Movimiento Armónico Simple:

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio. Todo movimiento oscilatorio tiene unas características importantes: frecuencia, periodo y amplitud. El movimiento armónico simple (m.a.s.) es el movimiento armónico más sencillo.

Para estudiar el m.a.s. se busca su analogía con el movimiento circular uniforme. Consideremos la partícula “P” de velocidad constante “v0″ describiendo una trayectoria circular de radio “A”.

Podemos definir la posición de “P” con “x”, “y” o con “σ”, que está relacionado con la velocidad angular:

• ω = dσ / dt.

, que, a su vez, está relacionada con la velocidad lineal por:

• v = A ω.

Para calcular “σ” integramos:

• ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = ω t + σ0.

Calculemos la proyección sobre el eje “x” de “P”: “Q”. El punto “Q” se mueve hacia “x-” o hacia “x+” según “P” vaya girando. “Q” tiene un m.a.s.

El desplazamiento de “Q” respecto a “0″ vendrá dado por la proyección de “P” sobre el eje “x” por definición:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0).

Para pasar de coseno a seno, a “σ0″ se le suman “π / 2″ radianes:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0 + π / 2).

Estudiemos las características de m.a.s.

Amplitud (A):

Desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio (0).

Frecuencia Angular (ω):

Número de radianes que recorre en un segundo.

Periodo (T):

Tiempo que tarda en completar una vuelta o ciclo. Al recorrer un ciclo, la fase aumenta en “2 π” radianes:

• T = 2 π / ω.

Frecuencia (f):

Número de vueltas que da en un segundo.

• f = 1 / T = ω / (2 π).

Estudiemos la velocidad de “Q” en m.a.s. Se puede obtener derivando:

• v = dx / dt = – ω A Sen(ω t + σ0).

Esta “v” es la misma que la proyección sobre “x” de la velocidad “v0″. Apreciamos que nuestra “v” está en función de “t”, pero es útil conocerla también en función de “x”. La distancia “¬PQ”, por pitágoras, es:

• d(¬P, ¬Q) = [A^2 - x^2]^1/2.

, y por trigonometría:

• d(¬P, ¬Q) = A Senσ.

Por tanto:

• A Senσ = [A^2 - x^2]^0.5.

, de donde:

• Senσ = [A^2 - x^2]^1/2 / A.

Sustituyendo en “v”:

• v = – ω [A^2 - x^2]^1/2.

Para ponerlo en función de “v0″:

• v = – ω A [1 - (x / A)^2]^1/2 = ± v0 [1 - (x / A)^2]^1/2.

Se cumplen las siguientes propiedades:

• x = – A → v = 0.
• x = 0 → v = ± v0.
• x = A → v = 0.

Estudiemos la aceleración del movimiento armónico simple.

La partícula “P” está sometida a una aceleración centrípeta:

• ac = v^2 / A = ω^2 A.

“a”, la aceleración de “Q”, es la proyección de “ac” sobre el eje “x”.

• a = dv / dt = – ac Cosσ = – ω^2 A Cos(ω t + σ0).

Ecuación Diferencial de un Movimiento en un M.A.S:

• a = d^2 x / dt^2 = dv / dt = dx dv / (dt dx) = v dv / dx = – ω^2 x.

Ya podemos integrar:

• ∫v dv = – ω^2 ∫x dx.
• v^2 / 2 = – ω^2 x^2 / 2 + cte.
• v^2 = – ω^2 x^2 + 2 cte = ω^2 (2 cte / ω^2 – x^2) = ω^2 (A^2 – x^2).
• v = ω [A^2 - x^2]^1/2.

, expresión que ya obtuvimos.

Obtenemos “x”:

• v = dx / dt = w [A^2 - x^2]^1/2.
• ∫(dx / [A^2 - x^2]^1/2) = ω ∫dt.

Para integrar se hace el cambio de variable:

• x = A Cosσ.
• dx = – A Senσ dσ.

• [A^2 - x^2]^1/2 = A[1 - Cosσ^2]^1/2 = A Senσ.

• ∫- A Senσ dσ / (A Senσ) = – ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = – ω t + σ0.

Ahora deshacemos el cambio de variable:

• x = A Cosσ = A Cos(- ω t + σ0).

Por tanto, hemos llegado a las ecuaciones que ya teníamos a partir de la ecuación diferencial. “A” y “σ0″ ahora son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales. Determinémoslas:

Partimos de:

• x = A Cos(ω t + σ0).
• v = – ω A Sen(ω t + σ0).
• t = 0.
• x = x0 = A Cos(σ0).
• v = v0 = – A ω Sen(σ0).

Hacemos la división:

• v0 / x0 = – A ω Sen(σ0) / (A Cos(σ0)) = – ω Tg(σ0).
• Tg(σ0) = – v0 / (x0 ω).
• σ0 = Arcotg(- v0 / (x0 ω)).

Para calcular “A”, usaremos:

• Senσ^2 + Cosσ^2 = 1.

• x0^2 = A^2 Cos(σ0)^2.
• v0^2 = – A^2 ω^2 Sen(σ0)^2.
• (v0 / ω)^2 = - A^2 Sen(σ0)^2.

Sumando:

• x0^2 + (v0 / ω)^2 = A^2 (Cos(σ0)^2 + Sen(σ0)^2) = A^2.
• A = [x0^2 + (v0 / ω)^2]^1/2.

Fuerza de Restitución Elástica:

Supongamos un cuerpo de masa “m” unido a un muelle de masa despreciable en la posición de equilibrio. Tirando del objeto, si el muelle es ideal, la fuerza con la que se opone el muelle a la fuerza exterior viene dada por la Ley de Hooke:

• Fe = – k x.

, que es opuesta al desplazamiento, donde “k” es la constante de elasticidad.

Por la 2ª Ley de Newton:

• m a = – k x.

Comparando con la ecuación diferencial del m.a.s:

• a = – ω^2 x = – k x / m.

El muelle se muelle se mueve con un m.a.s. de:

• ω = [k / m]^1/2.

“ω” no depende de la separación inicial (ésta solo influye en la amplitud).

Supongamos un m.a.s. vertical, donde el punto de equilibrio depende del peso. En la posición de equilibrio se cumplirá:

• |¬P| = |¬Fe|.
• mg = k l.
• l = m g / k.

A partir de aquí el razonamiento es similar al m.a.s. simple horizontal. Una partícula con m.a.s. se mueve como si estuviese unida a un muelle ideal.

Energía en el M.A.S:

Ya conocemos cómo es la fuerza asociada a un m.a.s:

• Fe = – k x.

, que es conservativa (no realiza trabajo a lo largo de la trayectoria), por lo que la disminución o el aumento de la energía cinética es a costa de la variación de la energía potencial.

Energía Potencial Elástica:

La energía potencial elástica en “Q” será el trabajo necesario para llevar la partícula de “O” a “Q”.

• Ep = ∫F dx = – k ∫x dx.
• Ep = k x^2 / 2.

Como la fuerza es constante se cumple:

• Ec + Ep = cte.
• m v^2 / 2 + k x^2 / 2 = cte.
• m A^2 ω^2 Sen(ω t + σ0)^2 / 2 + k A^2 Cos(ω t + σ0)^2 / 2 = cte.

, y como:

• k = m ω^2.

, nos resulta:

• k A^2 (Sen(ω t + σ0)^2 + Cos(ω t + σ0)^2) / 2 = k A^2 / 2 = cte.

• m v^2 = k (A^2 – x^2).
• v^2 = k (A^2 – x^2) / m.
• v = w (A^2 – x^2).

de nuevo.

Péndulo Simple:

Modelo de péndulo ideal: masa puntual “m” colgando de un hilo de masa despreciable y longitud “l”. Si lo desplazamos “σ” radianes de su posición de equilibrio, los pares de fuerzas se compensan siguiendo la igualdad:

• P Cosσ = T.

La responsable de la oscilación es “P Senσ”.

• F = – P Senσ.
• m a = – m g Senσ.
• a = – g Senσ.
• l d^2σ / dt^2 = – g Senσ.
• d^2σ / dt^2 = – g Senσ / l.

Para “σ” muy pequeños se movería con m.a.s., y por Taylor:

• Senσ ≈ σ.

Por lo que:

• l d^2σ / dt^2 = – g σ.
• w^2 = g / l.

Notación Compleja:

Un número complejo es isomorfo a un vector en 2 dimensiones, ya que se puede representar en el plano complejo donde la abscisa es la parte real y la ordenada la imaginaria.

• z = x + i y.
• Parte Real = x = r Cosσ.
• Parte Imaginaria = y = r Senσ.

• z = x + i y = r (Cosσ + i Senσ) = r e^(i σ).

, donde “r” es la amplitud y “σ” la fase. Expresado en forma fasorial:

• z = r \ σ.

El complejo conjugado sería de la forma:

• z* = x – y i = r (Cosσ – i Senσ) = r ^(- i σ) =r \ – σ.

El módulo se calcula elementalmente:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
  

Y la fase:

• σ = Arcotg(y / x).

El problema es que los arcotangentes de un complejo y su conjugado resultan ser idénticos, por lo que, para corregir el error, se le suman “π” radianes a “z*”.

Supongamos que la fase varía con el tiempo:

• σ = ω t + σ0.

, entonces, “z” rota con una frecuencia angular “ω”. Por tanto:

• z = r e^(i σ) = r e^(i (ω t + σ0)).
• z = r e^(i ω t) e^(i σ0).

Cada vez que se cumple un periodo “T” se da una vuelta completa, y el fasor vuelve a su valor original. Los fasores se representan con:

• t = 0.

, es decir, no se representa la dependencia temporal. Los fasores, además, son fáciles de derivar.

• dz / dt = d(r e^(i ω t) e^(i σ0)) / dt.
• dz / dt = i ω r e^(i ω t) e^(i σ0) = i w z.

• d^2z / dt^2 = i ω (i w z) = – ω^2 z.

La parte real del fasor “z” es:

• r Cosσ = r Cos(ω t + σ0).

La de “dz / dt” es:

• - ω r Senσ = – ω r Sen(ω t + σ0).

Y por último, la de “d^2z / dt^2″ es:

• - ω^2 r Cosσ = - ω^2 r Cos(ω t + σ0).

Descripción de una onda unidimensional:

Una onda es una perturbación del equilibrio que se propaga de una región del espacio a otra. Se propaga la perturbación, que implica un transporte de energía y momento, y no la materia (ésta se mueve solo en torno a unas posiciones de equilibrio).

Según su naturaleza hay dos tipos de ondas:

• Mecánicas: necesitan un material elástico para propagarse que se llama medio, como por ejemplo las ondas de agua, el sonido, o una cuerda.
• Electromagnéticas: no necesitan un medio para propagarse, y por tanto son las únicas que pueden viajar en el vacío. Se producen por cargas aceleradas de partículas atómicas o subatómicas. Algunos ejemplos son los rayos x, la radio, la luz, que solo varían su frecuencia y su longitud de onda.

Ondas Mecánicas:

Según la dirección de la perturbación, hay varios tipos de onda:

• Transversales: los desplazamientos de las partículas del medio son perpensidulares a la dirección de la onda, como es el caso de la oscilación de la cuerda.
• Longitudinales: las partículas se mueven en la dirección de la onda, como es el caso de un muelle que se contrae o un gas comprimido por un pistón.

La cresta de una ola es una onda transversal y longitudinal a la vez.

Características de las ondas:

• La Velocidad de Propagación de la onda, que solo depende de las propiedades mecánicas del medio, y no de la velocidad de vibración de las partículas.
• El medio no viaja por el espacio: sus partículas realizan un movimiento en torno a unas posiciones de equilibrio.
• Para generar la onda hay que aportar energía realizando un trabajo sobre el sistema.

Descripción Matemática de una Onda Unidimensional:

Supongamos que el medio en que se propaga es elástico, lineal y no dispersivo. Entonces, la onda se propaga a velocidad constante y sin perder la forma.

