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CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES

alex911161 — Mon, 30 Nov 2009 20:53:40 +0000

MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

H_G= ∑(i=1)^n[r´i×v´i ∆mi]

Donde y denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene: H_G= ∑_(i=1)^n[r´i×(w×r´i) ∆mi]

Movimiento angular.

En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo alrededor del punto O. En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia Oxyz Centrado en el punto fijo O. donde los momentos de inercia Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

ECUACIONES DE L MOVIMIENTO

Ecuaciones de movimiento de traslacion.

Forma vectorial: ∑F =maG

Ecuaciones escalares: ∑Fx = m(ag)x ∑Fy= m(aG)y ∑Fz = m(aG)z

Aqui, ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk representa la suma de todas las fuerzas ezternas que actuan sobre el cuerpo.

Ecuaciones del movimiento rotatorio.

∑Mo = Ho’ establece que la suma de los momentos con respecto a un punto fijo O, de todas las fuerzas externas que actuan sobre un sistema de particulas es iual a la rapidez de cambio del momento angular total del cuerpo con respecto al punto O.

Si x,y,z representa un marco inicial de referncia, el momento angular de la iesima particula con respecto a este marco, y derivando con respecto al tiempo se obtiene:

(H’i)G = r’ i/G x mi v i/G +r i/G x miv’i/G

MOVIMIENTO DE UN GIROSCOPIO

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

MOVIMIENTO LIBRE DE PARES.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de pares. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles siempre que, respecto a estos ultimos, se desprecien los efectos de la fricción del aire.

Para decribir las caracterisicas de este movimiento se supondra que la distribucion de la masa del cuerpo es axisimetrica. El origen de las coordenadas x,y,z se ubica en el centro de masa G. de tal modo que:

Izz = Iz e Ixx = Iyy= I para el cuerpo. Si la unica fuerza externa presente es la gravitacion, la suma de momentos con respecto al centro de masa es cero. Es necesario que el momento angular del cuerpo sea constante HG = const

De estas formulas y tomando en cuenta la velocidad angular w de x,y,z podemos decir que:

w = (HGsenO /I) j + (HGcosO/Iz) k

Cinética de cuerpos rígidos en 3 dimensiones

jcochoav — Mon, 30 Nov 2009 19:18:31 +0000

Esta definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su rapidez. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética.

*MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA

Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

*MOVIMIENTO ANGULAR

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento cinético de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

*ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

Segunda ley de newton que se usa en Mecánica Newtoniana

Ecuación de Euler-Lagrange en Mecánica Lagrangiana

Ecuación de Hamilton en Mecánica Hamiltoniana

*MOVIMIENTO DE UN GIROSCOPIO

El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de simetría. Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección “intuitiva”.

De acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesión y la nutación. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones de Euler.

Cuando se aplica un momento a un cuerpo en rotación cuyo momento angular es , la dirección del eje de rotación del cuerpo se anima de un movimiento de rotación de velocidad angular . Esta velocidad angular, llamada velocidad de precesión, está relacionada con el momento y el momento angular por la fórmula: .

La velocidad de precesión, como todas la velocidades angulares se mide en radianes/segundo. En módulo, la velocidad de precesión es igual a . Es decir, para una misma cantidad de momento, la magnitud de la velocidad de precesión es tanto más pequeña cuanto el momento angular sea más grande. Y como el momento angular es el producto de la velocidad de rotación del giroscopio multiplicada por su momento de inercia, se puede reducir la velocidad de precesión aumentando el momento de inercia,la velocidad de rotación o ambas.

Aquí encontramos el interés de utilizar un giroscopio para conservar una referencia de dirección. Partiendo del reposo, todos los cuerpos conservan la orientación que tienen salvo cuando se les aplican momento externos. En ese caso, cuando un cuerpo no gira, el efecto del momento es el de crear una aceleración angular, la cual crea una velocidad angular creciente. Cuando el momento se interrumpe, el objeto sigue girando con la velocidad angular que adquirió. En cambio, cuando el mismo momento se aplica a un objeto en rotación, este comienza a girar con la velocidad de precesión calculada antes. Y cuando el momento se interrumpe, la precesión del objeto también se interrumpe. El resultado es que, en un giroscopio, los momentos parásitos tienen mucho menos efecto a largo plazo que en un objeto sin rotación. Además, se puede disminuir el efecto de esos momentos, aumentando el momento de inercia y la velocidad de rotación del giroscopio.

*MOVIMIENTO LIBRE DE PARES

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es la gravitación, al momento general del cuerpo se le llama movimiento libre de pares. Este tipo de movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles siempre que, respecto a estos últimos, se desprecien los efectos de la fricción del aire.

ω= (H_Gsen θ)/ I j + H_G cos θ/I_Z

CINEMATICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENCIONES

alex911161 — Mon, 30 Nov 2009 19:00:19 +0000

ROTACION.

Cuando un cuerpo rígido gira en torno a un punto fijo, la distancia r del punto a una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. El movimiento a lo largo de esta trayectoria se obtiene a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, en seguida mostrare algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales:

>Teorema de Euler.

Establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una rotación unica resultante. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden combinarse en pares y cada par puede reducirse para combinarse en una rotación.

>Rotaciones finitas.

Si las rotaciones componentes que se emplean en el Teorema de Euler son finitas es imporante mantener el orden en que se aplican. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por lo mismo no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

>Rotaciones infinitesimales.

Al definir los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento tridimencional, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

>Velocidad angular.

Si el cuerpo se somete a una rotación angular dO con respecto a un punto fijo, la velocidad angular del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. w=O’

La linea que especifica la dirección de w que es colineal con dO se denomina el eje instantáneo de rotación.

>Aceleración angular.

Se determina a partir de la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo.

