ROTACION.

Cuando un cuerpo rígido gira en torno a un punto fijo, la distancia r del punto a una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. El movimiento a lo largo de esta trayectoria se obtiene a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, en seguida mostrare algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales:

>Teorema de Euler.

Establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una rotación unica resultante. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden combinarse en pares y cada par puede reducirse para combinarse en una rotación.

>Rotaciones finitas.

Si las rotaciones componentes que se emplean en el Teorema de Euler son finitas es imporante mantener el orden en que se aplican. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por lo mismo no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

>Rotaciones infinitesimales.

Al definir los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento tridimencional, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

>Velocidad angular.

Si el cuerpo se somete a una rotación angular dO con respecto a un punto fijo, la velocidad angular del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo.         w=O’

La linea que especifica la dirección de w que es colineal con dO se denomina el eje instantáneo de rotación.

>Aceleración angular. 

Se determina a partir de la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo.

&=w’

Para el movimiento al rededor de un punto fijo, &debe tener en cuenta un cambio tanto en la magniud como en la direccion de w, y por lo tanto en general, & no se dirige a lo largo del eje instantaneo de rotacion.

>Velocidad.

Una vez especificada w, puede calcularse la velocidad de cualquier punto P de un cuerpo que gira en torno a un punto fijo con los mismos metodos que se emplean para un cuerpo giratorio en torno a un eje fijo. Por tanto, de acuerdo con el producto vectorial:

v=w x r

r define a la posicion de P medida a partir del punto fijo O,

>Aceleracion.

Si se conocen w y & en determinado momento, puede obtenerse la aceleracion de cualquier punto P en el cuerpo diferenciando la ecuacion anterior de velocidad.

a= & x r + w x (wxr)

DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACION Y ROTACION

Consideremos que los ejes x, y, z del marco movil de referencia y suponiendo que tienen una velocidad angular  Ώ medida con respecto a los ejes fijos X, Y, Z.  Será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

ANALISIS DEL MOVIMIETO RELATIVO EMPLEANDO EJES DE ROTACION Y TRASLACION

La forma más general de analizar el movimiento de un cuerpo rígido en tres dimenciones requiere del empleo de un sistema de ejes x, y, z  que se traslade y gire en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES.

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales. Teorema de Euler. Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar  por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación. Rotaciones finitas. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales. Rotaciones infinitesimales. Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera. Velocidad angular. Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación. Aceleración angular. La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES.

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

H_G= ∑(i=1)^n[r´i×v´i ∆mi]            (18.3)

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene: H_G= ∑_(i=1)^n[r´i×(w×r´i) ∆mi]

Movimiento angular.

En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo alrededor del punto O. En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O. donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se  omiten las primas de los subíndices ,

Movimiento de un Giroscopio

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

Movimiento libre de pares.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de par motriz. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles –con tal de que se desprecien los efectos de la fricción del aire.

CINEMÁTICA DE CUERPO RIGIDO EN 3 DIMENSIONES.

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.

Teorema de Euler.

Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar  por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN 3 DIMENSIONES

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado.

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo alrededor del punto O.

En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O.

donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas (18.10)  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se  omiten las primas de los subíndices ,

Movimiento de un Giroscopio

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

Movimiento de un Giroscopio

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

Movimiento libre de pares.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de par motriz. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles –con tal de que se desprecien los efectos de la fricción del aire.

Cinemática de cuerpos rigidos en 3 dimensiones.

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.

Teorema de Euler.

Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar  por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

Velocidad angular.

Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación.    

Aceleración angular.

La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.                                                      

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Cinética de cuerpos rígidos en 3 dimensiones

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado.

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo alrededor del punto O.

En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O.

donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas (18.10)  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se  omiten las primas de los subíndices ,

Movimiento de un Giroscopio 

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas (18.10)  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg 

Movimiento de un Giroscopio 

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

Movimiento libre de par motriz

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de par motriz. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles –con tal de que se desprecien los efectos de la fricción del aire.

cinematica de cuerpos rigidos en 3D

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.

Teorema de Euler.

Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar  por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

Velocidad angular.

Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación.

Aceleración angular.

La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Cinetica de cuerpos Rigidos  en 3 dimensiones

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular  de un cuerpo alrededor de su centro masa  puede determinarse a partir de la velocidad angular  del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene:

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rigido restringido a girar en un punto fijo O, aveces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo al rededor del punto O.