Supongamos un pulso que se propaga a una velocidad “v”.

Calculemos la función que describa la posición de un punto en cualquier instante. Supongamos, por tanto:

• y = f(x).

Pero necesitamos una dependencia temporal. Para relacionar las funciones en:

• t = 0.
• t’ ≠ 0.

, consideremos un sistema de referencia en la propia perturbación. En este sistema, la función que nos da la posición inicial es igual a la del resto del tiempo:

• y’ = f(x’).

para cualquier “t”.

La relación entre los sistemas viene dada por:

• y’ = y.
• x’ = x – vt.

Por tanto:

• y = y’ = f(x’) = f(x – v t) = f(x / v + t).

Así, ya tenemos la dependencia temporal en la función de onda, que presenta una onda propagándose a velocidad “v” en la dirección “y” que representa el movimiento vertical de un punto “x” en un tiempo “t”. Por tanto, si “t” aumenta en “1″ segundo, hay que aumentar “x” en “v” metros para que “y” tenga el mismo valor.

Hablamos de Ondas Progresivas cuando:

• v > 0.

, y de Ondas Regresivas cuando:

• v < 0.

Para ondas longitudinales:

• y = Φ = desplazamiento paralelo a la velocidad de la onda.

En general, una onda unidimensional será una combinación de una onda regresiva y una progresiva:

• Φ(x, t) = f(x – v t) – g(x + v t).

Ondas Periódicas:

La perturbación se repite cada cierto tiempo de forma regular, es decir, de una fuente periódica.

.-Longitud de Onda “λ”:

Es la distancia espacial (en “m”) en la que la onda efectúa una oscilación completa y tras la cual se repite, es decir, la perturbación se repite cada “λ” metros.

• Φ(x, t) = Φ(x ± λ, t) = Φ(x ± n λ, t).

.-Periodo “T”:

tiempo (en “s”) que la onda tarda en completar una oscilación completa. Fijado un punto “x” del medio, tiempo que tarda dicho punto en dar una oscilación, se cumple:

• Φ(x, t) = Φ(x, t ± T) = Φ(x, t ± n T).

.-Frecuencia “f”:

Número de oscilaciones por segundo (en “Hz”):

• f = 1 / T.

Para relacionar “v”, “T” y “λ” nos ponemos en “x0″ y mecimos con un cronómetro los metros de perturbación que pasan en un segundo, es decir, su frecuencia:

• v = λ f.

Ondas Armónicas:

La perturbación tiene forma sinusoidal, es decir, definida por senos y cosenos (cualquier onda periódica es suma de ondas armónicas).

El m.a.s. nos sirve para crear ondas armónicas, de modo que:

• Φ(x, t) = A Sen(- 2 π x / λ).

Observamos una periodicidad espacial, que nos permite definir el Número de Onda:

• k = – 2 π / λ.

La función total es una función de “t” y de “x”:

• Φ(x, t) = A Sen(- k (x – v t)) = A Sen(- k x + k v t) = A Sen(- k x + 2 π f t).
• Φ(x, t) = A Sen(ω t – k x).

, donde “ω”, “f” y “A” son propiedades de la fuente, y “v” solo del medio.

• Φ(x, t) = A Sen(ω t ± k x + Φ0).
• Φ(x, t) = A e^(i(ω t ± k x + Φ0)).

Ecuación de una Onda Unidimensional:

Vamos a demostrar que una función:

• Φ = Φ(x ± ω t).

es una onda unidimensional propagándose en “± x”.

• α = x ± ω t.
• Φ = Φ(α).

• dΦ / dx = dΦ dα / dα dx = dΦ / dα = Φ’.
• dΦ / dt = dΦ dα / dα dt = ± v dΦ / dt = ± v Φ’.

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

Por tanto, cualquier función dependiente de “x” y “t” de la forma:

• Φ = Φ(x ± ω t).

cumple:

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

• Φ” = d^2Φ / dx^2 = d^2Φ / (v^2 dt^2).
• d^2Φ / dx^2 – d^2Φ / (v^2 dt^2) = 0.

, que es la ecuación de ondas unidimensionales propagándose en la dirección “± x” a “v”.

La solución general es:

• Φ(x, t) = f(x – v t) + g(x + v t).

Como es una ecuación diferencial lineal y sabemos que hay una solución que es una onda y otra que es otra onda, su suma también es solución, por aplicación del principio de superposición.

Cuerda Tensa. Ondas Transversales:

Consideremos un segmento de cuerda sometido a una determinada perturbación y analicemos las fuerzas que actúan sobre ella (tensiones, que son la misma) para estudiar el movimiento.

Dados dos segmentos de cuerda “1″ y “2″, de inclinaciones:

• σ1 ≠ σ2.

por la ligera inclinación debida a la onda:

• ∑Fy = T2y – T1y = T Sen(σ2) – T Sen(σ1) = T (Sen(σ2) – Sen(σ2)).
• ∑Fx = 0.

No hay movimiento en “x”.

Considerando una onda de amplitud pequeña, “σ1″ y “σ2″ son pequeños, cumpliéndose:

• Cosσ ≈ 1.
• Senσ ≈ Tgσ.

Además, podemos considerar:

• m = μ Δx.

, siendo “μ” la densidad lineal.

• ∑Fy = T(Tg(σ2)- Tg(σ1)).

En un determinado punto:

• Tgσ = dy / dx.

, es decir, la pendiente “S” del punto.

• ∑Fy = T(S2 – S1) = T ΔS = m ay = m d^2y / dt^2 = μ Δx d^2y / dt^2.
• T ΔS / Δx = μ d^2y / dt^2.
• d^2y / dt^2 = μ d^2y / (T dt^2).
• d^2y / dt^2 – μ d^2y / (T dt^2) = 0.

Comparando con la ecuación de ondas:

• 1 / v^2 = μ / T.
• v = [T / μ]^1/2.

La velocidad de propagación de una onda depende del medio.

Ondas Sonoras en un Tubo de Aire. Ondas Longitudinales:

Las ondas longitudinales de presión / descompresión en un medio sólido, líquido o gaseoso son ondas sonoras de frecuencia audible entre los los 20 Hz y los 20 kHz.

Consideremos una onda sonora propagándose en un tubo de sección “A”. Consideremos una región en equilibrio:

• p1 = p2.

Sea “ρ0″ la densidad de masa. Si hay una perturbación “dΦ” el gas se expandirá o se contraerá, respectivamente, según:

• dΦ > 0.
• dΦ < 0.

Para la región de volumen considerado, “ρ” será distinto, pero no la masa:

• m1 = m2.
• ρ0 V1 = ρ V2.
• ρ0 A dx = ρ A (dx + dΦ).
• ρ = ρ0 / (1 + dΦ / dx) = ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Veamos las presiones que ejercen las dos masas de aire que rodean la sección considerada para estudiar la fuerza que actúa sobre la misma:

• Fxi = p A.
• Fxd = p’ A.

Siendo “Fxi” la fuerza por el lado izquierdo y “Fxd” la fuerza por el lado derecho. La fuerza resultante “Fx” será:

• Fx = (p – p’) A = – A dp.
• Fx = m a = m d^2Φ / dt^2.

Combinando:

• m d^2Φ / dt^2 = ρ0 A dx d^2Φ / dt^2 = – A dp.
• - dp / dx = – ρ0 = d^2Φ / dt^2.

Por la regla de la cadena:

• dp / dx = dp dρ / dρ dx.

pero como:

• ρ =  ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Obtenemos:

• dp / dx = dp (- ρ0 d^2Φ / dx^2) / dρ.

Comparando:

• d^2Φ / dx^2 = d^2Φ dρ / (dt^2 dp).

, que es la ecuación de ondas de una onda unidimensional propagándose en la dirección:

• v = [dp / dρ]^1/2.

En general, la velocidad de propagación de una onda longitudinal se calcula en función del módulo de volumen del medio, denominaremos “β” a la inversa de la compresibilidad, que juega el papel de la constante elásticas del muelle:

• v = [β / ρ]^1/2.

Para sólidos “s”, líquidos “l”, y gases “g”, se cumple:

• vs > vl > vg.
• βs > βl > βg.

Algunos casos particulares son, la varilla al comprimirse, de ecuación:

• v = [γ / ρ]^1/2.

, donde “γ” representa el Módulo de Young, una constante predeterminada para cada material.

En el gas ideal:

• v = [γ R T / M]^1/2.

, donde “R” es la constante de los gases (8,31 J / mol), “M” es la masa molecular del gas, “T” la temperatura absoluta y “γ” la constante del gas vista en el tema anterior.

Transporte de Energía en una Onda Transversal en una Cuerda:

Supongamos una onda que viaja de izquierda a derecha en un punto “A” de la cuerda. Calculemos el trabajo realizado por unidad de tiempo (potencia) en un segundo elemental de la cuerda, considerando la fuerza que un trazo de cuerda ejerce sobre otro de la derecha.

• Fy = – T Senσ ≈ – T Tgσ.
• Tgσ = dy / dx = S.

Ya tenemos la fuerza que se ejerce sobre “A”, el cual se va a desplazar con una velocidad, y cuando el punto “A” se mueve en la dirección “y”, realiza trabajo sobre ese punto.

La potencia la medimos como:

• P(x, t) = F(x, t) v(x, t) = – T  dy(x, t) dy(x, t) / dx dt.

Consideremos una onda armónica:

• y(x, t) = A Sen(ω t + k x).
• dy(x, t) / dx= A k Cos(ω t – k+x).
• dy(x, t) / dt = A ω Cos(ω t – k+x).

A partir de la expresión anterior:

• P = T k ω A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, y como:

• T = v^2 μ.
• v = ω / k.

nos resulta:

• P = v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, que es la potencia instantánea de onda en el punto “x”. Consecuentemente, la potencia máxima será:

• Pmax = v μ ω^2 A^2.

Pero a nosotros no nos interesa la potencia instantánea, sino la potencia promedio de un ciclo:

• P‾ = (∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “T”) / T.

• P‾ = ω ∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “2 π / ω” / 2 π.
• P‾ = μ v ω^2 A^2 / 2.

, y esta es la potencia promedio de todas las ondas, proporcional al cuadrado de la amplitud:

• P‾ = α A^2.

La energía que fluye del punto “A” al “B” es:

• ΔE‾ = P‾ Δt = μ ω^2 A^2 Δx / 2.

Transporte de Energía en Ondas Longitudinales:

La potencia media por unidad de sección transversal (intensidad de la onda) es:

• I = P‾ / A.

Principio de Superposición:

Cuando dos ondas interfieren, el desplazamiento real de cualquier punto del medio en cualquier instante se obtiene sumandoel desplazamiento que tendría el punto si solo estuviese presente la primera onda y el que tendría si solo estuviese la segunda.

• Onda 1: y1(x, t).
• Onda 2: y2(x, t).
• Onda resultante: y1 + y2 = y(x, t).

La interferencia puede ser ocnstructiva o destructiva según si las ondas están o no en fase, respectivamente. Este principio es aplicable por la linealidad de las funciones de onda.
Reflexión en un Punto Fijo:

Supongamos un punto sobre una pared incapaz de oscilar (es un punto fijo), y supongamos que una onda se propaga hacia el punto en cuestión, de forma que cuando llegue a él tendrá que tomar un valor nulo. Asimismo, después de chocar con la pared, nuestra onda deberá reflejarse, es decir, volver hacia atrás de un modo opuesto al de llegó.

La única explicación matemática posible es que desde la pared, en todo momento, se propage en sentido opuesto a la onda original una onda exactamente igual solo que con sentido y módulo opuesto, de modo que en todo instante amvas ondas se anulen en el punto de la pared.

Poner una condición de este tipo en la propagación de las ondas es establecer una condición de contorno, y si un punto siempre es fijo es un nodo.

Ondas Estacionarias en una Cuerda:

Las ondas que se superponen en una cuerda producen, como onda resultante, ondas estacionarias, para ciertas frecuencias.