&=w’

Para el movimiento al rededor de un punto fijo, &debe tener en cuenta un cambio tanto en la magniud como en la direccion de w, y por lo tanto en general, & no se dirige a lo largo del eje instantaneo de rotacion.

>Velocidad.

Una vez especificada w, puede calcularse la velocidad de cualquier punto P de un cuerpo que gira en torno a un punto fijo con los mismos metodos que se emplean para un cuerpo giratorio en torno a un eje fijo. Por tanto, de acuerdo con el producto vectorial:

v=w x r

r define a la posicion de P medida a partir del punto fijo O,

>Aceleracion.

Si se conocen w y & en determinado momento, puede obtenerse la aceleracion de cualquier punto P en el cuerpo diferenciando la ecuacion anterior de velocidad.

a= & x r + w x (wxr)

DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACION Y ROTACION

Consideremos que los ejes x, y, z del marco movil de referencia y suponiendo que tienen una velocidad angular Ώ medida con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. Será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

ANALISIS DEL MOVIMIETO RELATIVO EMPLEANDO EJES DE ROTACION Y TRASLACION

La forma más general de analizar el movimiento de un cuerpo rígido en tres dimenciones requiere del empleo de un sistema de ejes x, y, z que se traslade y gire en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Cinemática de Cuerpos Rígidos

jcochoav — Mon, 30 Nov 2009 18:35:24 +0000

La cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo) que significa mover.

Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.

*ROTACIÓN

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por: V=vEt

El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad es: v=ds/dt pero se verifica que ds = rdθ, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que v=ds/dt =rdθ/dt. El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω: ω=dθ/dt, y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemos escribir: v=ωr.

La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

*TRASLACIÓN

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico lo podemos definir del modo siguiente: Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento.

En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector r_ij = r_i-r_j debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además,en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección y sentido; entonces, siendo c un vector constante, podemos escribir: ri-rj=c, y derivando con respecto del tiempo:

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad.

Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, P_i y P_j, pertenecientes al sólido, y sean r_i y r_j sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r′_i y r′_j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación se expresa en la forma:

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectorias circulares.

*ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO EMPLEANDO EJES DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

El movimiento relativo es el cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de r eferencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo. Para analizarse este movimiento relativo se utilizan ejes de rotación y de traslación para poder tener un origen y de empezar a analizar el movimiento.

CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN 3 DIMENSIONES

robertoceti — Mon, 30 Nov 2009 06:50:43 +0000

La cinetia se realiza el analisis del movimiento de un cuerpo real, considerando que teoricamente el cuerpo no se deforma, y tomando en cuenta las fuerzas que propician, contrarrestan o se producen en el movimiento del cuerpo.
En la cinetica se analisa el centro de gravedad para saber la hubicacion del cuerpo en el plano cartesiano, teoricamente se dice que en el centro de gravedad se concentra toda la masa del cuerpo.
Las coordenadas con respecto a un sistema de referencias (x y z), es donde se define el centro de gravedad de un cuerpo y mediante el cociente de dos integrales cuyo dominio de integracion es el volumen.
Sus unidades fisicas son (el kg en sistema internacional, y el slug en sistema ingles)
Y se dice que el movimiento o la velocidad de estos cuerpos son inferiores a la velocidad de la luz, por que su caracteristica principal es que no se deforman, poseen su centro de gravedad y momento de inercia ubicado a un eje en un sistema de referencia.

CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS EN 3 DIMENSIONES

robertoceti — Mon, 30 Nov 2009 06:26:27 +0000

La cinematica estudia el movimiento de los cuerpos rigidos sin conciderar las fuerzas que le influyen, cualquier cuerpo real contiene una masa, osea que ocupa un lugar en el espacio.
Esto es un cuerpo tridimensional, en el cual contiene tres puntos en el espacio, 1) largo 2) ancho y 3) espesor, estos cuerpos tienen dos propiedades esenciales, una es el centro de gravedad y la otra es el momento de inercia.
Estos cuerpo aplicados en un diagrama de cuerpo libre, es con repecto a unas coordenadas (x y z), donde la cantidad de masa o la forma de la figura, dificultan el movimiento del cuerpo.
Para calcular el movimiento se utiliza el concepto de masa de inercia definido por una integral.

Cazacu Anrei - Cutremurul.

Alexandru Curbet — Mon, 30 Nov 2009 05:46:11 +0000

CINEMATICA Y CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN 3 DIMENSIONES

mrarriaga — Mon, 30 Nov 2009 04:51:47 +0000

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES.

Rotación.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales. Teorema de Euler. Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación. Rotaciones finitas. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales. Rotaciones infinitesimales. Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera. Velocidad angular. Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación. Aceleración angular. La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES.

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

H_G= ∑(i=1)^n[r´i×v´i ∆mi] (18.3)

Movimiento angular.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z de manera que coincidan con los ejes con los ejes principales de inercia del cuerpo es posible utilizar las relaciones simplificadas para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se omiten las primas de los subíndices ,

Movimiento de un Giroscopio

Movimiento libre de pares.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de par motriz. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles –con tal de que se desprecien los efectos de la fricción del aire.

Cinematica y Cinetica

corjim — Mon, 30 Nov 2009 04:06:29 +0000

CINEMÁTICA DE CUERPO RIGIDO EN 3 DIMENSIONES.

Rotación.

Teorema de Euler.

Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN 3 DIMENSIONES

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo alrededor del punto O.

En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia Oxyz Centrado en el punto fijo O.

donde los momentos de inercia Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

Si se eligen los ejes x,y,z de manera que coincidan con los ejes con los ejes principales de inercia del cuerpo es posible utilizar las relaciones simplificadas (18.10) para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se omiten las primas de los subíndices ,

Movimiento de un Giroscopio

Movimiento libre de pares.