Si bien Ho  podria obtenerse primero calculando Hg
y despues utilizando la ecuacion

En muchas ocaciones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O. Se escribe con la ecuacion :

Donde r y v denotan, respectivamente el vector de posicion y la velocidad de  la particula P , con respecto al sistema de refrencia fijo Oxyz, Al sustituir
V=w X r, se encontro que  las componentes de la cantidad  de movimiento angular Ho (figura 18.5 b) esta dad por las relaciones

donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia Oxyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

si se eligen los ejes x,y,z  de manera  que coincidan con los ejes con los ejes  principales  de inercia del cuerpo  es posible utilizar  las relaciones simplificadas (18.10)  para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se  omiten las primas de los ubindices , se  escribe:

donde Ix,Iy,Iz denotan los momentos de inercia  centroilades del cuerpo  se obtiene:

Estas ecuaciones llamadas Ecuaciones de movimiento de euler, se utilizan para determinar el movimiento de un cuerpo rigido alrededor  de su centro de masa, tenemos  3 ecuaciones  en forma escalar

Las cuales  junto con las  ecuaciones de euler  forman un total de 6 ecuaciones  diferenciales. Asi el moviento de un cuerpo rigido  en tres dimenciones  esta completamente definido por la resultante  y por la resultante de momentos de las fuerzas externas que actuan en el.

Movimiento de un giroscopio

Un giroscopio  consiste esencialmente, en un motor que puede girar libremente al rededor de su eje geometrico.
Para calcular las componentes de velocidad angular y de la cantidad de movimiento  angular del giroscopio , se usara un sistema de ejes en rotacion Oxyz ubicado en el balancin  interno,  con el eje y alo largo de BB’ y el eje z alo largo de CC’ figura (18.16)

Si se denota por i,j,k los vectores unitarios a lo largo de los ejes de rotacion y por K el vector unitario alo largo del eje Fijo Z  se tiene:

Puesto que las componentes del vector que se obtuvieron para W  en (18.33) noson ortogonales figura (18.16) el vector unitario K se descompondra  en componentes alo largo de los ejes x,y,z  y se escribe:

y al sustituir k en (18.33)

Existen 3 ecuaciones principales  que  son :

Estas ecuaciones definen el movimiento  de un giroscopio  sujeto aun sistema dado de fuerzas cuando se ignoran las masas  de sus balancines. Tambien es posible usarlas para definir  el movimiento de un cuerpo simetrico  con respecto aun eje  fijo en un punto  de su eje de simetria, asi como para definir  el movimiento de un cuerpo  simetrico con respecto  aun eje en relacion con su centro de masa.

Movimiento libre de pares

Puesto que la suma de los momentos de las furzas externas  al rededor  al centro de masa G  del cuerpo es cero, al seleccionar un sistema rotatorio de ejes  Gxyz con el eje z  alolargo del eje de simetria del cuerpo, el eje x en el plano  definido por los ejes Z y zy el eje y apuntando en direccion contrario a usted, se tiene:

Puesto que los ejes x,y,z  son ejes principales de inercia  para el cuerpo considerado  es posible escribir :

donde I de nota el momento de inercia del cuerpo  al rededor de su eje de simetria  e I’  su momento de inercia  al rededor de un eje transversal que pasa atraves de G

al dividir  miembro a miembro  la primera  y tercera relaciones  se obtiene  la siguiente relacion entre los los angulos que los vectores w y Hg  forman

considerando el caso de la figura 18.21

Deben  distinguirse dos casos :

a)  I<I’  este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y<θ el vector w se  encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q la presicion es directa

b)I>I’  este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y>θ el vector w se  encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q presicion es retrograda.

A continuación se describirá el movimiento de un cuerpo rígido en tre dimensiones, que consta de rotacion en torno a un punto fijo y de movimiento general. Para simplificar los aspectos tridimensionales del movimiento, se empleara el analisis vectorial.

Rotación alrededor de un punto fijo.

Cuando un cuerpo rígido gira en torno a un punto fijo, la distancia r del punti a una particula P ubicada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así la trayectoria del movimiento de las partículas queda en la superficie de una esfera que tiene un radio r y está centrada en el punto fijo.

Teorema de Euler.

El teorema de Euler afirma que dos rotaciones “componentes” entorno a ejes distintos que pasen por un punto son equivalentes a una rotacion única resultante, en torno a un eje que pase por el punto. Si se aplican más de dos rotaciones , pueden combinarse en pares, y a cada par puede reducirse para combinarse en una rotacion.