Supongamos que tenemos una onda armónica incidente:

• y1(x, t) = A Sen(ω t – k x).

Debido a la reflexión en el punto fijo “B”, existe una onda reflejada:

• y2(x, t) = – A Sen(ω t + k x).

La onda resultante será:

• y(x, t) = y1 + y2 = A Sen(ω t – k x) - A Sen(ω t + k x).
• y(x, t) = A(Sen(ω t – k x) – Sen(ω t + k x)).
• y(x, t) = A(Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x) – Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x)).
• y(x, t) = – 2 A Cos(ω t) Sen(k x).

Como en el punto final de la cuerda de longitud “L” la onda debe anularse, obtenemos que:

• - 2 A Cos(ω t) Sen(k L) = 0.
• Sen(k L) = 0.
• k L = Arcosen(0) = n π radianes.

Es decir, el factor “k L” debe ser igual siempre a un ángulo cuyo seno se anule, representados por “n π”. PAra cada valor de “n”, el valor de “k” será distinto, por lo que es necesario definir los “kn”, que representan el valor de “n” al que van asociados, por lo que, en definitiva:

• kn = n π / L.

Como previamente sabiamos que:

• k = 2 π / λ.
• kn = 2π / λn.

Nos resulta:

• 2 π / λn = n π / L.

, donde los “λn” representan las longitudes de onda asociadas a cada valor de “n”, que se despejan como:

• λn = 2 L / n.

La interpretación física de este fenómeno es que las distintas longitudes de onda representan los distintos armónicos de una cuerda, y en base a ellos se construyen los instrumentos musicales. “n = 1″ seria el primer armónico, “n = 2″ el segundo, y así sucesivamente.

Potencia e Intensidad de las Ondas:

Estudiaremos ambas propiedades particularizando a ondas sonoras, pues la intensidad se define como vimos antes:

• I = P‾ / S.

, donde “S” representa la sección del frente de onda. Además, siempre se cumplía que:

• I = α A^2.

, donde “A” representa la amplitud de la onda.

.-Ondas Dispersivas:

Si la fuente es puntual , se producen ondas esféricas, que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. En este caso la sección será la superficie de la esfera, por lo que:

• I = P‾ / (4 π r^2) = β / r^2.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r^2.
• A^2 r^2 = cte.
• A r = cte.

Si la fuente es lineal se producen ondas cilíndircas:

• I = P‾ / (2 π r h) = β / r.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r.
• A^2 r = cte.
• A r^1/2 = cte.

.-Ondas No Dispersivas:

Si la onda es plana, se propaga en una única dirección, por lo que la sección es constante, y se cumple:

• I = P‾ / S = cte.
• I = α A^2.
• α A^2 = cte.
• A = cte.

Efecto Doppler:

Cuando una fuente de sonido y un oyente están en movimiento uno respecto al otro, la frecuencia percibida por el agente es distinta a la transmitida por la fuente. Cuando se acercan, la frecuencia es mayor y viceversa.

Supongamos que la velocidad de la fuente “vf” y la del oyende “vo” tienen la misma dirección, siendo la dirección positiva la que va del oyente  “o” a la fuente “f”.

.-Fuente en reposo:

Si representamos los puntos con igual fase (frentes de onda) de una fase determinada, la distancia entre ellos es “λf”. El oyente se acerca con “vo” a la fuente; esta emite un sonido de frecuencia “νf”, y por tanto el periodo es:

• Tf = 1 / νf.

Si conocemos la velocidad del sonido “v”,  resulta que:

• λf = v Tf.

, y es que aunque “o” ve una separación “λf”, percibe una frecuencia mayor, porque su velocidad medida “v’” es:

• v’ = vo + v.

Por lo que su frecuencia medida es:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v / νf) = (v + vo) νf / v.

.-Fuente y oyente en movimiento:

Al desplazarse “f”, se desplazan los centros de origen de las ondas, por lo que “λ1 ≠ λ2″.

Definimos “Tf” como el tiempo en que la cresta recorre “v Tf”, y la fuente “vf Tf”:

• λ = v Tf + vf Tf = (v + vf) / νf.

De modo que en la fórmula de la frecuencia medida cambia este parámetro:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v + vf / νf) = (v + vo) νf / (v + vf).

En general, aunque “f” y “o” tengan la misma velocidad relativa, el efecto Doppler será distinto según se mueve “f”, “0″ o los dos.

Tal y como vimos en el tema anterior, en el caso de los gases existe una relación entre la presión “p”, el volumen “V”, la temperatura “T” y la masa “m” o cantidad de moles. Recordemos que el número de moles “n” se obtiene de la expresión:

• n = m / Mmol.

, siendo “Mmol” la masa molar de las moléculas del compuesto en cuestión. Partiendo de esto, podemos hacer una relación entre el volumen extensivo “V” y el intensivo “v” a través del número de moles:

• v = V / n.

Si trazamos para el mismo gas la función “p v / T” frente a “p” para distintos valores de “T”, observamos que cuando la presión tiende a 0:

• p v / T = R.

, siendo “R” una constante independiente de la temperatura. Despejando:

• p v = R T.

, y sustituyendo el volumen intensivo:

• p V = n R T.

, que sería la ecuación del gas ideal, donde:

• R = 8,31 J / mol K.

Si ahora trazamos la gráfica de “p” frente a “v” para distintas temperaturas, las hipérbolas obtenidas serán denominadas isotermas, y tenderán a infinito mientras descienda la presión, disminuyendo hacia 0 cuando esta aumenta, ya que “p” y “v” son inversamente proporcionales:

• p = R T / v.

Si obtenemos una mezcla de “N” gases ideales inertes de composiciones distintas “ni”, la ecuación se cumple para todos ellos en conjunto, pues obtenemos que:

• p V = (∑(ni) desde “i=1″ hasta “N”) R T.

La presión parcial de cada uno de ellos será:

• pi = ni R T / V.

, mientras que:

• p = ∑(pi) desde “i=1″ hasta “N”.

Además:

• pi / p = ni / n = xi.

, siendo “xi” un coeficiente particular para cada gas en la mezcla.

Energía Interna de un Gas Ideal. Ley de Joule:

Supongamos un sitema adiabático (que no intercambie calor con el exterior), dividido en dos recintos: uno vacío y el otro ocupado por un gas. Si dejamos al gas ocupar todo el recinto, al no haber intercambio de energía con ningún sistema no vacío, el trabajo y el calor son nulos, por lo que la energía inerna no aumenta, según el Primer Principio de la Termodinámica:

• ΔU = Q + W = 0 + 0 = 0.

Así pues, la energía interna solo es función de la temperatura, porque la presión y el volumen no la alteran.

Intentemos en la gráfica adjunta calcular la variación de la energía entre el punto “i” y el punto “f”.

Como la energía del gas es una función de estado, será independiente del proceso seguido, y podremos calcular su aumento parcialmente yendo primero del punto “i” al punto “a” por una isoterma, que por la Ley de Joule no variará su energía, y después avanzar desde “a” hasta “f” por una isocora:

• ΔU = (Q)v + (W)v = (Q)v + 0 = n Cv ΔT.

Es decir, el aumento de energía en un proceso isocorico depende del calor y el trabajo a volumen constante, siendo el segundo nulo según vimos en el tema antrerior, y el primero igual al calor específico, que depende del aumento de temperatura.

Un caso similar obtenemos si queremos calcular la entalpía, que desde “i” hasta “b” se define como:

• ΔH = Ub + pb Vb – Ui – pi Vi.

Como en una isoterma la energía interna y el producto “p v” son constantes, todos los términos se anulan mutuamente, y ésta toma el valor del calor específico a  presión constante entre “a” y “f”:

• ΔH = n Cp ΔT.

Ley de Mayer:

• dH = dU + dp dV = dU + n R dT.

Si sustituimos en ambos miembros, obtenemos:

• n Cp dT = n Cv dT + n R dT.

, de donde se simplifica:

• Cp – Cv = R.

“Cp > Cv” siempre se cumple, y su diferencia es “R”.

Para gases monoatómicos (helio, neón…):

• Cp = 5 R / 2 y Cv = 3 R / 2.

Para gases diatómicos (oxígeno, nitrógeno…):

• Cp = 7 R / 2 y Cv = 5 R / 2.

Transformaciones Adiabáticas de un Gas Ideal. Fórmula de Reech:

Dado que en un proceso adiabático:

• d‾Q = 0.

, se cumple siempre que:

• dU = d‾Q + d‾W = d‾W.

, y como para un gas ideal:

• dU = n Cv dT.

, se obtiene la igualdad:

• n Cv dT = d‾W = – p dV.

, de donde:

• dT / T = – R dV / Cv V.

Si consideramos el coeficiente adiabático:

• γ = Cp / Cv.

, que vale 5 / 3 para los gases monoatómicos y 7 / 5 para los gases diatómicos. Como:

• Cp – Cv = R.

, si simplificamos por “Cv”:

• Cp / Cv – 1 = R / Cv.

De aquí, si sustituimos e integramos en la ecuación anterior:

• ∫(dT / T) desde “Ti” hasta “Tf” = – (γ – 1) ∫(dV / V) desde “Vi” hasta “Vf”.

, de donde:

• Ln (Tf / Ti) = - (γ – 1) Ln (Vi / Vf).

, y de donde:

• T2 / T1 = (V1 / V2)^ (γ – 1).

, o lo que es lo mismo:

• T2 V2^(γ – 1) = T1 V1^(γ – 1) = cte.

, y dado que:

• T = p V / n R = p cte.

, se deduce que:

• p V^γ = cte.

Pendiente de la Isoterma y de la Adiabática:

Si representamos ambas curvas en la misma gráfica, y analizamos sus ecuaciones: isoterma:

• p V = cte.

; adiabática:

• p V^γ = cte.

, y posteriormente las derivamos, obtenemos sus pendientes.

En la isoterma:

• dp / dV + p dV / dV = 0.

, lo que implica que:

• dp / dV = – p / V.

En la adiabática:

• dp V^γ / dV + p dV^γ / dV = dp V^γ / dV + p γ = 0.

, lo que implica que:

• dp / dV = – p γ / V.

La pendiente de la adiabática es “γ” veces más inclinada.

Trabajo Termodinámico. Aplicación a un Sistema Expansivo:

El trabajo termodinámico se define como la energía que se transfiere entre un sistema y su entorno cuando entre ambos se ejerce una fuerza. Numéricamente, el trabajo infinitesimal “d‾W” que realiza una fuerza “F” al sufrir su punto de aplicación un desplazamiento “dr” viene dado por la expresión:

• d‾W = F dr.

, siendo por lo tanto una magnitud escalar. El trabajo total en un desplazamiento finito del punto de aplicación de la fuerza se obtiene por integración de la expresión anterior:

• W = F Δr.

, para lo cual es necesario conocer la relación entre “F” y “dr” si la fuerza no es constante.

Si un sistema en conjunto ejerce una fuerza sobre o por el medio que lo rodea y tiene lugar un desplazamiento del punto de aplicación de aquélla, el trabajo realizado por o sobre el sistema se denomina trabajo externo. Si el trabajo se realiza por una parte sobre otra se denomina trabajo interno. En Termodinámica el trabajo interno no tiene interés y sólo importa el trabajo externo, que supone una interacción entre un sistema y su medio exterior.

En las interacciones experimentadas por los sitemas termodinámicos, éstos pueden recibir o ceder energía, y puesto que si el sistema la recibe se debe a que la está cediendo el medio, o viceversa, es necesario establecer un criterio de signos que nos permita interpretar los resultados que se obtengan. Así, la IUPAC (acrónimo en inglés de la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada) recomienda en 1970 que se considere el mismo criterio que en Mecánica. Esto quiere decir que si la fuerza es realizada por el medio exterior sobre el sistema y el desplazamiento tiene su mismo sentido, es el sistema el que incrementa su energía y, en consecuencia, se dice que se ha realizado un trabajo sobre el sistema y se considera trabajo positivo. Por el contrario, si el trabajo es realizado por el sistema sobre el medio exterior y el desplazamiento tiene su mismo sentido, disminuye la energía del sistema y se considera trabajo negativo.