Cinematica de cuerpos rigidos en 3 dimenciones

horacio046 — Mon, 30 Nov 2009 00:54:36 +0000

Movimiento de los Cuerpos Rıgidos en 3D
Traslaciones puras en 3D pueden expresarse con con facilidad ya que son
muy similares a el caso en 2D. Como el caso anterior en 2D de nuevo las traslaciones
en 3D pueden representarse por vectores (Un vector de tres componentes
en este caso). De igual manera las rotaciones act´uan sobre las traslaciones y el
movimiento general en 3D puede representarse usando una matriz 4×4 dividida
como se muestra a continuaci´on

De nuevo se emplea la regla de multiplicaci´on

Para describir un movimiento r´ıgido en 3D, se estar´ıa tentado a pensar que en
general seria una rotaci´on alrededor de una l´ınea en el espacio. Esta afirmaci´on
tiende a ser no general ya que tambi´en es permitido una traslaci´on a lo largo del
eje de rotaci´on (l´ınea en el espacio) el resultado entonces de combinar la rotaci´on
mas una traslaci´on a lo largo del eje seria un movimiento de h´elice o de tornillo
ver fig(D.2).
El movimiento en forma de tornillo se representa usando la siguiente matriz

En la ecuaci´on [B.20] la matriz de en medio muestra un movimiento tornillo, es
decir una rotaci´on alrededor del eje ~v seguida por una traslaci´on en direcci´on de
~v. Las otras matrices conjugan la matriz de en medio y sirve para mover la l´ınea
a una posici´on arbitraria en el espacio. El par´ametro p es la frecuencia del tornillo
(vueltas por distancia). Cuando p = 0 se genera un rotaci´on pura, un valor
de p positivo indica un movimiento tornillo en direcci´on la mano izquierda y un
valor de p negativo un movimiento tornillo en direcci´on la mano derecha. Para
mostrar que el movimiento de un cuerpo r´ıgido en general se representa por un
movimiento tipo tornillo, se debe encontrar el valor de los par´ametros ~v, u, y p.
El vector unitario ~v en direcci´on de la l´ınea se encuentra de manera f´acil ya que
debe ser un eigenvector de la matriz de rotaci´on.
El vector u es mas dif´ıcil de encontrar ya que es cualquier vector de posici´on
de cualquier punto en el eje de rotaci´on. Pero se puede especificar u de manera
49
sea normal al eje de rotaci´on, imponiendo la condici´on u · ~v
p
2
~v + (I − R)u = t (B.21)
siendo ~v · Ru = ~v · u = 0, por que la rotaci´on es alrededor de ~v, sustituyendo en
[B.22] se encuentra el par´ametro p
p =
2

~v · t (B.22)
Por ultimo se encuentra el par´ametro u resolviendo
(I − R)u = (t − (~v · t)~v) (B.23)
Para entender se plantea el siguiente problema : Dada la matriz de transformaci´on
Encontrar los par´ametros p,,~v y u
Primero se debe encontrar el par´ametro ~v = (vx, vy, vz)T , este par´ametro se
encuentra resolviendo (I − R)~v = 0 esta a causa que por ser ~v el eje de rotaci´on
es invariable por la transformaci´on R
(I − R)~v =
0
BB@

Aplicando cualquier m´etodo reducci´on de matrices encontramos que vz = 0 y
vx = vy, por tanto el vector unitario v es:

Para encontrar el ´angulo de rotaci´on , se observa que ~v no tiene componentes
en la direcci´on de z entonces k · ~v = 0. al ser k perpendicular al eje de rotaci´on,
el efecto de la rotaci´on es k · Rk = cos entonces cos = p3/2 y el valor de
50
= /6. Conociendo el valor de los par´ametros ~v y se procede a encontrar

(~v · t) = 4
Figura B.2: Encontrando el ´angulo de rotaci´on.

Rotacion en 3D
Ahora se estudiara las transformaciones en tres dimensiones. Para conveniencia
usaremos la notaci´on estandarizara en la cual i,j y k representan vectores
unitarios en la direcci´on x,y y z respectivamente. En 3D cualquier rotaci´on es
alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotaci´on en 3D se debe especificar el
´angulo de rotaci´on y tambi´en un vector unitario ~v en direcci´on el eje de rotaci´on.
Para asignar una matriz de rotaci´on con una dimension de 3×3 se escribe R(, ~v)
R(, k) =
0
B@
cos −sin 0
sin cos 0
0 0 1
1
CA
(B.11)
El efecto de la transformaci´on en un punto con coordenadas (x, y, z)
0
B@
x cos − y sin
x sin + y cos
z
1
CA
=
0
B@
cos −sin 0
sin cos 0
0 0 1
1
CA
0
B@
x
y
z
1
CA
(B.12)
45
La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo
y por tanto es una rotaci´on en el plano xy
De forma similar podemos expresar rotaciones en los eje yz y zx
R(, i) =
0
B@
1 0 0
0 cos −sin
0 sin cos
1
CA
R(, j) =
0
B@
cos 0 sin
0 1 0
−sin 0 cos
1

Notar que el signo en los t´erminos sin() en la rotaci´on R(, j est´an al reves, esto
es a causa la rotaci´on radianes es medida para este caso en direcci´on manecillas
del reloj,
Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una despu´es
de la otra se obtiene usando la multiplicaci´on matricial, Por tanto las rotaciones
en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de
rotaci´on es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:

Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en [B.14]

