Ada beberapa tokoh lainnya yang berjasa dalam perkembangan matematika baik dari dunia Islam maupun Barat. Diantaranya adalah :

1.at-Tusi (Trigonometri)                                     

2. Archimedes                           

3.Tokoh peluang

4.Ibnu Firnas                                                           

5.TOKOH LIMIT                            

6.Tokoh Penemu Lingkaran

7.Josiah W G ( vektor )                                         

8.TOKOH logika                            

9.LEONHARD EULER 1707

10.Jules (Transformasi)                                          

11.Tokoh Matriks                          

12.TOKOH PENEMU RUMUS BARISAN dan DERET

Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano  (1175 – 1250), dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret.baca selengkapnya

Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci (‘bersifat baik’ atau ’sederhana’). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem bilangan Arab.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)

Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.

  La rumeur d’Orléans en parlait depuis quelques temps… et cette semaine, surprise rue de la République en voyant passer un véhicule inhabituel : un petit camion au design sympa et … silencieux ! oui, il s’agit bien d’un véhicule électrique de livraison. La ville d’Orléans aurait-elle réussi son pari, celui de favoriser les livraisons par des véhicules électriques en centre ville, comme l’annonçait en 2008 ce document du service  déplacements de la Direction Voirie ? On y apprend que le véhicule aurait une charge utile de 2 tonnes et une autonomie de 8 heures. Après quelques recherches sur le net, il s’agit d’un constructeur anglais, MODEC, spécialisé dans la distribution de véhicules utilitaires électriques. Vu l’habillage du camion, le groupe orléanais Deret vient donc d’acquérir au moins un de ces véhicules.

Aucune trace sur le web…
Bizarre car à ce jour, pas de traces sur le web de cette nouveauté orléanaise. A l’heure où de nombreuses entités se couvrent de vert (greenwashing) avec des effets d’annonces, il est étonnant qu’une réalisation concrète comme celle-ci ne fasse pas plus de bruit… les véhicules électriques seraient-ils silencieux à ce point ? à suivre…

6. Pada sebuah ajang olahraga, sejumlah medali diberikan selama hari. Pada hari ke-, sejumlah medali dan sepertujuh dari medali sisanya diberikan, untuk . Pada hari terakhir, sisa medalinya diberikan. Berapa lamakah ajang tersebut berlangsung dan berapa banyaknya medali total?

Solusi:

Misalkan banyaknya medali yang diberikan pada hari ke- adalah dan banyaknya medali yang tersisa pada awal hari tersebut adalah . Maka , sehingga . Jadi , sehingga

…

Untuk kesingkatan, misalkan .

Jadi .

Jadi , sehingga habis dibagi . Tetapi , sehingga dan akibatnya . Maka didapat juga dan

5. Misalkan adalah bilangan-bilangan real, tidak semuanya nol. Misalkan juga untuk . Pada barisan , ada tak berhingga banyaknya yang nilainya 0. Tentukan semua nilai sehingga .

Solusi:

Jika genap, jelas bahwa nilai positif. Kita klaim bahwa jika ganjil, maka . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan adalah yang terbesar di antara , dan adalah bilangan dengan tanda berbeda dari yang paling besar. Maka . Misalkan . Jadi . Jika , jika kita ambil yang cukup besar, jelas bahwa , dan kita dapat kontradiksi. Maka , yaitu . Dengan cara serupa, kita bisa pasang-pasangkan sehingga jumlah setiap pasang adalah 0. Maka klaim kita terbukti. Jawabannya adalah bilangan ganjil.

4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat dan (; bilangan bulat), maka .

Solusi:

Perhatikan bahwa , bagi kedua ruas dengan , maka . Jadi . Jadi kita bisa lakukan telescoping,

9. Misalkan adalah jumlah dari suku pertama dari barisan a) Tentukan rumus . b) Buktikan di mana bilangan asli.

Solusi:

a) Jika genap, . Jika ganjil, .

b) Perhatikan bahwa memiliki paritas yang sama. Jadi .

Kalau ada yang mau belajar lagi mengenai teori deret

klik aja disini ya…

Rencana Pelaksanaan Pengajaran Matematika kelas IX SMP, Materi Barisan dan Deret

Adalah bentuk penjumlhan suku suku barisan yang tersusun secara berurutan.

Deret terdiri dari aritmatika dan geometri

“Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga penemuan: notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”
(The miracuolus powers of modern calculation are due to three inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)

Florian Cajori

Riwayat
Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian.

Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Problem kelinci
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.

Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618

Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.

Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² – Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.
Masih belum jelas, terlebih notasi:

1 6 2
2 9 10
yang berarti:

1 + 6 + 2
2.9.10 9.10 10

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

* Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”

Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.

Berikut ini adalah soal-soal UAN dan pembahasannya mengenai Baris dan Deret. Dalam UAN SMA IPA & IPS 2009 diperkirakan keluar sebanyak 2 soal, yaitu baris atau deret aritmatika dan geometri. Untuk SMK, sayang sekali soal mudah ini tidak akan dikeluarkan untuk UAN 2009.

Materi ini tergolong soal yang cukup mudah, hanya saja cukup banyak kemungkinan jenis soal yang akan dikeluarkan. Silahkan men-download materi ini, selamat belajar dan semoga berguna untuk para siswa dan guru.