La definición termodinámica de trabajo es más amplia que la definición mecánica en los términos indicados por la anterior ecuación. Por ejemplo, el flujo de corriente eléctrica a través de la frontera de un sistema se considera trabajo en Termodinámica.

Cuando un sistema termodinámico experimenta un proceso, el trabajo que se realiza está siempre asociado a una fuerza. Sin embargo, en Termodinámica es más conveniente expresar el trabajo en función de las variables de estado del sistema, y éstas serán distintas dependiendo del sistema concreto que estemos estudiando, por lo que puede resultar difícil reconocer en ese intercambio de energía una interacción en forma de trabajo. En éstos casos suele ser útil la definición clásica de trabajo termodinámico, dada por Poincaré, que dice que “el trabajo es una interacción entre un sistema y sus alrededores, y lo realiza el sistema si el único efecto externo a las fronteras del sistema puede consistir en la elevación de un peso”.

Sin embargo, vamos a limitar nuestro estudio a lo que se denomina sistema hidrostático o expansivo, que es cualquier sistema de masa constante que ejerce sobre el medio que lo rodea una presión hidrostática uniforme, en ausencia de efectos de superficie y de la acción de campos gravitatorio y electromagnético, es decir, en un sistema expansivo el trabajo se debe únicamente a un cambio de volumen.

Consideremos un sistema termodinámico de forma arbitraria y volumen “V”, sobre el que actúa el medio exterior ejerciendo fuerzas debidas a una presión hidrostática “pe”, que supondremos uniforme. La fuerza que el medio exterior ejerce sobre un elemento de la superficie frontera “dS” viene dada por:

• dFe = – pe dS.

, en dónde el signo negativo se debe a que la fuerza de presión que el medio externo ejerce sobre el sistema está dirigida hacia el interior del sistema, mientras que el elemento de superficie está representado hacia el exterior, por ser la superficie frontera una superficie cerrada.

El trabajo elemental realizado por el medio será:

• d‾W = F dr = -pe dS dr.

, en donde el trabajo infinitésimal así expresado es una diferencial de tercer orden, y teniendo en cuenta que el producto escalar indicado en la última igualdad representa la variación infinitesimal de volumen “dV” del sistema globalmente, podemos escribir:

• d‾W = – pe dV.

Si el sistema disminuye su volumen (dV < 0) es debido a que recibe trabajo, y la anterior expresión conduce a dW > 0, lo que está de acuerdo con el criterio de signos adoptado. Por el contrario, si el sistema se expansiona (dV > 0), es el proprio sistema el que realiza trabajo sobre el medio, y de acuerdo una vez más a la ecuación, dW < 0, que también es acorde con el criterio de signos adoptado.

Para un proceso finito, cuando el volumen del sistema varía
desde un valor “Vi” hasta un valor “Vf”, la energía total intercambiada en forma de trabajo entre el sistema y sus entorno verndrá dada por:

• W = – ∫(pe) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Si el proceso de cambio de estado termodinámico del sistema tiene lugar de forma cuasiestática, es decir, transcurre como una sucesión infinita de estados de equilibrio, lo que implica que el sistema esté constantemente en equilibrio mecánico con el medio exterior, la presión externa “pe” debe ser prácticamente igual a la presión “p” ejercida por el sistema. Por lo tanto, para un proceso cuasiestático el trabajo vendrá dado por:

• d‾W = – pe dV.

, y para un proceso finito cuasiestático:

• W = – ∫(p) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Antes decontinuar, debemos indicar que las expresiones integradas representan un trabajo y no una cantidad de trabajo, pues si bien el trabajo tiene unidades de energía no representa un tipo específico de enrgía, sino una cantidad de energía transferida entre el sistema y su entorno a través de la superficie frontera del sistema. En las ecuaciones diferenciales se ha representado el trabajo en un proceso infinitesimal por “d‾” (a veces se denota también por δ), lo que nos indica que el trabajo no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema sino función de proceso, es decir, depende además del tipo de proceso seguido durante la transformación.

Para poder realizar las integrales es necesario conocer la funcionalidad entre la presión y el volumen durante el proceso, lo cual a su vez dependerá del tipo de proceso que tenga lugar. La relación entre la presión y el volumen de un sistema en cualquier proceso cuasiestático (y sólo en este caso, pues de lo contrario el sistema no está en equilibrio y, en consecuencia, sus variables de estado no están definidas) puede representarse por una curva en el espacio p-V, denominado espacio termodinámico, que es el espacio métrico cuyas coordenadas son las variables de estado. El trabajo correspondiente a un cambio infinitesimal de volumen “dV” se representa gráficamente por el área “p dV” de una franja vertical, tal como se muestra en la figura.

El trabajo total realizado en un proceso finito viene dado por el área limitada por la curva representativa del proceso y el eje de volúmenes entre las ordenadas “Vi” y “Vf”, tal como se muestra en las otras dos figuras. Ya hemos visto en el tema anterior que un proceso isocórico o isostérico es aquel que se realiza a volumen constante, y por lo tanto, el trabajo en este tipo de procesos es nulo.

A partir del análisis de los diagramas anteriores, es fácil obtener el signo del trabajo en un proceso cíclico, y así un ciclo recorrido en el sentido de las agujas del reloj dará como resultado un trabajo negativo y, por el contrario, recorrido en sentido antihorario el trabajo será positivo. El área limitada por el ciclo representa el trabajo neto realizado durante el mismo.

Trabajo adiabático. Primer Principio de la Termodinámica. Energía Interna:

Existen muchos procesos que permiten que un sistema termodinámico pase de un estado de equilibrio a otro y, en general, el trabajo realizado por o sobre el sistema es diferente en cada proceso, como ya vimos anteriormente.

De todos los procesos posibles entre dos estados determinados de un sistema seleccionemos aquéllos que sean adiabáticos, es decir, que la pared que rodea al sistema no permita el intercambio de energía térmica y en consecuencia la temperatura del sistema sea independiente de la que posea el medio exterior.

Constituye un hecho experimental de singular importancia que un sistema pueda sufrir una transformación desde un estado inicial dado a un estado final diferente, realizando únicamente trabajo adiabático, y además se encuentra también que el trabajo puesto en juego es el mismo para cualquier proceso adiabático que tenga lugar entre los mismos estados de equilibrio para un sistema cerrado. La generalización de los resultados anteriores constituye el enunciado del Primer Principio de la Termodinámica, que se enuncia “cuando un sistema cerrado varía su estado adiabáticamente, el trabajo asociado con ese cambio de estado es el mismo para todos los procesos posibles entre los dos estados de equilibrio dados”, y por lo tanto el trabajo realizado solo depende de los estados inicial y final (para estos casos concretos). Este enunciado del primer principio sólo hace referencia a transformaciones adiabáticas, con independencia de la forma en que tenga lugar: trayectoria seguida, cuasiestática o no, reversible o irreversible…

Si notamos por {xi} el conjunto de variables de estado inicial  y por {xf} el conjunto de variables del estado final, el enunciado del primer principio nos permite escribir:

• W desde “i” hasta “f” = f({xi},{xf}).

El trabajo es una función de las variables ene stado inicial y final.

Basándonos en la teoría de campos, sabemos que si el trabajo no depende de la trayectoria seguida existe una función escalar tal que la diferencia entre los valores que toma dicha función para los estados entre los que evoluciona el sistema es igual al trabajo realizado durante la transformación. De forma análoga, introducimos ahora una función escalar de las variables de estado, denominada energía interna del sistema, que denotaremos por “U”, tal que la variación de dicha función entre los estados inicial y final sea igual al trabajo asociado al proceso:

• W desde “i” hasta “j” = Uf – Ui.

, en donde la energía interna toma un único valor en cada estado, es decir, es una función de estado. Además, la energía interna es una magnitud extensiva, o sea se, depende de la masa.

Es necesario comprobar que la ecuación está de acuerdo con el criterio de signos utilizado. En efecto, si el trabajo adiabático realizado sobre el sistema es positivo, el sistema recibe energía, con lo que en el estado final debe ser mayor que en el estado inicial, lo cual se corresponde con que ΔU > 0.

Para un proceso infinitesimal, podemos expresar la ecuación anterior en la forma:

• dW = dU.

, lo que nos indica que el trabajo adiabático infinitesimal no depende de la trayectoria.

El valor real de “U” solo se pued eestablecer si se asigna de modo arbitrario un valor numérico concreto para un estado de referencia dado de la sustancia objeto de estudio, al igual que sucede en Mecánica o Electrostática, pues como hemos visto en teoría de campos, la función escalar aparece indeterminada en una constante.

Generalizaciñon del Primer Principio. Concepto Termodinámico de Calor:

Hemos considerado hasta aquí procesos en los cuales el sistema experimenta una transición entre la realización de trabajo adiabático, si bien este tipo de procesos no son los que se realizan con más frecuencia en la práctica.

Realicemos dos experimentos distintos con el mismo sistema cerrado entre dos mismos estado inicial y final, uno adiabático, de tal forma que la energía del sistema llevar al sistema del estado inicial al final sea igual a “Uf – Ui”, y el otro en el que el sistema sufra una transformación entre los mismos estados de equilibrio pero no de forma adiabática. La variación de energía interna en este caso será la misma que en el priemr caso, pero no sucede lo mismo con el trabajo realizado.

Para que este resultado sea compatible con el principio de conservación de la energía, es necesario decir que ha habido una transferencia de energía por medios distintos de la realización de trabajo. Esta energía, cuya transferencia entre el sistema y su entorno es necesaria para que se cumpla dicho principio de conservación, y que solo ha tenido lugar en virtud de la diferencia de temperaturas entre el sistema y el medio exterior, es lo que se denomina calor.

En consecuencia adoptamos como definición termodinámica de calor la siguiente: “cuando un sistema, cuyo medio exterior se encuentra a distinta temperatura que él y sobre el cual puede realizarse un trabajo mecánico, experimenta un proceso, se denomina calor a la energía intercambiada por medios no mecánicos, y que es numéricamente igual a la diferencia entre la variación de energía interna y el trabajo realizado. Designando por “Q” esta diferencia, se tiene:

• Q = ΔU – W.

, o lo que es igual:

• ΔU = Q + W.

, en donde hemos adoptado como criterio que el calor es positivo cuando la energía fluye hacia el sistema y negativo cuando fluye desde el sistema hacia el medio.

Al igual que sucede con el trabajo, no se puede hablar de cantidad de calor, pues esta magnitud representa la cantidad de energía transferida por medios no mecánicos, y no un tipo específico de energía. Además, mientras que el trabajo realizado puede ser utilizado directamente para variar cualquier forma de energía, no sucede lo mismo con el calor, que debe ser previamente transformado en trabajo para poder utilizarlo.

La ecuación anterior se considera comúnmente como la expresión analítica del primer principio, pero estrictamente no es más que la expresión matemática del principio de conservación de la energía desde un punto de vista termodinámico y sirve para calcular “Q”, por ello nos referiremos a ella como la expresión generalizada del primer principio.

Obsérvese además que el calor es independiente de las propiedades de la sustancia en partícular y de la escala de temperaturas empleada y, dado que el trabajo puede ser mecánico (en sentido estrcito), eléctrico o de cualquier otro tipo, y el proceso reversible o irreversible… el calor queda definido para cualquier proceso en general.

Dado el significado de trabajo en una transformación adiabática, el calor puede definirse también como:

• Q = Wadiabático – W.

Así pues, dada una transición partícular entre dos estados, el calor es la diferencia entre el trabajo realizado en una transición adiabática y el trabajo realizado en la transición partícular entre los mismos dos estados inicial y final. Ésto nos permite dar una definición alternativa de proceso adiabático como aquel en el que el calor asociado a la transformación es nulo en todo momento.