Se observa las soluciones son diferentes. N´otese tambi´en que el resultado no es
una rotaci´on alrededor un eje de coordenadas.
46
Observando las matrices representan una rotaci´on, ahora la pregunta que surge
es ¿como poder representar una rotaci´on general en 3D? . La pregunta no es f´acil
de contestar, Como se menciono toda matriz de rotaci´on cumple la relaci´on
R(, ~v)T R(, ~v) = I detR = I (B.15)
Para encontrar la representaci´on matricial de una rotaci´on alrededor de un vector
arbitrario, se puede usar la conjugaci´on. Por ejemplo sea ~w un vector unitario
en el plano xz generando un ´angulo con el eje z. Una rotaci´on de radianes
alrededor de este vector pede encontrarse rotando ~w de manera coincida con el
eje z, luego rotar radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a
su posici´on inicial definida por w
R(, ~w)= R(, j)R(, k)R−1(, j) (B.16)
En 2D es posible escribir cualquier matriz de rotaci´on usando un sol´o par´ametro,
definiendo esta par´ametro usando la variable .
En 3D resulta que se necesitan tres par´ametros, pero es imposible elegir estos
par´ametros en forma inequ´ıvoca. Por razones de topolog´ıa siempre abra una elecci
´on de par´ametros que den como resultado la misma matriz.Estas imperfectas
parametrizaciones aun as´ı pueden ser ´utiles. Por ejemplo se puede pensar que
una rotaci´on general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de
coordenadas
R(x, y, z)=

Aparte del echo esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando
al par´ametro y = /2 la matriz se convierte en
Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre
que x = z + c donde c es una constante real.
47

Dinámica de rotación y traslación
En estos casos el cuerpo se traslada y además rota respecto a un eje perpendicular
al plano de movimiento. En estos casos es conveniente considerar
las rotaciones respecto a un eje que pasa por el centro de masa porque se
cumple que
IG
d
dt
􀂁ω = 􀂁Γext
G (9.31)
o bien para la componente perpendicular al plano del movimiento
IG
d
dt
ω = Γext
G , (9.32)
IGα = Γext
G , (9.33)
además de
M􀂁aG = F􀂁 ext. (9.34)
Puede ser útil la energía cinética, cuya expresión es
IGω2, (9.35)
siendo la primera parte 1
2Mv2G
llamada energía cinética de traslación y la
segunda parte 1
2 IGω2 energía cinética de rotación.

Movimiento de un giroscopio

Los giróscopos son objetos muy interesantes debido a que parecen desafiar la gravedad; Además, en ellos
actúan diversos fenómenos físicos a causa de que el eje de rotación cambia de dirección en todo momento. Éstas
propiedades especiales de los giróscopos son muy importantes debido a que se aplican desde una bicicleta hasta
en un sistema de navegación avanzado como puede ser un transbordador espacial

El mismo, si lo sostenemos con el eje del volante horizontal y se suelta, cuando el volante no esta girando,
el extremo libre del eje cae debido a la gravedad. Si el volante gira, se produce un movimiento circular uniforme del
eje en un plano horizontal, combinado con la rotación del volante alrededor del eje. Éste movimiento del eje, no
intuitivo, se denomina precesión.
Para el estudio de este fenómeno se relaciona el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo y la razón a
la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la ecuación:
Σ =
dt
dL
τ (1)
Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetría, Li está a lo largo del eje. Cada cambio del momento
angular dL es perpendicular al eje, porque el momento de torsión r w τ = × también lo es la dirección de L, pero no su magnitud. Los cambios dL siempre están en el plano horizontal x-y, así que el
momento angular y el eje del volante con el que se mueve siempre son horizontales. Es decir, el eje no se cae,
tiene precesión. El cambio infinitesimal del momento angular es dL =τ ⋅ dt
, que es perpendicular a L. Esto implica
que el eje del volante del giróscopo giró un ángulo pequeño dθ dado por d dL L θ = . La razón a la cual se
mueve el eje, dθ / dt , se denomina velocidad angular de precesión:

Cuerpo Rigido en 3D (Cinematica, Cinetica)

emmanueltadeo — Mon, 30 Nov 2009 00:36:02 +0000

Cinematica de cuerpos rigidos en 3D

-Introducción

En mecanica el movimiento es un fenomeno fisico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia.

Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la fısica que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinematica. La parte de la fısica que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinamica.

Se definio anteriormente al solido rıgido como un sistema de masas puntuales, sometido a las ligaduras holonomas y que la distancia entre los pares de puntos que forman al solido permanecen inalteradas durante el movimiento. Aunque sea una idealizacion de la realidad, el concepto es muy usual y la mecanica del solido rıgido merece atencion. -

-ROTACION

La rotación de un cuerpo rigido en donde R (matriz de transformacion) se define a continuacion :

r´= Rr

Se observa las soluciones son diferentes. Notese tambien que el resultado no es una rotacion alrededor un eje de coordenadas.Observando las matrices representan una rotacion, Como se menciono toda matriz de rotacion cumple la relacion:

Para encontrar la representacion matricial de una rotacion alrededor de un vector arbitrario, se puede usar la conjugacion. Por ejemplo sea ŵ un vector unitario en el plano xz generando un angulo θ con el eje z. Una rotacion de Ф radianes alrededor de este vector puede encontrarse rotando ŵ de manera coincida con el eje z, luego rotar Ф radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a su posicion inicial definida por w

En 3D resulta que se necesitan tres parametros. Estas imperfectas parametrizaciones aun ası pueden ser utiles. Por ejemplo se puede pensar que una rotacion general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de coordenadas

Aparte del hecho esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando al parametro Фy = π/2 la matriz se convierte en

Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre que θx = θz + c donde c es una constante real.

-Derivadas de un vector de traslación y rotación.

A=Axi+ Ayj+ Azk

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

-Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

Cinetica de cuerpos rigidos en 3D

-Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular H_G de un cuerpo alrededor de su centro masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Donde r² y v_i denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P_i de masa Δm_i, relativa al sistema de referencia centroidal G_xyz. Pero v_i= ω x r_i, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituirla, se tiene:

-Movimiento angular

Para un cuerpo rigido:

Es la sumatoria de la cantidad de movimiento angular de cada elemento de masa del cuerpo rigido.