Rotaciones finitas.

Las rotaciones finitas no obedecen la ley de suma de vectores y, por lo mismo, no pueden clasificarse como cantidades vectoriales. Para demostraralo, consideremos en las dos rotaciones finitas Θ1 + Θ2 aplicadas al bloque de la figura1. Cada rotación tiene una magnitud de 90º, y su direccion esta definida por la regla de la mano derecha, como lo indica la flecha. En consecuencia, las rotaciones finitas no obedecen la ley conmutativa de la suma (Θ1+Θ2 ≠ Θ2+Θ1) y, por lo tanto, no pueden clasificarse como vectores.

  fig 1

Rotaciones infinitesimales.

Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque se pueden sumar vectorialmente de cualquier manera. Para demostraralo, con el fin de simplificar, consideremos que el cuerpo rígido mismo sea una esfera a la cual se le perimete girar con respecto a su punto central fijo O, figura 2 . Si se efectúan dos rotaciones infinitesimales dΘ1 + dΘ2 con el cuerpo, se ve que el punto P se mueve a lo largo de la trayectoria dΘ1 + d Θ2 × r y termina estando en P’. Como el producto vectorial obedece a la ley distributiva, por comparación, (dΘ1 + dΘ2) × r = (dΘ2 + dΘ1) × r. Por lo tanto, las rotaciones infinitesimales dΘ son vectores, porque esas cantidades tienen tanto magnitud como dirección para las cuales el orden de la suma (vectotial) no es impotante, es decir,  dΘ1+dΘ2 = dΘ2+dΘ21.

 fig 2

Derivada de un vector con respecto al tiempo, medida desde un sistema fijo y otro en traslación y rotación.

En muchos problemas en los que interviene el movimiento de un cuerpo en torno a un punto fijo, se especifica la velocidad angular w en terminos de sus movimientos angulares componentes. Por ejemplo, el disco de la figura 3 gira entorno al eje y horizontal en ws, mientras gira o precede en otrno al eje vertical z en wp. Por lo tanto, su velocidad angular resultante es w = ws + wp.

Consideremos los ejes x, y, z del marco móvil de referencia, y supongamos que tienen una velocida angular Ω medida con respecto a los ejes fijos X, Y, Z, figura 4(a). En lo que sigue, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes en movimiento. Por lo tanto, A = Axi + Ayj + Azk.

En general, la derivada de A con respecto al tiempo debe tener encuenta tanto el cambio de magntud como el de direccion de este vector. Sin embargo, si se toma esta derivada con respecto al marco móvil de referencia, sólo debe explicarse un cambio en las magnitudes de las componentes de A, porque las direcciones de estas componentes no cambian con respecto a la referencia móvil. Por lo tanto, (A)xyz = Axi + Ayj + Azk.

A continuación veremos las derivadas de los vectores unitarios con respecto al timpo. Por ejemplo, i=di/dt representa sólo un cambio de la direccion de i con respecto al timpo, ya que i tiene una magnitud fija igual a 1 unidad. Como se observa en la figura figura 4(b), el cambio, di, es tangente a la trayectoria descrita por la punta de la flecha de i, a medida que i se mueve a causa de la rotación Ω. En general,  i= Ω × i       j= Ω × j       k=  Ω × k

           fig 3                                      fig 4                         

La siguiente ecuación establece que la derivada de cualquier vector A con respecto al tiempo, observado desde el marco de referencia fijo X, Y, Z, es igual a la rapidez de cambio de A con respecto al tiempo, observando desde el marco de referenciax, y, z en traslación y rotación, mas  Ω × A, que es el cambio de A originado por la rotación del marco x, y, z. En otras palabras, (A’)xyz indica la rapidez de cambio de la magnitud de A con respecto al tiempo, y Ω × A  indica la rapidez de cambio de la direccion de A con respecto al tiempo, dando como resultado:       A’ = (A’)xyz + Ω × A

Análisis de movimiento relativo empleando ejes en traslación y en rotación.

La forma más general de analizar el movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones requiere del empleo de un sistema de ejes x, y, z que se traslade y gire al mismo tiempo en relación con un segundo marco X, Y, Z. En esta sección se desarrollarán dos ecuaciones que relacionan la velocidades y aceleraciones de dos puntos A y B, de los cuales uno se mueve en relación con un marco de referencia sujeto tanto a traslación como a rotación.