Para un proceso infinitesimal, la ecuación toma la forma:

• dU = d‾Q + d‾W.

, en donde hemos empleado la misma notación “d‾” que en el caso del trabajo, para indicar que el calor no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema, sino una función de proceso.

Capacidad calorífica. Calor Específico:

Cuando un sistema homogéneo absorbe calor, puede o no tener lugar una variación de temperatura del sistema, dependiendo de la naturaleza del proceso. Si la temperatura del sistema vería desde un valor inicial “Ti” hasta un valor final “Tf” al intercambiar con el medio un calor “Q”, podemos definir la capacidad calorífica media “C‾” del sistema para un determinado tipo de proceso como la razón:

• C‾ = Q / ΔT.

La capacidad calorífica verdadera o simplemente la capacidad calorífica del sistema viene dada por la expresión anterior cuando ΔT tiende a 0:

• C = d‾Q / dT.

Es necesario tener en cuenta que la relación d‾Q / dT no puede interpretarse como la derivada de “Q” respecto a “T”, pues “Q” no es una función de estado, sino que “d‾Q” representa simplemente el caloer infinitesimal asociado a una variación infinitesimal “dT” de la temperatura del sistema. Podemos pues definir la capacidad como el calor necesario para hacer variar la temperatura del sistema en 1 K en un proceso concreto.

Como el calor no es función de estado, la capacidad calorífica tampoco lo es, porque depende del proceso que tenga lugar y solo tiene un valor definido para un proceso determinado. Numéricamente la capacidad calorífica puede ser positiva, negativa o nula, según el proceso que experimente el sistema.

La capacidad calorífica depende de la cantidad de masa que tiene el sistema, y para obviar este inconveniente se define el calor específico como la capacidad calorífica por unidad de masa y se nota por:

• c = C / m.

, en donde “m” es la masa del sistema, y también podemos definir capacidad calorífica molar, calor especifico molar o capacidad calorífica por mol de sustancia, que se nota por la misma letra:

• c = C / n.

, siendo ahora “n” el número de moles de sustancia que contiene el sistema. Los calores específicos se expresan en el Sistema Internacional en J / kg K ó J / mol K según corresponda.

Así pues, el calor específico es el calor necesario para variar en 1 K la temperatura de la unidad de masa del sistema, al sufrir éste un proceso no adiabático.

Desde un punto de vista práctico, para un sistema expansivo, las capacidades caloríficas más importantes son la capacidad calorífica a presión constante, o isobárica, y lo capacidad calorífica a volumen constante, o isocórica, que vamos a definir a continuación.

La capacidad calorífica en un proceso durante el cual el sistema se mantiene a presión hidrostática externa constante se denomina capacidad calorífica isobárica o a presión constante, y se representa por:

• Cp = (d‾Q / dT)p.

, y su valor numérico para un sistema determinado depende de la presión y la temperatura del mismo.

Si el sistema se mantiene a volumen constante mientras se le suministra/extrae calor, la capacidad calorífica correspondiente se le denomina capacidad calorífica isocórica o a volumen constante y se representa por:

• Cv = (d‾Q / dT)v.

Estas dos última expresiones nos permiten conocer el valor asociado a los procesos indicados, conocidas las capacidades caloríficas, ya que se va a cumplir:

• Q = ∫(Cp) dT y Q = ∫(Cv) dT.

Teniendo en cuenta que en un proceso a volumen constante el trabajo asociado al mismo es nulo y aplicando la expresión generalizada del primer principio para un proceso infinitesimal se obtiene que dU = dQ, y por tanto:

• ΔU = ∫(Cv) dT.

Por otra parte, si el sistema expermenta un cambio de agregacion, éste se verificará (como se justificará al profundizar en el estudio de la Termodinámica) a presión y a temperatura constantes, y el calor asociado al proceso puede expresarse:

• Q = m l.

, en donde “m” representa la masa del sistema y a la “l” se la denomina calor latente de cambio de estado de agregación (sólido, líquido o gaseoso). Así pues, este calor latente resulta ser el calor que es necesario comunicar/extraer al/del sistema por unidad de masa para que tenga lugar el cambio de fase, y por lo tanto, este calor latente podrá ser positivo o negativo:

• l = Q / m

Entalpía:

Además de la energía “U” de una sustancia, resulta muy útl definir una nueva función que denominamos entalpía (al profundizar en el estudio de la Termodinámica se justificará su introducción) y que notamos por “H”, mediante la relación:

• H = U + p V.

Puesto que “U” es función de estado y “p” y “V” son variables de estado, la entalpía será función de estado, por lo que su variación entre dos estados de equilibrio dados será independiente del tipo de proceso seguido en la transición entre ambos estados. Además, la entalpía es una magnitud extensiva, pues “U” y “V” también lo son.

La definición de entalpía dada anteriormente solo es válida para sistemas expansivos, cerrados y simples. Además, no debe pensarse que la entalpía es una forma específica de energía, sino que es simplemente una magnitud definida de una forma concreta, muy útil en la solución de problemas científicos y de ingeniería.

Si consideramos la variación de entalpía que tiene lugar cuando un sistema experimenta un proceso infinitesimal, la ecuación anterior toma la forma:

• dH = dU + p dV + V dp.

Una de las propiedades más interesantes de la entalpía es su relación con el calor. Así, analizamos para un sistema expansivo las variaciones de volumenque se producen bajo condiciones de presión constante, puesto que el volumen del sistema se modifica, el proceso lleva asociado un trabajo. Para evaluar dicho trabajo admitiremos que el proceso se realiza de forma cuasiestática; con esta suposición, será de aplicación la ecación anteriormente vista:

• d‾W = – p dV.

, y podremos expresar que:

• dU = d‾Q = – p dV.

, en donde:

• d‾Q = dU + p dV.

, y teniendo en cuenta la ecuación de la entalpía a presión constante:

• dH = dU + p dV.

, y finalmente:

• dU = dH.

, relación que nos indica que el calor transferido entre el medio y el sistema expansivo simple, durante un proceso a presión constante y cuasiestático, es numéricamente igual a la variación de entalpía del sistema. Así, teniendo en cuenta lo anterior y la ecuación del calor específico a presión constante:

• dH = Cp dT.
  

La Termodinámica es la ciencia que estudia las transformaciones de energía de todo tipo (mecánica, térmica, eléctrica, química…) y su relación con las propiedades físicas macroscópicas de las sustancias afectadas por dichas transformaciones. Así pues, esta ciencia es de interés para todas las partes de la física y para otras partes de prácticamente todas las ciencias y es fundamental en la formacion de un ingeniero.

Por otra parte, si se tiene en cuenta la utilización de energía en los países industrializados es un factor importante para un crecimiento sostenido. Es posible consluir entonces que la contribución de la termodinámica es y continuará siendo muy relevante.

La termodinámica es una ciencia fenomenológica que, al igual que otras partes de la física (mecánica, fluidodinámica, electromagnetismo…) está basada en unos principios matemáticamente indemostrables, extraídos de la generalización de innumerables estudios experimentales y que no son más que restricciones que la naturaleza impone a las transformaciones de energía. A diferencia de otras ciencias fenomenológicas, el tiempo no es una variable a considerar, ni las coordenadas espaciales juegan prácticamente ningún papel, pues esta ciencia no describe evoluciones sino estados de equilibrio de la materia y su estructura formal no es la de una teoría de campos.

Las propiedades termodinámicas y las relaciones de energía pueden estudiarse mediante el análisis del comportamiento a escala macroscópica de una sustancia o bien mediante mediante el promedio estadístico del comportamiento de las partículas individuales que componen la sustancia. Los estudios de la termodinámica clásica  se efectúan sin recurrir a la naturaleza de las partículas individuales y sus interacciones, es decir, no se hace uso de ninguna hipótesis acerca de la estructura detallada de la materia a escala microscópica. En cosnecuencia, las leyes de la termodinámica clásica no sufren cambio alguno con los nuevos descubrimientos acerca de la naturaleza de la materia. Sin embargo, al no introducir hipótesis microscópicas en la termodinámica clásica, nunca es posible identificar un proceso microscópico mediante razonamientos puramente termodinámicos, limitando así la profundidad en el estudio de las propiedades físicas.

Por estas razones se ha desarrollado paralelamente la termodinámica estadística, que se basa en el análisis del comportamiento estadístico de grandes grupos de partículas individuales. Postula que los valores de las propiedades macroscópicas (presión, temperatura, densidad) que pueden medirse bien directamente, bien indirectamente a partir de otras mediciones, siempre reflejan algún tipo de promedio estadístico del comportamiento de un enorme número de partículas. Sin embargo no hay razones para trazar una frontera entre la termodinámica clásica y la estadística, pues ambas son complementarias y lo que es una ventaja para una respecto a la otra, puede argumentarse también como una desventaja para el otro tipo de análisis.

Quizás el hecho de la termodinámica clásica no se refiera a las propiedades fundamentales en el sentido microscópico, es la causa de que no llame la atención al lego, pero precisamente resulta tan valiosa porque evita las teorías microscópicas, proporcionando un marco muy general de ideas, a partir de las cuales se puede llegar a conocer fácilmente cualquier sistema concreto, ayudando así a evitar errores, porque cualquier resultado no acorde con la termodinámica debe estar equivocado.

Todo análisis termodinámico comienza con la selección del sistema, sus fronteras y sus alrededores. Así, definimos sistema termodinámico como una región del espacio físico (que tiene existencia real) que constituye el objeto del nuestro estudio, limitada por una superficie frontera cerrada arbitraria, real o imaginaria, que puede variar de tamaño o forma, estar en reposo o en movimiento. A la región del espacio físico que existe fuera de las fronteras del sistema y que de alguna forma interacciona con éste (lo que se traduce en una influencia detectable sobre él) se le denomina medio ambiente, medio exterior o entorno. El conjunto formado por el sistema y su entorno constituye el Universo.

A su vez, un sistema puede ser simple o complejo, homogéneo o heterogéneo, monocomponente o multicomponente. Un gas contenido en un cilindro es un sistema simple. Un sistema puede estar constituido por subsistemas o fases diferenciadas entre si por discontinuidades en sus propiedades físicas. Definimos fase como un sistema o aprte de él que es homogéneo, es decir, cada una de sus propiedades intensivas (definidas más adelante) toma el mismo valor en cada punto. Un sistema constituido por varias fases es heterogéneo. Una fase puede ser una sustancia químicamente pura, sistema monocomponente, o puede contener más de un componente, sistema multicomponente (binario, ternario…). Debe tenerse cuidado y no confundir estado de agregación con fase. Por ejemplo, una mezcla de agua y aceite (inmiscibles) es un sistema compuesto por una única fase binaria líquida que, para ciertas concentraciones y temperaturas, se transforma en un sistema complejo al separarse en dos fases líquidas, cada una de ellas compuestas por alcohol y agua, pero en concentraciones diferentes, así pues en un único estado de agregación. Una mezcla de agua y hielo es un sistema complejo compuesto por dos fases monocomponentes, cada una en un estado de agregación diferente.

El análisis de las transformaciones que pueda sufrir un sistema termodinámico incluye el estudio de transferencia de masa y/o energía a través de la superficie frontera del mismo. Se denomina sistema cerrado a un sistema en el cual no puede haber flujo de masa a través de sus fronteras, pero si puede haber cambio de energía. Si el sistema no puede intercambiar ni masa ni energía a través de su frontera se denomina aislado y si pude intercambiar ambos se denomina abierto. A la superficie frontera se le denomina también pared termodinámica y más adelante veremos cómo pueden clasificarse.