-Ecuaciones del movimiento

En conjunto la ecuacion de fuerzas y momentos permiten definir completamente el movimiento de una particula, sistema de particulas o cuerpo rigido en 3D.

con base a la mecanica newtoniana:

Para un mejor manejo de las variables, la rotacion y traslacion de un cuerpo rigido se encapsulan en una forma matricial. Para el caso de 3D en una matriz de cuatro columnas por cuatro reglones.

Se usara la notación estandarizada : (i,j,k) para representación de vectores unitarios en dirección x, y, z respectivamente.

En 3D cualquier rotacion es alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotacion en 3D se debe especificar el angulo de rotacion Ф y tambien un vector unitario Û en direccion el eje de rotacion. Para asignar una matriz de rotacion con una dimension de 3x3 se escribe R(Ф,Û)

El efecto de la transformacion en un punto con coordenadas (x,y,z):

La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo y por tanto es una rotacion en el plano xy

De forma similar podemos expresar rotaciones en los ejes yz y zx

Notar que el signo en los terminos sin (Ф) en la rotacion R (Ф,j) estan al reves, esto es a causa la rotacion Ф radianes es medida para este caso en dirección de las manecillas del reloj.

Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una después de la otra se obtiene usando la multiplicacion matricial, Por tanto las rotaciones en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de rotacion es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:

Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en la anterior:

El siguiente orden de la multiplicacion da como resultado

Cinetica,Cinematica de cuerpos rigidos en 3D

zpike87 — Sun, 29 Nov 2009 20:02:27 +0000

cinematica de cuerpos rigidos en 3D

Rotación.

Teorema de Euler.

Rotaciones finitas.

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

Rotaciones infinitesimales.

Velocidad angular.

Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación.

Aceleración angular.

La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

Derivadas de un vector de traslación y rotación.

A=Axi+ Ayj+ Azk

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

Cinetica de cuerpos Rigidos en 3 dimensiones

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular de un cuerpo alrededor de su centro masa puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

Movimiento angular
En el caso particular de un cuerpo rigido restringido a girar en un punto fijo O, aveces resulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo al rededor del punto O.

Si bien Ho podria obtenerse primero calculando Hg
y despues utilizando la ecuacion

En muchas ocaciones es ventajoso determinar Ho directamente de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia Oxyz Centrado en el punto fijo O. Se escribe con la ecuacion :

Donde r y v denotan, respectivamente el vector de posicion y la velocidad de la particula P , con respecto al sistema de refrencia fijo Oxyz, Al sustituir
V=w X r, se encontro que las componentes de la cantidad de movimiento angular Ho (figura 18.5 b) esta dad por las relaciones

donde los momentos de inercia Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz se calculan con respecto al sistema de referencia Oxyz centrado en el punto fijo O.

Ecuaciones del movimiento de Euler

si se eligen los ejes x,y,z de manera que coincidan con los ejes con los ejes principales de inercia del cuerpo es posible utilizar las relaciones simplificadas (18.10) para determinar las componentes de la cantidad de movimiento angular Hg si se omiten las primas de los ubindices , se escribe:

donde Ix,Iy,Iz denotan los momentos de inercia centroilades del cuerpo se obtiene:

Estas ecuaciones llamadas Ecuaciones de movimiento de euler, se utilizan para determinar el movimiento de un cuerpo rigido alrededor de su centro de masa, tenemos 3 ecuaciones en forma escalar

Las cuales junto con las ecuaciones de euler forman un total de 6 ecuaciones diferenciales. Asi el moviento de un cuerpo rigido en tres dimenciones esta completamente definido por la resultante y por la resultante de momentos de las fuerzas externas que actuan en el.

Movimiento de un giroscopio

Un giroscopio consiste esencialmente, en un motor que puede girar libremente al rededor de su eje geometrico.
Para calcular las componentes de velocidad angular y de la cantidad de movimiento angular del giroscopio , se usara un sistema de ejes en rotacion Oxyz ubicado en el balancin interno, con el eje y alo largo de BB’ y el eje z alo largo de CC’ figura (18.16)

Si se denota por i,j,k los vectores unitarios a lo largo de los ejes de rotacion y por K el vector unitario alo largo del eje Fijo Z se tiene:

Puesto que las componentes del vector que se obtuvieron para W en (18.33) noson ortogonales figura (18.16) el vector unitario K se descompondra en componentes alo largo de los ejes x,y,z y se escribe:

y al sustituir k en (18.33)

Existen 3 ecuaciones principales que son :

Estas ecuaciones definen el movimiento de un giroscopio sujeto aun sistema dado de fuerzas cuando se ignoran las masas de sus balancines. Tambien es posible usarlas para definir el movimiento de un cuerpo simetrico con respecto aun eje fijo en un punto de su eje de simetria, asi como para definir el movimiento de un cuerpo simetrico con respecto aun eje en relacion con su centro de masa.

Movimiento libre de pares

Puesto que la suma de los momentos de las furzas externas al rededor al centro de masa G del cuerpo es cero, al seleccionar un sistema rotatorio de ejes Gxyz con el eje z alolargo del eje de simetria del cuerpo, el eje x en el plano definido por los ejes Z y zy el eje y apuntando en direccion contrario a usted, se tiene:

Puesto que los ejes x,y,z son ejes principales de inercia para el cuerpo considerado es posible escribir :

donde I de nota el momento de inercia del cuerpo al rededor de su eje de simetria e I’ su momento de inercia al rededor de un eje transversal que pasa atraves de G

al dividir miembro a miembro la primera y tercera relaciones se obtiene la siguiente relacion entre los los angulos que los vectores w y Hg forman

considerando el caso de la figura 18.21

Deben distinguirse dos casos :

a) I<I’ este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y<θ el vector w se encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q la presicion es directa

b)I>I’ este es el caso de un cuerpo elongado se tiene y>θ el vector w se encuentra dentro del angulo ZGz; se dice q presicion es retrograda.

