Sim, eu do futuro, mais um post sobre números.

O fato é que casas decimais importam. Mais do que provavelmente imaginamos.

Tudo começou com a impressão dos números na saída do programa. Sem casas decimais suficientes, boa parte era 0. E assim foram horas.

Passada a primeira tela, comecei a imprimir os números com representação exponencial. Ah, só elogios. Nunca números como 2.452346e-23 foram tão belos. E então chegamos à segunda tela.

Para que eu usava estes números? – talvez o curioso pergunte. Eu os usava para criar curvas no gnuplot. Mas algumas delas tinham formas estranhas que não eram as esperadas. Mais uma vez, casas decimais.

Veja, apesar de agora estar utilizando notação exponencial, alguns conjuntos de números eram muito sensíveis às variações. Logo, 6 casas decimais ainda não eram suficientes. Chutei 30. E a coisa começou a funcionar.

Mas isso me intrigou: Até quando? Ora, não há nada que me garanta – no momento – que 30 casas decimais serão o suficiente para todas as combinações bizarras do mundo. O que fazer? Bem, minha solução foi, invés de imprimir os números na saída, os quais seriam lidos pelo gnuplot e interpretados como coeficientes de um polinômio, calculei eu os valores de f(x) e imprimi os valores (x, f(x)), aproveitando as variáveis de tamanho long double que possuía dentro do programa.

Como no caso das variáveis explodindo, isto também me deixou cicatrizes. Quantas não foram as vezes em que trunquei números para meras 2 casas decimais. Que garantias tive que estas simplificações não arruinaram o resultado? E eu repito: arruinaram! Houve casos em que determinados valores de x, que deveriam produzir f(x) na faixa  [0,1] produziram no lugar 400. Uma diferença muito maior que a faixa em que os valores de todo o domínio deveriam aparecer – [-80,1].

Talvez uma boa lição aqui seja:

Passe sempre a maior precisão possível.

Mas o quanto isso é viável? E todas essas ferramentas por aí que truncam os números onde acham pertinente? E se meu problema precisa de mais? E se eu não sei que meu problema precisa de mais? E se acabar o papel higiênico???

Tantos pesadelos…

Para quem trabalha com informática, saber converter números decimais em binários e binários em decimais é algo muito importante.

Neste mini-tutorial, pretendo ensinar de forma fácil, rápida e prática, uma simples técnica de conversão.

Os números binários, como o próprio nome diz, bi -> 2, utilizam apenas com dois números, 0 e 1.

Vamos então as conversões.

Vamos converter o numero 342 em binário.

Faça uma tabela, com o dobro dos números, começando do 1.

Exemplo: dobro de 1 -> 2, dobro de 2 -> 4, dobro de 4 -> 8 e assim sucessivamente. O tamanho da tabela varia de acordo com o tamanho do número a ser convertido.

Apos isso, marque com 1, os números cuja soma seja o valor a ser convertido e marque com 0, os números que não são serão utilizados na soma.

256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

1   |    0   |   1  |  0  |  1  | 0 | 1 | 1 | 0 |

Resultado: 101010110

Números marcados com 1 -> 256, 64, 16, 4, 2.

256 + 64 + 16 + 4 + 2 = 342

Para converter um numero binário em decimal, basta fazer o inverso:

Convertendo 100110 em decimal:

32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

1  |  0   | 0 | 1 | 1 | 0 |

32 + 4 + 2 = 38

Espero que tenham compreendido, grande abraço.

Oi Paulo, tudo bem?

Saiba que a sua dúvida é mais comum do que você imagina, por isso a maioria das pessoas nem toca no assunto.

Vamos lá:

Primeiro, vamos lembrar que a operação divisão popriamente dita é, na verdade, um processo recursivo, isto é, um algoritmo que aplicamos e reaplicamos até quando uma condição é satisfeita.

No caso, essa condição é a seguinte: enquanto o resto (r) da divisão for igual ou maior do que o divisor (d), repetimos o processo.

E isso é equivalente a dizer exatamente o contrário: quando o resto (r) da divisão for menor do que o divisor (d), encerramos o processo. Para divisões onde desejamos apenas quocientes (q) inteiros (ou seja, não decimais com dividendo (D) e divisor (d) também inteiros).

De forma linear, podemos escrever o algoritmo da divisão como:

D = d.q + r

Então, para efetuarmos uma divisão entre números decimais, basta que igualemos o número de casas decimais do para que possamos seguir com o processo descrito acima.

E por que precisamos fazer isso?

Note que todo número decimal é, na verdade, a representação linear de uma fração decimal (ou múltipla desta), assim:

Quer dizer, a quantidade de casas decimais após a vírgula sempre indicará quantos zeros haverá no número múltiplo de 10 que será, necessariamente, o denominador da fração.

Então, precisamos fazer isto (igualar o número de casas decimais após a vírgula) para que possamos efetuar o cálculo da divisão dentro do (único) processo conhecido.

Por exemplo, se quero dividir 12,345 por 1,2, devo igualar as casas decimais porquê:

Então, observe que, para efetuarmos a divisão de 1988,43 por 7,8414, como você sugeriu, precisamos, primeiro, igualar o número de casas decimais, assim:

Agora, é efetuar a divisão como a conhecemos:

1º passo:

198843‘00     | 78414         

  - 156828     | 2

      42015

2º passo:

198843′0‘0     | 78414         

    420150       | 25

 - 392070       |

     28080

 3º passo:

 198843′0′0′     | 78414         

     280800       | 253

  - 235242       |

     45558

4º passo:

 198843′0′0′     | 78414         

     455580       | 253,5          (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  - 392070       |

      63510

5º passo:

 198843′0′0′     | 78414         

     635100       | 253,58       (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  - 627312       |

      77880

6º passo:

 198843′0′0′     | 78414         

     778800       | 253,5809     (colocamos zero no resto e no quociente

   – 705726      |                    para continuar a divisão)

      73074

7º passo:

 198843′0′0′     | 78414         

     730740       | 253,58099    (colocamos zero no resto 

   – 705726      |                      para continuar a divisão)

      25014

E vou parar por aqui, já que o exemplo que você escolheu parece não terminar tão cedo…

Mas como você pôde acompanhar, temos uma aproximação bastante razoável (4 casas decimais) para a divisão de 1988,43 por 7,8414.

Se você tiver acesso a uma calculadora científica ou financeira (e, caso não tenha, no seu sistema operacional – Linux ou Windows, tanto faz – você encontrará uma calculadora em INICIAR>PROGRAMAS>ACESSÓRIOS, e no menu EXIBIR poderá escolher pelo formato CIENTÍFICO, de forma a obter mais de duas casas decimais nas operações elementares como esta divisão).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Matemática Essencial
• Só Matemática
• Mathematikos