Como muestra la fig 5, las ubicaciones de los puntos A y B  se especifican mediante los vectores de posición rA y rB en relación con el marco de referencia X, Y, Z. El punto base  A representa el origen del sistema coordenado de x, y, z, que traslada y gira con respecto a X, Y, Z. En el instante que se está considerando, la velocidad y aceleración del punto A son, respectivamnete, vA y aA, y la velocidad y la aceleración angular de los ejes x, y , z son Ω y Ω’ = dΩ/dt, respectivamente. Todos estos vectores se miden conrespecto al marco de referencia X, Y, Z, aunque pueden expresarse en forma de componentes cartesianos a lo lardo de ambos conjuntos de ejes.

fig 5

Posición. Si la posición “B con respecto a A” se especifica mediante el vector rB/A de posición relativa, entonces, por su suma vectorial 

rB = rA + rB/A

donde:    rB= posición de B, rA= posición del origen A, rB/A= posición relativa de “B con respecto de A“

velocidad. La velocidad del punto B, medida despues del marco X, Y, Z se determinan derivando la ecuacion anterior con respescto al tiempo, que nos da: 

                                                                                                                                                  r’B = r’A + r’B/A

En esta ecuación (VB/A)xyz representan la velocidad relativa de B  con respecto a A medida desde el marco x, y, z. Así.

                                                                                                                               VB = VA + Ω × rB/A + (VB/A)xyz

En el caso de movimiento de tres dimensiones, se debe calcular Ω’ empleando la ecuacion anterior A’ = (A’)xyz + Ω × A ya que Ω’ depende de la variación de Ω tanto en maganitud como en dirección.

Altra piccola rubrica che innauguro! Parla, come avrete intuito, di una delle mie grandi passioni, il Cinema! Ogni tanto e senza pretese di completezza o di competenza in materia: il mio unico titolo per parlarne è la passione.

Vagando su Wikipedia e in particolare sulla pagina relativa a Marcello Mastroianni mi sono imbattuto in questo film. La prima cosa che mi ha colpito sono i grandi e numerosi nomi che vi hanno preso parte: tra i più noti Luigi Comencini, Nanni Loy, Mario Monicelli ed Ettore Scola alla regia/sceneggiatura (è un film a episodi) mentre come interpreti figurano, oltre allo stesso Marcello Mastroianni, Vittorio Gassman, Nino Manfredi, Ugo Tognazzi e Paolo Villaggio. Mi sembrava strano non averne mai sentito parlare. Dopo averlo visto ho capito perché: il film, una commedia satirica, nonostante alcune grandi interpretazioni e alcune idee geniali stenta a spiccare il volo, attestandosi su una media tra gli episodi sufficiente ma non di più. Il che, viste le premesse, è un po’ una delusione. Tuttavia, a prescindere dal merito “tecnico” del film, ci sono momenti che forse potevano essere divertenti ma che richiamavano troppo da vicino problemi odierni. Il che, considerando che si tratta di un film di oltre 30 anni fa, mi ha dato da pensare. I temi toccati infatti potrebbero essere presi dalla cronaca di questi mesi. E siccome un immagine vale più di mille parole e un filmato vale circa 25 immagini al secondo, credo che farò prima a mostrarvi direttamente le scene di cui parlo.

Vi fa pensare a qualcosa o a qualcuno? Magari ad un presidente del consiglio di nostra conoscenza? Ma andiamo avanti!

Inquietante, eh? Insomma, c’è anche la questione di Napoli e della sua classe politica. Non vado avanti con le analogie senno dovrei mostrarvi mezzo film, ma si parla anche di fuga dei capitali in Svizzera, di pensioni minime, della spettacolarizzazione televisiva delle disgrazie e della gerontocrazia.

Subito dopo aver visto il film ho pensato che erano stati dei geni a prevedere tutto questo. Pensandoci meglio, però, mi è venuto in mente che forse non avevano previsto nulla, che forse hanno parlato di problemi che erano attuali anche 30 anni fa. Quindi mi sono chiesto se davvero, negli ultimi 30 anni i problemi dell’Italia sono rimasti gli stessi. Forse per lo più questo è vero. Tuttavia c’è una differenza sostanziale rispetto al ‘76. Ed è la cosa più inquietante di tutte: i migliori registi di oggi non lo concepirebbero mai un film così e la nostra generazione di attori non vi parteciperebbe mai. Insomma un film del genere oggi non lo farebbe nessuno. (E se anche lo facessero difficilmente arriverebbe nei cinema visto che la società che distribuisce la maggioranza dei film italiani, la Medusa, è di Berlusconi)

Insomma oggi c’è molto meno spazio, rispetto a trent’anni fa, per la satira, quella vocina dissidente che sveglia le coscienze tra una risata e l’altra. Insomma siamo condannati ad una specie di letargia e chi prova a destarci (come i vari Luttazzi, Guzzanti, Rossi etc) viene subito allontanato. Insomma, tutto quello che possiamo fare è guardare un annunciatore che ci dice, più o meno chiaramente: “Signore e signori, buonanotte!”.