Cinetica de cuerpos rigidos en tres dimensiones

Matha Elizabeth — Sun, 29 Nov 2009 14:53:28 +0000

En los temas de Movimiento Plano de cuerpos rígidos: Fuerzas y aceleraciones , Metodos de la energia y la cantidad de movimiento se mostro el movimiento plano de los cuerpos rígidos y sistemas de cuerpo rigido. En Movimiento plano de cuerpos rigidos: fuerzas y aceleraciones y en la segunda mitad de metodos de la energia y la cantidad de movimiento, el aprendizaje se limita más a las placas planas de cuerpos simétricos con respecto al plano de refenrencia, muchos de los resultados fundamentales se obtubieron en esos dos temas siguen siendo válidos en el caso del movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones.

Por ejemplo, las 2 ecuaciones fundamentales

sobre las cuales se basó el análisis del movimiento plano de un cuerpo rígido siguen siendo válidas en elcasomás general del movimiento de un cuerpo rígido. estas ecuaciones expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema consistente enel vector ma fijo en G y el par momento Hg.

sin embargo, la relación Hg=Iw, la cual permitió deternminar la cantidad de movimientoangular de una placa rígida y que desempeña una parte importante en la solucion de problemas que implican el movimiento plano de placas y cuerpos simétricos con respecto al plano de ferenencia, deja de ser válida enelcaso de cuerpos no simétricos o movimiento en tres dimensiones. En consecuencia, en la primera parte: cantidad de movimiento angluar de un cuerpo rigido en tres dimenciones; se formula un método más general para calcular la cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo rigido en tres dimenciones.

Asimismo, si bien la característica principal del método del impulso-cantidad de movimiento que se analizo anteriormente esto es, la reducción de cantidad de movimiento de las particilas de un cuerpo rígido a un vector de movimiento lineal mv fijo al centro de masa G del cuerpo y un par de cantidad de movimiento angular Hg, sigue siendo válida, la relación Hg=Iw debe dascatarse y sustituirse por la relacion general que se formula en c anteantidad de movimiento angluar de un cuerpo rigido en tres dimenciones antes de que este método pueda aplicarse al movimiento tridimensional de un cuerporígido.

*-Cantidad de Movimiento angular de un cuerpo rigido en tres dimensiones.

Este tema habla de cómo la cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrederor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alredeor de G puede expresarse como

donde ri´y vi´denotan respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi, de masa ^mi(incremento de Mi), relativa al sistema de referencia centroidal Gxyz (figura 18.2).

Pero vi´=w*ri´,donde w es la velocidad angular del cuerpo enel instante considerado. al sustituir en (18.3), se tine

Si se recuerda la regla para determinar las componentes rectangulares de un producto vectorial, se obtiene la siguiente expresión para la componente x de la cantidad de movimiento angular

al sustoitiur las sumas por integrales en esta expresión y en las 2 expresiones similares que se obtienen para Hy y para Hz se tiene

se puede observar que las integrales contienen cuadrados que representan, respectivamente, los momentos de inercia controidales del cuerpo alrededor de los ejes x,y,z; se tiene

de manera similar, las integrales contienen productos de coordenadas que representan los productos de inercia de masas centroidales del cuerpo, se tiene

al sustituir de (18.5) y (18.6) en (18.4), se obtienen las componentes en la cantidad de movimiento angular Hg del cuerpo alrederor de su centro de masa

Las relaciones anteriores muetran que la operación que transforma al vector w en vector Hg, se caracteriza por elarreglo de momentos y productos de inercia en un arreglo matricial

de aqui en adelante se reslizan las operaciones para resolver una matriz por el metodo Gauss-Jordan hasta que solamente queda la diagonal principal con unos o Ix, Iy, Iz, donde estos representan los momentos de inecrcia centroidales principales del cuerpo y las reacciones se reducen a

Adviertase que si los 3 momentros de inercia centroidales principales, son iguales, las componentes Hx, Hy, Hz, de la cantidad de movimiento angular alrederor de G son proporcionales a las componentes wx, wy, wz, de la velocidad angular, y los vexctores Hg y w tendrán direcciones diferentes, excepto cuando las tres componentes de w sean cero, esto es, cuando w apunte alolargo de uno de los ejes de coordenadas.

Balan Veronica - Câmpul gravitaţional

Alexandru Curbet — Sun, 29 Nov 2009 05:44:59 +0000

cinematica y cinetica de cuerpos riguidos

jh0nny — Sat, 28 Nov 2009 12:40:48 +0000

Cinemática de cuerpos rígidos en 3D

Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica.

Se definió anteriormente al solido rígido como un sistema de masas puntuales, sometido a las ligaduras holonomas y que la distancia entre los pares de puntos que forman al solido permanecen inalteradas durante el movimiento. Aunque sea una idealización de la realidad, el concepto es muy usual y la mecánica del solido rígido merece atención.

ROTACIÓN:

La rotación de un cuerpo rígido en donde R (matriz de transformación) se define a continuación:

r´= Rr

Se observa las soluciones son diferentes. Nótese también que el resultado no es una rotación alrededor un eje de coordenadas. Observando las matrices representan una rotación, Como se menciono toda matriz de rotación cumple la relación:

Para encontrar la representación matricial de una rotación alrededor de un vector arbitrario, se puede usar la conjugación. Por ejemplo sea ŵ un vector unitario en el plano xz generando un ángulo θ con el eje z. Una rotación de Ф radianes alrededor de este vector puede encontrarse rotando ŵ de manera coincida con el eje z, luego rotar Ф radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a su posición inicial definida por w

En 3D resulta que se necesitan tres parámetros. Estas imperfectas parametrizaciones aun así pueden ser útiles. Por ejemplo se puede pensar que una rotación general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de coordenadas

Aparte del hecho esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando al parámetro Фy = π/2 la matriz se convierte en

Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre que θx = θz + c donde c es una constante real.