Elegido un sistema termodinámico, el siguiente paso es especificar su estado, o forma de existir del mismo, sin cuyo conocimiento no podríamos estudiar su comportamiento, sus interacciones con el entorno o ambas a la vez. Una forma de describir dicho estado consiste en especificar un número reducido de magnitudes que afecten globalmente al sistema, proporcionando una descripción macroscópica del mismo. Aquellas propiedades físicas macroscópicas medibles que definen el estado de un sistema y que pueden variar con independencia de las demás reciben el nombre de variables o coordenadas termodinámicas de estado, y las magnitudes que adquieren un valor único para cada estado y que dependen dependen de los valores que tengan las variables de estado se denominan funciones de estado. En termodinámica el tiempo no es una variable a considerar, pues esta ciencia no describe los procesos que tienen lugar entre dos estados de un sistema, sino que establece las relaciones entre las variables termodinámicas que definen el estado del sistema antes y después del proceso que tenga lugar.

Las variables de estado pueden clasificarse en intensivas y extensivas. Las variables intensivas son independientes de la cantidad de materia que contiene el sistema (temperatura, presión, densidad…). Por el contrario hablamos de una variable extensiva cuando su valor depende de la cantidad de materia que contiene el sistema (volumen, masa, carga eléctrica neta…), y para un sistema constituido por varias fases, su valor es la suma de los valores de cada una de las fases o subsistemas que lo componen. En general se utilizan letras mayúsculas para denominar a las variables extensivas (con excepción de la msa, “m”), y letras minñusculas para denominar a las intensivas (con excepción de la temperatura, T). Cuando se divide el valor de una propiedad extensiva entre la masa del sistema, a la propiedad resultante se la denomina propiedad específica y es una propiedad intensiva; así el volumen de un sistema es “V” y su volumen específico es:

• v = V / m.

Se dice que un sistema aislado se encuentra en equilibrio termodinámico cuando sus variables de estado se mantengan fijas en el espacio y en el tiempo. Esta definición solo es válida si el sistema es homogéneo, si el sistema es heterogéneo para que el sistema esté en equilibrio termodinámico deben estarlo cada una de sus fases.

Se denomina termodinámica del equilibrio a aquélla parte de la termodinámica que se ocupa del estudio de las propiedades macroscópicas que poseen los sistemas cuando se encuentran en equilibrio termodinámico, y termodinámica de los procesos irreversibles o del no-equilibrio a aquella parte de la termodinámica que estudia las propiedades de los sistemas fuera del equilibrio termodinñamico. Nuestro estudio tratará solamente de la termodinámica del equilibrio.

A cualquier transformación de un sistema entre dos estados de equilibrio termodinámico se le denomina proceso. La trayectoria o camino de un proceso se refiere a la especificación de la serie de estados a través de los cuales pasa el sistema. La descripción completa de un proceso requiere, por lo general, el conocimiento de los estados de equilibrio inicial y final, la trayectoria (si puede identificarse), y las las interacciones que ocurren a través de las fronteras del sistema durante el proceso.

Cuando una propiedad permanece constante durante el proceso, a éste se le identifica con el prefijo “iso” aplicado a la propiedad. Así, en un proceso isotermo la temperatura se mantiene constante durante la transformación, en un proceso isobárico es la presión la variable que permanece constante, y en un proceso isocórico (isovolumétrico o isostérico) lo es el volumen. Más adelante se desciribirán otros procesos que tienen constante alguna otra magnitud.

Si el proceso se realiza de tal modo que en cada instante el estado del sistema difiere solo infinitesimalmente del equilibrio, el proceso de denomina cuasiestático, y por lo tanto se aproxima a una sucesión de estados de equilibrio. Por el contrario, si existen diferencias finitas con el estado de equilibrio el proceso se denomina no estático. Los procesos cuasiestáticos son irreales pues su realización implicaría un tiempo infinito, sin embargo gracias a esta idealización las propiedades intrínsecas de la sustancia que constituye el sistema están definidas en todo instante. A pesar de que el proceso cuasiestático es solo una idealización, algunos procesos reales se aproximan a las condiciones cuasiestáticas debido a que, en general, el tiempo que necesitan las sustancias para alcanzar el equilibrio interno (tiempo de relajación) es mucho más corto que el tiempo que requiere el cambio global del sistema.

Un proceso que comience en un estado inicial de equilibrio se denomina reversible si en cualquier instante durante el proceso podemos revertir las condiciones de su evolución y tanto el sistema como el entorno regresan a las condiciones iniciales. Un proceso real nunca puede ser reversible, pues es imposible eliminar por completo los efectos disipativos (rozamientos de todo tipo, inelasticidad, resistencia eléctrica…), es decir, aquéllos efectos en los que una parte de la energía del sistema se convierte en una forma menos útil.

Algunos autores tratan los términos cuasiestático y reversibles como equivalentes, pero con las definiciones dadas anteriormente no lo son. Por ejemplo, un hilo elástico puede alargarse de forma cuasiestática hasta sobrepasar su límite de elasticidad, y a partir de ahí una inversión del proceso ya no conduce al estado inicial. Se puede elevar la temperatura de un fluido técnicamente aislado del entorno, mediante una rueda de paletas que gire muy lentamente, pero al hacer que giren en sentido contrario el fluido no vuelve a las condiciones iniciales. En ambos casos los procesos son cuasiestáticos, pero irreversibles. Al estudiar el Segundo Principio de la Termodinámica volveremos a tratar los conceptos de reversibilidad e irreversibilidad.

Cuando las variables de estado de un sistema experimentan una variación infinitesimal decimos que el sistema sufrió un proceso infinitesimal y, finalmente, un proceso cíclico o ciclo, es un proceso en que el sistema llega a su estado inicial, con lo cual cualquier función de estado no experimenta ninguna variación en este tipo de proceso.

Para poder desplazar a un sistema de su estado de equilibrio termodinámico es necesario que el medio interaccione con el sistema a través de su superficie frontera y esto puede suceder de distintas formas: intercambiando materia, lo que se denomina interacción másica, material o química; intercambiando energía mediante la variación de parámetros externos al sistema, lo que se denomina genéricamente trabajo mecánico (en sentido amplio pues incluye trabajo eléctrico, de imanación…); e intercambio de energía sin variación de los parámetros externos al sistema, denominada energía térmica. La cantidad de energía intercambiada de esta forma se conoce como calor.

Así podemos concluir que para un sistema abierto que se encuentre en equilibrio termodinámico es necesario que exista un equilibrio másico, mecánico y térmico con el entorno.

Se denomina pared permeable a la pared termodinámica que permite el intercambio de materia, pared móvil a la que permite el intercambio de energía mecánica, y pared diatérmica a la que permite el intercambio de energía térmica, y si la pared no permite el intercambio de energía térmica se denomina pared adiabática.

Propiedad cero de la termodinámica. Temperatura empírica:

Basándonos en observaciones experimentales se pueden extraer ciertas conclusiones relativas a las propiedades macroscópicas de los sistemas en equilibrio termodinámico, que  no es posible traducirlas a partir de otras leyes o definiciones, y que se conocen como postulados. Así podemos enunciar el Primer Postulado de la Termodinámica como sigue: un sistema termodinámico aislado alcanza con el tiempo (no importa cuanto) un estado de equilibrio termodinámico que no puede abandonar de modo espontáneo.

Consideremos dos sistemas termodinámicos “A” y “B” separados entre si por una pared adiabática, pero en contacto cada uno de ellos a través de una pared diatérmica con un tercer sistema “C”, estando todo el conjunto aislado del entorno, tal como se muestra en la figura. La experiencia demuestra que ambos sistemas alcanzarán el equilibrio térmico con el tercero. Si ahora se ponen en contacto entre sí a través de una pared diatérmica los sitemas “A” y “B” no sufren cambio macroscópico alguno, y decimos que están en equilibrio térmico entre si. Pues bien, la generalizacdión de este comportamiento experimental, conocida como Principio Cero de la Termodinámica, nos indica que dos sistemas termodinámicos, cada uno de ellos en equilibrio con un tercer sistema, se encuentran en equilibrio térmico entre si.

Basándonos en las experiencias anteriormente descritas, es posible definir una función de variables termodinámicas del sistema, que denominaremos función temperatura empírica, tal que determine cuando un sistema está en equilibrio térmico con otros sistemas dados. Así, cuando varios sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre si, la función temperatura empírica tomará para todos ellos un valor común, que denominaremos temperatura empírica de todos y cada uno de los sistemas, y que notaremos por “T”:

• T = TA =TB =TC.

, en donde A, B y C son cada uno de los sistemas.

Al conjunto de estados caracterizados por poseer el mismo valor de la temperatura empírica se le denomina isoterma.

La temperatura empírica es la cuarta magnitud fundamental necesaria para el desarrollo de la termodinámica.

Medida de la Temperatura. Escalas Termométricas:

Una vez introducido el concepto de temperatura empírica, el problema que hemos de abordar es cómo asignarle un valor numérico a esa temperatura y cómo podemos medir ese valor.

Para establecer una escala empírica de temperaturas elegimos como patrón cierto sistema, que denominaremos termómetro, a la vez que adoptamos un conjunto de reglas para asignar un valor numérico a la temperatura asociada a cada una de sus isotermas. Para la temperatura de cualquier otro sistema en equilibrio térmico con el termómetro asignaremos el mismo valor numérico.

Como ya hemos dicho, la función temperatura empírica depende de las variables termodinámicas de estado del sistema. Si mantenemos todas las variables de estado excepto una de ellas, que representaremos genéricamente por “x”, el valor de la función temperatura estará determinado exclusivamente por el valor de dicha variable. A esta variable se la denomina propiedad termométrica, y la forma de la función temperatura de “x” (“T(x)”) determina el tipo de escala termométrica.

Dependiendo de la propiedad termométrica elegida, tenemos distintos tipos de termómetros. Entre dichas propiedades cabe destacar:

• Volumen de los gases, de los líquidos y de los sólidos.
• Presión de los gases a volumen constante.
• Resistencia eléctrica de los sólidos a tensión mecánica constante.
• Fuerza electromotriz de dos sólidos diferentes (termopar).
• Intensidad de la radiación (pirómetros ópticos, de altas temperaturas).
• Efectos magnéticos (para temperaturas muy bajas).

Si elegimos arbitrariamente para la función temperatura empírica una dependencia lineal (que ambas incrementan proporcionalmente) de la propiedad termométrica “x”, la determinación del valor numérico de “T(x)” para un sistema puede realizarse por uno cualquiera de los dos procedimientos siguientes:

.-Método de dos puntos fijos (anterior a 1954):

Si expresamos explícitamente la función temperatura de la forma:

T = a + b x.

, en donde “a” y “b” son constantes arbitrarias que es necesario determinar, empleando dos puntos de referencia.

Para ello, denominamos punto fijo a un estado fácilmente reproducible de un sistema sistema patrón arbitrariamente elegido.

La temperatura a la cual el hielo puro puede coexistir en equilibrio con agua saturada de aire a la presión de una atmósfera, se le denomina punto de fusión del hielo o simplemente punto del hielo, y la notaremos por “Th”.

De forma análoga, denominamos punto de ebullición del agua o simplemente punto del vapor a la temperatura para la cual existe equilibrio entre el agua pura y su vapor a la presión de una atmósfera, y la notaremos por “Tv”.

Si “xv” y “xh” son los valores de la variable termométrica seleccionada, para los cuales la temperatura toma los valores “Tv” y “Th”, y aplicamos la ecuación antes vista a los dos puntos vistos se obtiene un sistema:

• Tv = a + b xv
• Th = a + b xh

, de donde se obtienen fácilmente las expresiones de los parámetros “a” y “b”, que al sustituirlos en la ecuación y reagrupar términos nos conduce a:

• (T – Th) / (Tv – Th) = (x – xh) / (xv – xh).