Download Soal Baris & Deret

See Also
Contoh Soal UAN – Lingkaran
Contoh Soal UAN – Turunan
Contoh Soal UAN – Suku Banyak
Contoh Soal UAN – Logika Matematika
Contoh Soal UAN – Persamaan Linier

1. Mapping
2. Silabus
3. Bilangan berpangkat
4. Deret Dan Barisan
5. Latihan1
6. Latihan 2
7. Tugas
8. Alamat web
9. Gambar1
10. Gambar2
11. Gambar3
12. Gambar4
13. Gambar5

]]> http://waqidatun.wordpress.com/2009/01/17/tugas-media-pembelajaranq/ Sat, 17 Jan 2009 05:25:49 +0000 waqidatun http://waqidatun.wordpress.com/2009/01/17/tugas-media-pembelajaranq/

mapping

pangkat

deret

silabus

tugas

mapingq

bab1

bab2

tugas

http://johanfirdaus.zo-ka01.com/, December 31st, 2008

public class Hitung {
    public Hitung()
    {
    }
    public static void main(String args[])
    {
        int nil=0;
        System.out.println("Belajar Berhitung ");
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
        System.out.println(nil++);
    }
}

Matakuliah Matematika Ekonomi pada ps Agribisnis diarahkan agar mahasiswa mampu menggunakan matematika sebagai dasar pengembangan kompetensi keilmuan agribisnis seperti penerapan dalam ekonomi mikro dan ekonomi makro. Selain itu mahasiswa mempunyai dasar pemahaman dalam analisa kuantitatif yang akan diperoleh dalam semester berikutnya.

Materi Matematika ekonomi dapat diperoleh:

1. Pendahuluan
2. Himpunan
3. Sistem Bilangan
4. Pangkat, akar, logaritma
5. Deret
6. Fungsi
7. Hubungan linear
8. Hubungan non-linear
9. Diferensial fungsi sederhana
10. Limit dan Kesinambungan Fungsi
11. Diferensial fungsi sederhana (lanjutan)
12. Diferensial fungsi majemuk
13. Integral
14. Matriks
15. Matriks (lanjutan)

Untuk memperdalam pemahaman tentang dasar matematika, mahasiswa diperkenalkan alat bantu berupa software matematika yang dapat diperoleh :

1. R Project for Statistical Computing
2. SAGE Software for Algebra and Geometry Experimentation
   • The Sage Tutorial
3. Maxima (a general purpose Computer Algebra system)

Link:

Berapa hasil akhir dari deret tak hingga ?

Ada yang bilang hasil akhirnya 0 dengan alesan

Ada juga yang bilang hasil akhirnya 1, alesannya

Hayo..mana yang benar?

Dalam matematika deret dibagi menjadi dua yaitu deret konvergen dan divergen

Deret disebut konvergen jika mempunyai hasil dengan syarat ,

Deret konvergen sebaliknya..

Jadi sekarang kita tinggal menentukan apakah deret konvergen atau divergen, dengan cara mecari nilai dari

Didapat dan , maka dapat kita simpulkan adalah deret divergen, dengan kata lain deret tidak mempunyai jumlah

Jadi yang mengatakan ataupun adalah SALAH

]]> http://ariaturns.wordpress.com/2008/08/23/109999999999/ Sat, 23 Aug 2008 19:06:39 +0000 Aria Turns http://ariaturns.wordpress.com/2008/08/23/109999999999/

Perhatikan

1/3=0.33333333……

1=3 x 0.3333333…..

1=0.99999999…

Kenapa begitu? kenapa 0.9999999…dianggap sama dengan 1?

Dalam analisis real (bidang dari matematika yang mempelajari bilangan real) ada teorema yang disebut teorema density, teorema kepadatan yang bunyinya:

Setiap x dan y dua bilangan real yang berbeda dimana x<y  maka SELALU ada bilangan rasional r dimana x<r<y

Pertanyaannya apa ada r diantara 1 dan 0.9999999 (0.9999999999… <r<1)?

Ingat r adalah bilangan rasional yang artinya r adalah hasil dari pembagian dua bilangan bulat. kita misalkan r=m/n diamana m,n bilangan bulat maka

0.9999999999… < m/n <1

0.9999999999… n<m<n

Jelas tidak ada m, n bilangan rasional yang memenuhi pertidaksamaan diatas, dengan kata lain tidak ada r bilangan rasional diantara 0.9999999999… dan 1. Artinya 1 dan 0.9999999999… adalah bilangan yang sama.

Cara lain melaluideret geometri tak hingga

0.9999999999…=(9/10)+(9/100)+(9/1000)…..

0.9999999999…=9x (0.1+0.01+0.0001+………)

Dengan a=9 dan r=0,1, rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah (ar)/(1-r) maka

0.9999999999…=(9×0.1)/(1-0.1)

0.9999999999…=1

]]> http://apiqquantum.wordpress.com/2008/08/19/belajar-matematika-kreatif-dengan-power-point/ Tue, 19 Aug 2008 23:25:55 +0000 apiqquantum http://apiqquantum.wordpress.com/2008/08/19/belajar-matematika-kreatif-dengan-power-point/ http://ediant.wordpress.com/2008/07/31/program-menghitung-jumlah-deret-hitung-suku-ke-n/ Thu, 31 Jul 2008 03:36:23 +0000 ediant http://ediant.wordpress.com/2008/07/31/program-menghitung-jumlah-deret-hitung-suku-ke-n/