Un bloque  de 240 lb se suspende de un cable  inexistente que esta enrollado alrededor de un tambor de 1.25 pies de radio, unido rigidamente a un volante.

el tambor y el volante tienen un momento de inercia por combinado de I= 10.5 lb pies/seg.  En el instante  mostrado, la velocidad del bloque  es de 6 pies/seg dirigido hacia abajo. si el coginete A esta mal lubricado y la friccion el mismo es equivalente a un par  M de 60 lb pies magnitud.Determine la velocidad del bloque despues de que este se ha movido 4 pies hacia abajo                                  

Solucion :

Datos: 
r = 1.25 ft
I = 10.5 Lb.ft/s²
M=60 Lb.ft
V = 6 ft/s

Formulas: 
Momento de torsión =Ť = I ∙ α
   α=Ť/I 
–>  Vf ² = V0² + 2a(Xf-Xi)

Solucionando el problema:
Ť = I ∙ α 
α=Ť/I     –> (60 Lb∙ft) /(10.5 Lb∙ft/s²) = 5.71 rad/s²
at = r ∙ α = ( 1.25 ft ) X ( 5.71 rad/s² ) = 7.14 ft/s²
 –> Vf ² = V0² + 2a(Xf-Xi)
–> Vf ² =  6² + 2(7.14)(4-0) = 93.12
–> Vf =√(93.12) = 9.65 ft /s

MRU

Una vez entendidos los conceptos anteriores podemos entender el movimiento rectilíneo uniforme, conocido también por sus siglas como MRU.

El MRU es aquel movimiento que tiene una trayectoria en línea recta y en el que el móvil (objeto en movimiento) no cambia de velocidad. Como no cambia de velocidad se dice que no tiene aceleración o que su aceleración es nula, aunque lo mejor es decir que su aceleración  es igual a cero.

Como la velocidad es la misma en cualquier tiempo, sabemos que el móvil recorrerá distancias iguales en tiempos iguales.

Se recorren distancias iguales en tiempos iguales

Gráficas del MRU

Posición (rojo): vemos como la posicion aumenta proporcionalmente con respecto al tiempo.

Velocidad (verde): vemos como la velocidad no cambia con respecto al tiempo y por tanto forma una linea horizontal que representa su valor constante.

Aceleración(azul): la aceleración también es constante y tiene un valor (cero) .

Graficas del MRU

Fórmulas

La fórmula principal del mru la conocemos desde la secundaria: velocidad es igual a distancia entre tiempo.

Si la distania la tomamos como la distancia como diferencia de posiciones y el tiempo como diferencia de instantes tenemos:

Finalmente si volvemos a tomar un solo lapso de tiempo y despejamos de esta última la posicion final:

Bom dia, na aula de hoje iremos iniciar os princípios básicos da física. começando por: Movimento e trajetória, Deslocamento Escalar e Velocidade Escalar Média.

Então vamos a aula.

Movimento e Trajetória

Movimento – A posição do corpo varia em função do tempo em relação a um referencial.

Trajetória – Conjunto dos pontos correspondentes às posições sucessivas ocupadas pelo móvel num determinado intervalo de tempo.

Obs.: As noções de trajetória e movimento são relativas e, portanto dependem do referencial adotado.

Deslocamento Escalar

∆s = S₂ – S₁

Velocidade Escalar Média

Considerando a figura anterior:

• intervalo de tempo para percorrer t₁t₂ ∆t
• deslocamento escalar ∆s

V_N = ∆s / ∆t = S₂ – S₁ / t_{2 –} t₁

t₁: instante em que se passa por S₁

t₂: instante em que se passa por S₂

A aula de hoje fica por aqui, mas apanha as 5:00AM tem mais, qualquer duvida, escreva um comentário.

Bom estudo e até amanhã.