-Derivadas de un vector de traslación y rotación.

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

-Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

TEOREMA DE EULER:

ROTACIONES FINITAS:

Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

ROTACIONES INFINITESIMALES:

VELOCIDAD ANGULAR:

ACELERACIÓN ANGULAR:

La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.

DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN:

A=Axi+ Ayj+ Azk

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación:

Cinética de cuerpos Rígidos en 3 dimensiones

MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA:

La cantidad de movimiento angular de un cuerpo alrededor de su centro masa puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

Donde y denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero donde es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene:

MOVIMIENTO ANGULAR:
En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo alrededor del punto O.

Si bien Ho podría obtenerse primero calculando Hg

Y después utilizando la ecuación

Donde r y v denotan, respectivamente el vector de posición y la velocidad de la partícula P , con respecto al sistema de referencia fijo O x y z , Al sustituir V=w X r, se encontró que las componentes de la cantidad de movimiento angular Ho (figura 18.5 b) esta dad por las relaciones

donde los momentos de inercia Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz se calculan con respecto al sistema de referencia Oxyz centrado en el punto fijo O.

Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular HG de un cuerpo alrededor de su centro masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Donde r2 y vi denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi de masa Δmi, relativa al sistema de referencia centroidal Gxyz. Pero vi= ω x ri, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituirla, se tiene:

MOVIMIENTO ANGULAR PARA UN CUERPO RÍGIDO:

Es la sumatoria de la cantidad de movimiento angular de cada elemento de masa del cuerpo rígido.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:

En conjunto la ecuación de fuerzas y momentos permiten definir completamente el movimiento de una partícula, sistema de partículas o cuerpo rígido en 3D.Con base a la mecánica newtoniana:

Para un mejor manejo de las variables, la rotación y traslación de un cuerpo rígido se encapsulan en una forma matricial. Para el caso de 3D en una matriz de cuatro columnas por cuatro reglones.

Se usara la notación estandarizada: (i,j,k) para representación de vectores unitarios en dirección x, y, z respectivamente.

En 3D cualquier rotación es alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotación en 3D se debe especificar el ángulo de rotación Ф y también un vector unitario Û en dirección el eje de rotación. Para asignar una matriz de rotación con una dimensión de 3×3 se escribe R(Ф,Û)

El efecto de la transformación en un punto con coordenadas (x,y,z):

La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo y por tanto es una rotación en el plano xy

De forma similar podemos expresar rotaciones en los ejes yz y zx

El signo en los términos sin (Ф) en la rotación R (Ф,j) están al revés, esto es a causa la rotación Ф radianes es medida para este caso en dirección de las manecillas del reloj.

Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una después de la otra se obtiene usando la multiplicación matricial, Por tanto las rotaciones en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de rotación es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:

Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en la anterior:

El siguiente orden de la multiplicación da como resultado

Ţenti Adriana - Satelitii artificiali

Alexandru Curbet — Sat, 28 Nov 2009 05:43:30 +0000

Trainee 2010 RBS - painel

Aline — Thu, 26 Nov 2009 13:25:15 +0000

Hoje comecei o dia com o pé direito! Recebi o email da Só Talentos informando que eu fui aprovada na dinâmica e agora preciso aguardar as instruções para a próxima etapa: o painel com o gestor da área.

Que legal!!! Fiquei bastante empolgada!

Depois de uma semana cheia de turbulências, segunda notícia boa!!

Adorei!

Agora vamos aguardar…

Alguém aí também recebeu retorno positivo? Ou negativo?

Agropoli; incidente stradale, muore 51enne di Baronissi

feliciano1979 — Thu, 26 Nov 2009 09:28:11 +0000

Tragico incidente stradale questa notte sulla Strada Provinciale 430 nei pressi di Agropoli poco prima di mezzanotte. Due auto, per cause ancora in corso di accertamento si sono scontrate frontalmente.

L’impatto è stato violentissimo. A perdere la vita un 51enne di Baronissi a bordo di una Toyota Yaris deceduto sul colpo. Ferita lievemente una 40enne di Salerno a bordo di una Land Rover. Sul posto per i rilievi del caso i Carabinieri ed i Vigili del Fuoco.

Burlei Daria - Deducerea expresiei Legii atracţiei universale

Alexandru Curbet — Thu, 26 Nov 2009 04:40:24 +0000

Momento y Producto de Inercia

otakusigma — Thu, 26 Nov 2009 01:47:33 +0000

Se define momento de inercia de un sistema respecto a un eje, plano o punto como la suma de las masas de las partículas por los cuadrados de las distancias a dichos elementos geométricos. Los elementos (Iz,Iy ,Iz ) de la diagonal principal de la matriz son los momentos de inercia respecto a los ejes AX,AY y AZ.

Se define producto de inercia de un sistema respecto a dos planos como la suma de las masas de las partículas por el producto de las separaciones a ambos planos. Se considera que la separación a un plano es positiva a un lado del plano y negativa al otro. Los elementos (Pzy,Pzz ,Pyz ) fuera de la diagonal principal de la matriz son menos los productos de inercia respecto a los pares de planos formados entre AXY,AXZ y AYZ. Se tiene:

En general, es necesario recurrir al calculo integral para calcular los momentos y productos de inercia de solidos. Sin embargo, las siguientes relaciones, llamadas relaciones fundamentales (obvias si uno considera los ejes de coordenadas y planos perpendiculares a ellos por el origen) facilitan frecuentemente el cálculo:
El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los momentos respecto a dos planos perpendiculares que se cruzan en él.
El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a tres planos perpendiculares que pasan por él.
El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma de los momentos respecto a tres rectas perpendiculares que pasan por él.
El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a un plano que pasa por él y respecto a una recta perpendicular al plano y que pase por él.
Los productos de inercia son nulos si uno de los dos planos es un plano de simetría.