Asignando distintos valores a los puntos fijos, se obtienen distintas escalas de temperaturas y, en consecuencia, distintas magnitudes de grado que es la unidad en la que se expresa la temperatura. Así obtenemos lasprincipales escalas:

• En la Celsius (ºC), el punto del hielo vale 0 ºC y el del vapor 100 ºC.
• En la Réaumur (ºRe), el punto del hielo vale 0 ºRe y el del vapor 180 ºRe.
• En la Fahrenheit (ºF), el punto del hielo vale 32 ºF y el del vapor 212 ºF.

La última ecuación nos permite comparar distintas escalas lineales, como por ejemplo las indicadas anteriormente:

• (x – xh) / (xv – xh) = (TºC – 0 ºC) / (100 ºC – 0 ºC) = (TºRe – 0 ºRe) / (180 ºRe – 0 ºRe) = (TºF – 32 ºF) / (212 ºF – 32ºF).

Como se deduce fácilmente del desarrollo anterior, utilizando un mismo valor de la propiedad termométrica se obtienen distintos valores numéricos de las temperaturas, dependiendo de los valores asignados a los puntos fijos.

.-Método de un punto fijo (posterior a 1954):

Si escogemos ahora como forma explícita de la función temperatura la expresión:

• T = a x.

, en donde “a” es la constante arbitraria que es necesario determinar, será suficiente elegir un único punto fijo. Por convenio internacional se considera dicho punto fijo el denominado punto triple del agua, que es la temperatura y presión para las cuales pueden coexistir en equilibrio hielo, agua líquida y vapor de agua. A ese punto se le asigna (más adelante se verá su justificación) un valor de 273,16 K (grados Kelvin, que en este caso se representa sin “º”). Así, si notamos el punto triple del agua por el subíndice 3, tenemos la siguiente ecuación:

• 273,16 = a x3.

, es decir:

• T = 273,16 x / x3.

La temperatura del punto triple del agua es el punto fijo patrón en termometría.

Una vez visto cómo se establece una escala termométrica, vamos a comparar los valores numéricos que nos proporcionan los deistintos termómetros, basándonos en esta última ecuación. Así tenemos:

• Tempertarura en resistencias: T = 273,16 R / R3.
  
• Temperatura en un termopar: 273,16 ξ / ξ3.
• Temperatura de gas a volumen constante: 273,16 p / p3.

Imaginemos ahora una serie de experimentos en los cuales se mide simultáneamente la temperatura de un sistema dado con cada uno de los tres termómetros indicados anteriormente. Puede comprobarse experimentalmente que el valor numérico obtenido aplicando las expresiones numéricas anteriores es diferente según la propiedad termométrica y la sustancia utilizadas, aún admitiendo la misma dependencia lineal con la propiedad termométrica, es decir, las ecuaciones anteriores nos determinan distintos valores de temperatura excepto en el punto triple del agua. Sin embargo, cuando se trabaja con termómetros de gases la discrepancia  puede reducirse significativamente utilizando bajas presiones, por lo que se ha elegido un termómetro de gas como termómetro patrón en función del cual se va a definir una nueva escala de temperatura empírica.

Termómetro de gas a volumen constante. Temperatura en la escala del gas ideal:

La presión de un gas cuyo volumen se mantiene constante está entre las propiedades termométricas que se emplean para medir la temperatura. Así, teniendo en cuenta las ecuaciones expresadas en el apartado anterior, la temperatura de un estado dado de una sustancia puede determinarse midiendo el valor de la presión “p” del gas cuando está en en equilibrio térmico con el sistema cuya temperatura se quiere determinar y el valor de la de presión “p3″ del gas cuando está en equilibrio con el punto triple del agua.

Es un hecho experimental que, cuando se utilizan distintos gases, el termómetro de gas a volumen constante conduce a valores de la temperatura que difieren ligeramente entre si, y dichas diferencias son tanto menores cuanto menor sea la presión del gas, es decir, cuanto menor sea la cantidad de gas contenida en el bulbo del termómetro. Por esta razón se elige el termómetro patrón en función del cual se van a obtener los valores numéricos de la temperatura empírica.

En la figura se muestra un diagrama muy esquemático de un termómetro de gas a volumen constante. Los materiales, construcción y dimensiones varían de unos laboratorios a otros, dependiendo de la naturaleza del gas y del intervalo de temperaturas que se quiere medir (puede emplearse para medir temperaturas desde -27ºC hasta 1477ºC, aunque en la práctica solo se emplea como termómetro de referencia). El ags está contenido en un depósito (bulbo) y la presión que ejerce puede medirse con un manómetro de tubo abierto, al cual se conecta a través de un capilar. Se mantiene constante el volumen del gas modificando la altura de mercurio en la columna “C”, se mide la diferencia de niveles “h” entre las columnas de mercurio en “C” y en “D”, cuando el bulbo del termómetro está rodeado del sistema cuya temperatura se va a determinar y conocida la presión atmosférica se calcula la presión del bulbo. En rigor, los distintos valores de la presión que se obtienen deben ser corregidos ya que existen diversas causas de error, como por ejemplo: el gas que existe en el capilar está a una temperatura diferente a la del gas del bulbo;algo de gas es absorbido por las paredes del depósito y del capilar, tanto más cuanto más baja es la temperatura;las distintas partes del termómetro pueden sufrir dilatación…

Vamos a indicar cómos e procede experimentalmente con este termómetro y asignar valores a la temperatura medida, empleando dos métodos diferentes: con dos puntos fijos y con un único punto fijo. El primero de ellos es conceptualmente más interesante, pues permite saber el por qué de los valores que se consideran en el segundo método, si bien este últimoe s el que se emplea en la práctica.

.-Método de dos puntos fijos:

Se llena el bulbo del termómetro con una cierta cantidad de “gas 1″ y se ejecutan los siguientes pasos: se introduce el bulbo en el punto del hielo y se determina la presión “ph” en la forma indicada anteriormente; a continuación introducimos el bulbo en el punto del vapor y se determina la presión “pv” representando gráficamente  “pv / ph” frente a “ph”, obteniendose un punto. Se extrae a continuación una cantidad del “gas 1″ contenido en el bulbo y se repite todo el proceso anterior, y así sucesivamente con cantidades cada vez menores de gas, lo que conduce a presiones “ph’, pv’,ph”,pv”…”, cada vez menores, que en la representación gráfica nos conducen a una recta tal como la indicada en la figura para el “gas 1″.

Se repite todo el proceso con distintos gases, obteniéndose finalmente  otras rectas con distinta pendiente, como las representadas en la figura, comprobándose que la extrapolación del cociente “pv / ph” a presión nula conduce a la conclusión más importante de estas experiencias, y es que todas ellas, con independencia de la naturaleza del gas, poseen idéntica ordenada en el origen, cuyo valor es 1,3661.

Así pues, aunque los valores indicados por un termómetro de gas a volumen constante dependen de la naturaleza del gas para valores ordinarios de “ph”, todos los gases conducen al mismo valor de la temperatura cuando “ph” se hace tender a cero (aunque es necesario explicar que la situación ph =0 no se puede alcanzar experimentalmente, pues ello supondría que no hay gas en el bulbo). Todo lo expuesto nos va a permitir definir una nueva escala de temperaturas, denominada temperatura absoluta en la escala del gas ideal, y que denotaremos por “T”. Dicha temperatura es absoluta en cuanto no depende del gas utilizado, pero sin embargo es empírica porque depende de la propiedad termométrica utilizada (presión) y de las propiedades de los gases en general.

Para asignar un valor numérico a la temperatura de une stado de un sistema en esta escala, es necesario realizar los siquientes pasos:

• Definir la razón entre las temperaturas absolutas del gas ideal em el punto del vapor y en el punto del hielo: “tv / th =1,336″
• Establecer un valor para la magnitud del grado: Tv – Th = 100.

,de esta forma la escala definida es centígrada, y la unidad en que se expresa es el grado Kelvin, que se nota por “K”. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones anteriores se obtiene que:

• Tv = 373,15 K.

y que:

• Th = 273,15 K.

, que expresan las temperaturas absolutas en la escala del gas ideal de los dos puntos fijos considerados.

La escala Celsius es una escala con un grado de igual magnitud que la Kelvin, por lo que esta última se conoce como escala absoluta de la Celsius. Resulta evidente que la relación entre las dos escalas es la siguiente:

• tºC = T – 273,15.

Si la magnitud de grado se estableciese como:

• Tv – Th = 180.

obtendríamos un grado de igual magnitud que el de la escala Fahrenheit, denominándose a esta escala Rankine y su unidad son los grados Rankine, R. La diferencia antes indicada, junto con la ecuación de las presiones, nos conduce a los valores:

• Tv = 671,67 R.
• Th = 491,67 R.

La escala Rankine es pues la escala absoluta de la Fahrenheit y la relación entre ambas es:

• tºF = TR – 459,67.

Finalmente, indicar que para determinar la temperatura de otros sistemas diferentes al punto del hielo o del vapor, se utiliza la expresión (para cualquiera de las escalas absolutas):

• T / Th = 1,3661.

.-Método de un único punto fijo:

El procedimiento es análogo al indicado en el método anterior, salvo que ahora se utiliza solo un punto fijo, que es el punto triple del agua. Se determinan las presiones “p” y “p3″ en el cubo, cuando contiene determinada cantidad de gas y el bulbo se encuentra en contacto térmico, respectivamente, con el sistema cuya temperatura se quiere medir, y con el punto triple. Se representa “p / p3″ frente a “p3″ y variando la cantidad de gas que contiene el bulbo obtendríamos una de las rectas representadas en la figura. Variando la naturaleza del gas que contiene el bulbo, obtendríamos otras rectas de representación.

La extrapolación a “p3 = 0″ es la misma para todos los gases, de tal forma que se define la temperatura absoluta mediante la expresión:

• T / T3 = p / p3.

cuando “p3″ tiende a 0, expresión que nos permite calcular la temperatura del recinto en la escala del gas ideal.

El estudio del movimiento de los fluidos es, en general, un problema muy complejo. Las moléculas de un fluido, además de ejercer entre si acciones mutuas de gran importancia, pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Por esta razón es necesario tener en cuenta conceptos adicionales al aplicar las leyes de la dinámica a los fluidos en movimiento.

La dinámica de fluidos es una parte de la reología, definida como la ciencia dedicada al estudio de las deformaciones y flujos de la materia. Ésta se divide en dos ramas: la hidrodinámica y la aerodinámica.

En este tema estudiaremos fluidos ideales, es decir, incompresibles y carentes de rozamiento interno o viscosidad.

El movimiento de un fluido está definido por un Campo Vectorial de Velocidades correspondientes a las partículas del flujo, y un Campo Escalar de Presiones en función de la posición y el tiempo, correspondientes a los distintos puntos del mismo.

En cada instante se puede definir en cada punto del espacio un vector velocidad que es el de la partícula fluida que pasa por él en ese momento. El conjunto de todos estos vectores constituyen el campo vectorial de velocidades.

Se denomina Línea de Flujo a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil. En general, a lo largo de la línea de flujo, la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección. Si todo elemento que pasa por un punto dado sigue la misma trayectoria que los elementos precedentes, se dice que el flujo es estacionario.

En estado estacionario, la velocidad en cada punto del espacio no varía con el tiempo, si bien la velocidad de una parte determinada del fluido puede cambiar de un punto a otro.

Se define Línea de Corriente como aquélla curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de corriente coinciden con las de flujo.

Si se consideran todas las líneas de corriente que pasan por un contorno cerrado “c”, estas líneas encierran un volumen denominado Tubo de Corriente. De la definición de la línea de corriente se deduce que no pasa fluido a través de las paredes laterales de un tubo de corriente.

Ecuación de Continuidad:

En un tubo de corriente se cumple la ecuación de continuidad del movimiento en cualquier sección normal al tubo, siempre que la densidad sea constante, y dice que en cada sección “S” del mismo, el producto de su superficie por la velocidad del fluido en su interior es constante: S v = cte.

Ecuación General del Movimiento de un Fluido:

Como demostramos en el tema anterior:

• ρ f = gradP.

