktal berasal dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant Bit).

coppas from wikipedia.com (1309100022)

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

Bilangan desimal yang dinyatakan sebagai bilangan biner akan berbentuk sebagai berikut:Desimal Biner (8 bit)
0 0000 0000
1 0000 0001
2 0000 0010
3 0000 0011
4 0000 0100
5 0000 0101
6 0000 0110
7 0000 0111
8 0000 1000
9 0000 1001
10 0000 1010
11 0000 1011
12 0000 1100
13 0000 1101
14 0000 1110
15 0000 1111
16 0001 0000

20=1

21=2

22=4

23=8

24=16

25=32

26=64

dst

contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner

desimal = 10.

berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (23), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (21). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut

10 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20).

dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010

dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (0 akan menjadi angka pertama dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan biner dari 10 = 1010

atau dengan cara yang singkat 10:2=5(0),5:2=2(1),2:2=1(0),1:2=0(1)sisa hasil bagi dibaca dari belakang menjadi 1010

Bilangan biner

Sering sekali kita menggunakan bilangan dari 0-9 dalam berbagai hal, untuk matematika, sudah pasti, dan untuk lainnya. Memang yang kita kenal dan dan digunakan menggunakan bilangan desimal atau bilangan basis 10. Bilangan desimal dimulai dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 nah setelah angka sembilan apa? Setelah angka sembilan kembali ke 0 lagi, tetapi sudah naik tingkat gampangnya dengan menambah angka 1 didepannya jadi 10, selanjutnya digit pertama (paling belakang) yang akan bertambah dan jika sudah balik di angka 9 maka kembali lagi jadi 0 dan digit didepannya naik tingkat. Ini cuma sekedar dasar saja. Kalau cuma begini saja saya yakin kita paham dan mengerti.

Nah,lalu jika bilangan biner itu apa ya? Ada yang tahu nggak? Bilangan biner adalah bilangan yang hanya terdiri dari 2 angka yaitU “0 dan 1″ biasanya disebut juga bilangan basis 2.

Prinsipnya sama seperti yang desimal tadi, dari 0,1 lalu sehabis satu apa lagi ya? Yuph benar 10 basis 2, beda dengan 10 basis 10.
Berikut contoh barisan bilangan basis 2 atau biner.

0,1,10,11,100,101,110,111,..
Jika barisan diatas dikonversi menjadi desimal adalah sebagai berikut,
0,1,2,3,4,5,6,7,..

Lalu bagaimana mengkonversi dari desimal ke biner dan sebaliknya?

Sistem biner hampir mirip atau bahkan mirip dengan sistem modulo 2,
begini cara kerjanya.

Misal angka 13 desimal akan diubah ke biner:

13 ÷ 2 = 6 sisa (1)
6 ÷ 2 = 3 sisa (0)
3 ÷ 2 = [1] sisa (1)

jadi 13 desimal jadi 1101 basis dua.

Contoh lagi, misal 24 desimal
maka menjadi seperti ini.

24 ÷ 2 = 12 sisa (0)
12 ÷ 2 = 6 sisa (0)
6 ÷ 2 = 3 sisa (0)
3 ÷ 2 = [1] sisa (1)

jadi 24 desimal sama dengan 11000 basis dua, penulisan dimulai dari “[ ]” laku kebelakang “( )” lalu kea atas sampai habis.

Lalu jika sebaliknya bagaimana ya? Jika ingin mengkonversi dari biner ke desimal seperti berikut.

Misal dari 1101, disini harus diperhatikan, bilangan diatas terdiri dari 4digit, dan penghitungan dimulai dari belakang. Tiap digit mempunyai nilai yang yang berbeda, hampir mirip dengan satuan puluhan ratusan dst.

1101 dipecah jadi empat
1 (digit pertama dikali 1)
0 (digit kedua dikali 2)
1 (digit ketiga dikali 4)
1 (digit keempat dikali 8 )
ingat penghitungan digit dari belakang.

1 x 1 = 1
0 x 2 = 0
1 x 4 = 4
1 x 8 = 8

jika dijumlah menjadi 1+0+4+8 = 13 prinsipnya tiap digit dikalikan kelipatan 2 dari mulai dari 1,2,4,8,16,… dan seterusnya sampai digit selanjutnya.

Hayowh sudah paham belum?
Coba konversi ini.
a. 27 desimal => biner
b. 1101101 biner => desimal

semoga bermanfaat!

Tentunya kalian masih inget yang dimaksud bilangan asli adalah 1,2,3,4,5,… dst. Kali ini saya akan “menunjukan” bahwa semua bilangan asli tuch sama 1=2=3=4=5….

Akan saya mulai dengan persamaan sederhana , sekarang perhatikan

untuk diperoleh

.

.

.

.

Silahkan kalian cek, sama sekali tidak ada yang salah dengan persamaan2 diatas. untuk maka semua bilangan asli 1,2,3,4,….,n sama dengan 0/0, atau dengan kata lain 

Tentu saja kalian tahu hal tersebut salah. Itulah salah satu alasan 0/0 tidak terdefinisi, jadi buat yang masih percaya 0/0=1. silahkan kelaut aja…

sistem bilangan terdiri dari
a. bilangan asli
b. bilangan imajiner
c. bilangan cacah
d. bilangan asli positip
e. bilanngan asli negatif

1. bilangan cacah
2. bilangan asli
3. bilangan imajiner

Kalau kulia IT atau TI atau apa namanya, sering dikasi tugas sama dosen, yang bunyi tugasnya “Buat bilangan prima pakai bahasa pemrograman C++”. Kayaknya sudah syarat mutlak itu2 aja salah satu tugasnya dan beginilah bunyinya lagi.

#include
using namespace std;
int main()
{
int num, prima;
int i=1;
cout <> num;
prima=0;
while(i<=num)
{
if(num%i==0)
{
prima++;
}
i++ ;
}
if (prima==2)
cout << "Prima Number";
else
cout <> num;
return 0;
}

Materi pada gambar

3. adalah bilangan bulat yang nilainya 777 jika ditulis dalam basis . Tentukan bilangan asli terkecil sehingga adalah pangkat empat dari suatu bilangan.

Solusi:

Perhatikan bahwa representasi desimal adalah . Misalkan . Maka habis dibagi 7, misalkan , . Nilai minimum didapat ketika minimum. Ambil , didapat , sehingga .