Analisis del Movimiento Relativo en Tralación y Rotación

otakusigma — Wed, 25 Nov 2009 15:27:05 +0000

Movimiento Relativo en Traslación

Consideremos un sistema de referencia “fijo” S, con su origen O y los ejes cartesianos X, Y, Z, y un sistema S’ en movimiento, con su origen O’ y los ejes X’, Y’, Z’, paralelos a los ejes X, Y, Z, respectivamente, como se indica en la figura 1. Supongamos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo, t = t’. La posición r(t) de una partícula P en el tiempo t, indicada por el observador O está dada por:

siendo x(t), y(t), z(t) las coordenadas en el sistema S; mientras que vista por el observador O’, la posición r’(t) en el mismo tiempo, es:

siendo x’(t), y’(t), z’(t) las coordenadas en el sistema S’. La posición R(t) del observador O’ determinada por el observador O, en el tiempo t, es:

siendo X(t), Y(t), Z(t) las coordenadas en el sistema S. La relación entre los vectores de posición se puede ver directamente en la figura,

Es decir que la posición r(t) de la partícula desde el sistema de referencia “fijo” S corresponde a la posición r’(t) de la partícula medida desde el sistema en movimiento S’ más la posición R(t) del observador O’ respecto al sistema “fijo” S.

Para determinar la relación entre las velocidades tomamos el cambio respecto al tiempo en la ecuación 1,
siendo v(t) la velocidad de la partícula determinada en el sistema de referencia S:

mientras que v’(t) es la velocidad de la partícula obtenida por el observador O’:

y V(t) la velocidad conque se desplaza el observador O’ respecto al sistema de referencia “fijo” S, es:

Es decir, de acuerdo con la relación 2, que la velocidad v(t) de la partícula desde el sistema de referencia “fijo” S corresponde a la velocidad v’(t) de la partícula medida desde el sistema en movimiento S’ más la velocidad V(t) del observador O’ respecto al sistema “fijo” S.

Movimiento Relativo de Rotación

Consideremos dos sistemas de referencia en donde coinciden los dos observadores O y O’, con el sistema S “fijo” y el sistema S’ en rotación con velocidad angular w constante, alrededor de un eje fijo, como se indica en la figura 2. También, consideremos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo. La posición de una partícula determinada por los dos observadores, r(t) y r’(t), es igual,

con la posición respecto al sistema de referencia S dada en términos de sus coordenadas x(t), y(t), z(t), como

y la posición respecto al sistema de referencia S’ en términos de las coordenadas x’(t), y’(t), z’(t), dada por

con los vectores unitarios i’, j’, k’ en rotación respecto al sistema S.

La velocidad v(t) de la partícula determinada por el observador O, es:

mientras que v’(t) es la velocidad de la partícula obtenida por el observador O’:

Sin embargo, la velocidad determinada por el observador O se puede relacionar con la velocidad medida por el observador O’ considerando la relación 8, de tal manera que

sustituyendo la expresión para la posición r’(t),

debido a la rotación de los vectores unitarios primados respecto al sistema de referencia “fijo”. Los tres primeros términos corresponden a la velocidad de la partícula determinada por el observador O’. Por otra parte, los cambios en el tiempo de los vectores unitarios es la velocidad de un punto a una distancia unitaria girando con velocidad angular w constante,

por lo que la relación entre las velocidades es:

Factorizando a la velocidad angular de los últimos tres términos, tenemos:

por lo que obtenemos finalmente la relación:

Cinematica de cuerpos Rigidos en 3 Dimenciones

otakusigma — Wed, 25 Nov 2009 14:13:25 +0000

Rotación

Definición:

Girar una figura alrededor de un punto fijo, como gira una rueda sobre su eje.

Momento ángular de un partícula:

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv.

L=r´mv

Momento ángular de un sólido rigido

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w ·ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

Liz=miviricos(90-q i), es decir,

El momento angular de todas las partículas del sólido es:

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es:

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia:

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=Iw

Energía Cinética de Rotación

Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w ·Ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación.

Ecuación Dinámica de la Rotación

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·w, la ecuación anterior la escribimos

Movimiento de Translación

Se llama movimiento de traslación de un sólido aquel, durante el cual cualquier recta del punto en este lapso, a la duración de dicho intervalo
asociada rígidamente a dicho sólido se traslada permaneciendo paralela a su dirección inicial (A0B0). Tienen movimiento de traslación con respecto a la Tierra, por ejemplo, la cabina de un ascensor, la cuchilla de un torno, la aguja de una brújula cuando su caja se desplaza en un plano horizontal, etc.

Hîncu Marina - Forţa elastică şi de frecare.

Alexandru Curbet — Tue, 24 Nov 2009 04:44:06 +0000

Moraru Anrei -Forta Gravitationala

Alexandru Curbet — Mon, 23 Nov 2009 04:42:49 +0000

Dinamica

zpike87 — Mon, 23 Nov 2009 02:17:05 +0000

La carga B se conecta a una polea doble, mediante un cable inextensible
como se muestra.
El movimiento de la polea es controlada mediante el cable C, el cual tiene
una aceleracion de 9 pies/seg^2, a una velocidad inicial de 12 pies/seg^2,
en ambas direcciones hacia arriba.
Determine:
a)Numero de revoluciones ejercidas por la polea en 2 segundos.
b)Velocidad y cambio de posicion de la carga B despues de 2 seg.
c)la aceleracion del punto D sobre el bloque de la polea cuando t=0