faktorisasi &laquo; WordPress.com Tag Feed http://en.wordpress.com/tag/faktorisasi/ Feed of posts on WordPress.com tagged "faktorisasi" Wed, 10 Feb 2010 15:58:26 +0000 http://en.wordpress.com/tags/ en <![CDATA[Faktorisasi]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/06/faktorisasi/ Sun, 06 Apr 2008 11:00:11 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/06/faktorisasi/

[Mathematical Olympiad Treasures] Faktorkan (a+2b-3c)^3+(b+2c-3a)^3+(c+2a-3b)^3.

Solusi
Lemma. Jika x+y+z=0, maka x^3+y^3+z^3=3xyz.

Bukti
Karena x+y+z=0, maka x=-y-z. Ruas kiri menjadi

(-y-z)^3+y^3+z^3=-3y^2z-3yz^2,

sedangkan ruas kanan

3(-y-z)yz=-3y^2z-3yz^2.

Maka lemma terbukti. Tetapi perhatikan bahwa (a+2b-3c)+(b+2c-3a)+(c+2a-3b)=0. Jadi

(a+2b-3c)^3+(b+2c-3a)^3+(c+2a-3b)^3=3(a+2b-3c)(b+2c-3a)(c+2a-3b).

]]> <![CDATA[2008 bilangan rasional yang berbeda]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/03/18/2008-bilangan-rasional-yang-berbeda/ Tue, 18 Mar 2008 06:07:14 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/03/18/2008-bilangan-rasional-yang-berbeda/

[wu :: forums] Buktikan bahwa 1 adalah jumlah dari 2008 bilangan rasional yang berbeda.

Solusi
Perhatikan bahwa

1-x^{2007}=(1-x)(1+x+x^2+\ldots+x^{2006}).

Pasang x suatu bilangan, contohnya \frac34. Maka

1=\displaystyle\left(1-\dfrac34\right)\left(1+\dfrac34+\left(\dfrac34\right)^2+\left(\dfrac34\right)^3+\cdots+\left(\dfrac34\right)^{2006}\right)+\left(\dfrac34\right)^{2007}.

Maka menjadi

1=\dfrac14+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{3^2}{4^3}+\dfrac{3^3}{4^4}+\cdots+\dfrac{3^{2006}}{4^{2007}}+\dfrac{3^{2007}}{4^{2007}}.

]]> <![CDATA[n^4+4^n]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2007/12/31/n44n/ Mon, 31 Dec 2007 10:06:03 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2007/12/31/n44n/

[MathLinks] Buktikan bahwa n^4+4^n selalu bilangan komposit untuk setiap bilangan asli n.

Solusi
Untuk n bilangan genap, maka n^4+4^n adalah bilangan genap yang bukan 2, sehingga merupakan komposit.

Untuk n bilangan ganjil, misalkan n=2k+1. Maka

n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4\cdot(2^k)^4.

Ini dapat difaktorkan dengan Sophie Germaine’s Identity: x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2).

Jadi, terbukti bahwa bilangan itu komposit.

]]> <![CDATA[19202122232425...80]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2007/12/16/1920212223242580/ Sun, 16 Dec 2007 08:55:28 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2007/12/16/1920212223242580/

[ASU 1980] Bilangan-bilangan asli dari 19 sampai 80 ditulis berurutan, sehingga membentuk bilangan \text{N}=19202122...80. Buktikan bahwa \text{N} habis dibagi 1980.

Solusi
\text{N} berakhiran dengan 80 sehingga habis dibagi 2^2 dan 5.

Jumlah angka pada posisi ganjil dari \text{N} adalah

9+(0+1+2+...+9)+(0+1+2+...+9)+...+(0+1+2+...+9)+0=279.

Jumlah angka pada posisi genap dari \text{N} adalah

1+(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+(7+7+...+7)+8=279.

Jumlah angkanya adalah 279+279=558, sehingga habis dibagi 9. Selisih angka-angka posisi ganjil dengan genap adalah 0, sehingga habis dibagi 11.

Jadi N habis dibagi 2^2\cdot5\cdot9\cdot11=1980.

]]>