Introducción

Todo en el universo está en movimiento, si nos tomamos como referencia podemos ver como nos movemos al caminar y cómo las demás personas u objetos lo hacen también.  Aun cuando aparentemente estamos quietos, sabemos que estamos parados sobre la superficie de la tierra y que ésta viaja a una velocidad constante de aprox. 1600 km/hr durante su movimiento de rotación, por lo que podríamos concluir que aún estando nosotros estáticos nos movemos, junto con todo lo que se encuentre sobre ella, con la tierra y por tanto, estamos en movimiento.

También sabemos que nuestro cuerpo al igual que muchas otras cosas internamente está compuestos de agentes móviles de los que podriamos concluir en el átomo, que no es más que otro sistema más donde los electrones “giran”  y se mueven alrededor del núcleo de la misma manera en que los planetas giran alrededor del sol, de la forma en cómo las estrellas “creecen” de tamaño y de cómo el universo sigue expandiéndose.

Movimiento

El primer concepto que hay que entender el movimiento que se define como:

Todo cambio de posición en el espacio respecto a un punto de referencia. Asi cuando estamos parados y damos un paso, cambiamos de nuestra posición inicial a un posición nueva a la cual llamaremos posicion final. El punto de referencia es aquel punto que consideramos fijo y que no se mueve. Así, cuando vamos dentro del autobus para nosotros las demás personas no se mueven a pesar de que el camión va a cierta velocidad,  pero para el observador que esta en la calle sí, puesto que el punto de referencia no se mueve.

Trayectoria

Llamaremos trayectoria a la forma (rastro) que vaya dejando nuestro movimiento: recta, curva, elíptica, etc.

Representacion del sistema en el MRU

Cinemática

Debemos saber que la parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin atender sus causas es la cinemática.

Velocidad

Cuando cambiamos de posicion recorremos una distancia, y cuando la relacionamos con cuánto tiempo nos llevo recorrer esa distancia obtenemos la velocidad.  Asi pues, la velocidad es la distancia que recorre un movil en cierto intervalo de tiempo. Si para medir la distancia ocupo el metro(m), y para medir el tiempo utilizo los segundos (s) mi unidad de velocidad es: (m/s).

El velocimetro de nuestro auto en realidad mide la rapidez, concepto que difiere de la velocidad por ser un escalar

Aceleración

La aceración también mide un cambio con respecto al tiempo, pero no es el cambio de posición como lo hace la velocidad, si no el cambio de velocidad. Así pues, no existirá aceleración si el objeto que se está estudiando no cambia su velocidad.

Como la aceleración es el cambio de velocidad en cierto tiempo, si la velocidad la utilizo en metros sobre segundo (m/s)  y el tiempo en segundos (s):  (m/s/s)   y aplicando ley de la herradura (extremos por extremos, medios por medios) obtenemos la unidad de la aceración para el caso: (m/s^2)

cuando se cambia de velocidad menor a una mayor la aceleracion es positiva, intuir los otros casos

Cómo siempre es muy didáctivo ver un video donde se explican varios de los conceptos anteriores:

Son 73 ejercicios de nivel preuniversitario, es decir que no son ejercicios aptos para principiantes en esto de la Fisica. Todos los ejercicios estan resueltos paso por paso.
Contenido de ejercicios:

• MRUA
• Tiro vertical, tiro horizontal,tiro oblicuo
• Movimiento circular
• Relatividad de Galileo

Ver y descargar ejercicios de cinematica

ELG Magic 1.01

ejemplo M.R.U.A.

Es un freeware diseñado para el estudio de la cinemática, muy útil para estudiantes de bachillerato o para todo aquel que necesite un repaso en :

• Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
• Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)
• Tiro Vertical
• Tiro Oblicuo
• Tiro Horizontal

Se puede descargar en el siguiente sitio

http://personal.telefonica.terra.es/web/elgoiri/ELGMagic/

Software creado por :

ElGoiri inigoiri@terra.es

PREMESSA:

Studiando fisica ed essendo una studentessa di ingegneria,mi sono proposta di raccogliere qui alcuni video trovati su youtube affinchè possano essere utili a tutti coloro che studiano come me la fisica e anche a chi  semplicemente è un appassionato della materia.

LA CINEMATICA

E’ quella parte della meccanica in cui si studiano i moti prescindendo da quali siano le cause  che li generano :la descrizione del moto avviene attraverso le sole caratteristiche geometriche e temporali.

I SISTEMI DI RIFERIMENTO