, siendo “ρ” la densidad del fluido, “f” la fuerza por unidad de masa y “gradP” el gradiente de la presión.

En la estática de fluidos:

• ρ f – gradP = 0.

, y en la dinámica de fluidos, en cambio:

• ρ f – gradP = a.

, siendo “a” la aceleración del sistema.

A través de un complejo cálculo matemático, se llega a que:

• f – gradP / ρ = dv / dt + gradv^2 / 2 + rotv Λ v.

, expresión conocida como la Ecuación de Euler. No confundir con la otra ecuación de Euler de los números complejos.

A partir de esta ecuación, si suponemos un régimen estacionario donde “v” es constante, donde el fluido es “no viscoso”, y el cual se ve perturbado únicamente por un campo gravitatorio, obtenemos que:

• f = – gradV.

, siendo “V” el potencial gravitatorio:

• m f = – grad(m g h).

; y finalmente:

• f = – g gradh.

Si sustituimos en la ecuación de Euler, multiplicamos todo escalarmente por “dl” y simplificamos, llegamos al Teorema de Bernoulli:

• P + ρ v^2 / 2 + ρ g h = cte.

, que dice que a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión hidrostática, la cinética (debida a la velocidad) y la estática (debida a la altura) es constante.

Aplicaciones del Teorema de Bernoulli:

• Teorema de Torricelli: si a un recipiente que contiene un fluido se le abre un pequeño orificio, dado que las presiones son idénticas en la superficie y la velocidad de escape por el orificio es mucho mayor que la otra, haciéndola despreciable, se obtiene que la velocidad de escape es: v = [2 g h]^1/2. Se llama Gasto o Caudal al producto de la sección por la velocidad del fluido en la misma.
• Tubo de Venturi: mediante una disminución gradual en la entrada se reduce la turbulencia, porque la presión del fluido disminuye con la superficie de la sección.
  

Los fluidos se caracterizan porque carecen de elasticidad: no tienen forma propia sino que se adaptan al recipiente.

Dentro del concepto de fluidos hemos de distinguir entre gases y líquidos: los gases carecen de volumen propio dado que son muy compresibles, entendiendo por compresividad la propiedad por la que un fluido sometido a una presión varía su volumen.

La diferencia fundamental entre un sólido rígido y un fluido estriba en que la moléculas de un fluido no están rigidamente unidas como en el caso de los sólidos, sino que pueden deslizarse unas respecto a otras sin más que vencer una pequeña fuerza de rozamiento entre capas adyacentes que llamamos viscosidad, y que es nula para los líquidos perfectos.

Los líquidos perfectos son aquéllos en los que las acciones tangenciales de rozamiento son nulas, de modo que para deformar un líquido perfecto el trabajo desarrollado es nulo.

Ésto equivale a decir que las acciones de contacto entre dos porciones A y B de una masa líquida , supuesta perfecta, deben ser normales a la superficie de separación.

Presión:

Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido experimenta por parte de éste un bombardeo molécular que tiene lugar en todas direcciones. Este bombardeo es causa de la fuerza normal a la superficie del cuerpo y de módulo independiente de la orientación de dicha superficie en el seno del fluido, observándose además que aumenta de valor a medida que crece la profundidad a la que se encuentra sumergido.

• P = F / S.

, la presión es igual a al módulo de la fuerza que actúa (generalmente el peso) dividido entre el módulo de la superficie afectada. Diferencialmente:

• P = dF /dS.

, y vectorialmente:

• d¬F = P d¬S.

La presión se puede medir en varias unidades diferentes. Por ejemplo, en sistema cegesimal (gramo centímetro segundo), obtenemos que la presión se mide en dinas divididas entre centímetros cuadrados, lo que corresponde a una baria:

• baria = dina /cm^2.

Un millón de barias hacen un bar:

• bar = 10^6 baria.

, y una milésima parte de éste se corresponde con un milibar:

• milibar = 10^-3 bar.

En el sistema internacional, la presión se mide en newtons partidos por metros cuadrados, lo que es igual a un pascal:

• Pa = N / m^2.

Un pascal se corresponde con 10 barias.

Otra unidad es la atmósfera, que se corresponde con la presión ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección a 0º centígrados y a nivel del mar sobre otro cm2 de superficie.

• 1 atm = 1,1013 x 10^6 barias = 1,013 x 10^5 Pa.

Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos:

Antes de empezar con este apartado, habrá que tener en cuenta que “¬f” será igual a la fuerza por unidad de masa del campo donde esté el elemento en cuestión, o sea, que “¬f” será una aceleración, a diferencia de “¬F”, que sigue siendo una fuerza.

Si “P” es la presión debida al resto del fluido en el punto diferencial de masa “M”, y si llamamos “dP” a la diferencia de presión entre los laterales “M1″ y “M2″ del mismo, se cumple que la presión parcial sobre “M1″ será igual a la total menos la semipresión diferencial:

• PM1 = P – dP / 2.

, y algo similar obtendremos para “M2″.

La fuerza debida a la presión en la cara 1 será:

• f1 m = P dS = (P – dP dy / 2 dy) dx dz.

, mientras que en la cara 2 será:

• f2 m = (P + dP dy / 2 dy) dx dz.

La fuerza en la diercción del propio eje “y” será:

• f  m = (f2 – f1) m

, que operando:

• f m= 2 (dP dy dx dz / 2 dy) = dP dV / dy.

Así pues, para cada eje “x”:

• fx m = dP dV / dV.

, y la fuerza total sobre el cuerpo se expresa vectorialmente como:

• ¬F = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) dm) desde “m = 0″ hasta “m” = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) ρ dV) desde “V= 0″ hasta “V”.

, siendo “ρ” la densidad volúmica.

Para que el elemento de fluido esté en equilibrio el sumatorio de fuerzas que actuén sobre él debe ser nulo:

• ∑(¬fi) desde “i = 0″ hasta “n” = 0.

, por lo que las fuerzas parciales tienen que ser nulas. Para resolverlo, podemos simplificarlas:

• Fx = fx dm = fx ρ dV = dP dV / dx.

, de donde:

• ρ fx = dP / dx.

En resumen, obtenemos la Ecuación Elemental de la Estática de Fluidos:

• ρ ¬f = ¬fx + ¬fy + ¬fz = dP (¬i / dx + ¬j / dy + ¬k / dz) = ¬gradP = ¬Å P.

, siendo “Å” una adaptación del operador nabla a wordpress.com.

Si el fluido se encuentra en un campo gravitatorio: ¬f = – ¬gradEp, y como simplificamos:

• Ep = m g h.

, se cumple que:

• ¬F = – mg ¬gradh.

, que si cambiamos por la fuerza por unidad de masa se reduce a:

• ¬f = – g ¬gradh.

, y al variar “h” únicamente con el eje “OZ”:

• ¬f = – g dh ¬k / dz.

Si ahora volvemos a la Ecuación Elemental:

• ρ ¬F = ¬gradP.

, de donde:

• ρ ¬f = ¬gradP.

, y sustituyendo:

• - g dh ¬k / dz = dP ¬k / dz.

Por cálculo integral:

• ∫(dP) = – g ρ ∫(dh).

, de donde:

• P2 – P1 = g ρ (h1 – h2).

, o dicho de otro modo,

• P2 = P1  + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad aumentada. La diferencia de presión entre dos puntos de un fluido en equilibrio en el campo gravitatorio es igual, cualitativamente, al peso de una columna del mismo de sección 1 y altura igual a la distancia vertical que separa dichos puntos (m = ρ V, y V = base x altura, siendo la base 1 y la altura h, por lo que, cuantitativamente: V = h, y m = ρ V. Finalmente, el peso P = m g = ρ g h).

El Manómetro:

Supuesto el manómetro de la imagen adjunta, donde “P” es una presión absoluta del sistema y “Patm” es la presión atmosférica procedente del exterior, se cumple que la presión en ambos extremos del líquido será idéntica, por lo que, aplicando la ecuación antes vista:

• P + ρ g  h1 = Patm + ρ g  h2.

, de donde:

• P – Patm = ρ g d.

, siendo “d” la diferencia “h2 – h1″, denominada Presión Manométrica.

Principio de Arquímedes:

Si suponemos sumergido en un fluido un prisma ortogonal de dimensiones “a”, “b” y “c”, siendo “c” la altura del mismo, se cumple que la presión en su cara inferior será:

• Pi = Patm + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad de la altura, y en la cara superior:

• Ps = Patm + ρ g (h – c).

Si multiplicamos la presión por la superficie de cada una de las caras, obtenemos una fuerza de dirección hacia arriba según las componentes de los vectores superficie “¬Si” y “¬Ss”.

• Fi = (Patm + ρ g h) a b.

, y:

• Fs = (Patm + ρ g (h – c)) a b.

Asimismo, la fuerza total de es:

• F = Fi – Fs = ρ g a b c = ρ V g = E.

, siendo “E” la conocida Fuerza de Empuje.

Asimismo, si multiplicamos el volumen desplazado de líquido por su densidad obtenemos su masa:

• m = ρ V.

, y su peso será:

• P = m g.

, por lo que:

• E = Pfluido.

Todo cuerpo sumergido en el agua subre una fuerza ascensional igual al peso del volumen desplazado de fluido.

Peso Aparente:

Dada la igualdad:

• E = Pfluido-desplazado.

, el peso aparente “Papa” de un cuerpo sumergido será igual al real menos el empuje:

• Papa = P – E.

, siendo “P” el peso del cuerpo sumergido.

• Papa = ρcuerpo V g – ρfluido V cuerpo = (ρcuerpo – ρfluido) V g.

Dada esta ecuación, el signo del peso aparente depende de las densidades de los dos cuerpos en interacción, pudiendo darse tres casos:

• ρcuerpo > ρfluido, en cuyo caso el cuerpo se hundirá.
• ρcuerpo < ρfluido, en cuyo caso el cuerpo flotará, y se cumplirá que: Pcuerpo = E, siendo el empuje en este caso: ρfluido Vsumergido g, y el volumen sumergido, despejando: Vsumergido = ρcuerpo Vcuerpo / ρfluido = mcuerpo / ρfluido.
• ρcuerpo = ρfluido, en cuyo caso el cuerpo quedará en equilibrio.
  

Entendemos por sólido rígido  el sistema de puntos materiales tal que las distancias mutuas entre dos cualesquiera de sus puntos permanecen invariables en el movimiento.  Si “ri” y “rj” son los vectores de posición de “Pi” y “Pj”, la condición de rigidez es:

• (ri – rj)^2 = cte.

Determinación:

Para caracterizar la posición de un sólido rígido basta con fijar las posiciones de tres puntos del mismo que no están alineados. Si se especifica solo la posición de uno de ellos, el cuerpo podrá girar libremente alrededor de él, y no estará, por tanto, establecida su orientación. Asimismo, si se especifican dos puntos, el cuerpo podrá seguir girando alrededor de la recta definida por ellos.

Sin  embargo, si se especifica también un tercer punto no alineado con los dos anteriores queda determinada la posición y la orientación del sólido, y en consecuencia la de todas sus partículas. Según esto, se necesitan nueve coordenadas para determinar el sólido. Sin embargo, éstas no son independientes entre si, sino que están relacionadas por la constante distancia entre ellas.

Teniendo esto en cuenta, solo se precisan seis números para especificar la posición y orientación de un sólido rígido, poseyendo éste seis grados de libertad. Además, no tienen por qué ser los seis datos las coordenadas. Suelen ser las tres coordenadas de uno de los puntos y tres ángulos que son los que generan en cada instante un triedro ortonormal ligado al sólido y localizado en dicho punto con los ejes del sistema de referencia a través de los cuales se determina la posición de dicho punto.

Movimiento de Traslación:

Se dice que un sólido se traslada cuando la recta que une dos puntos permanece paralela a sí misma durante el transcurso del movimiento, por lo que la variación del vector distancia “d” con el tiempo ha de ser nula:

• d = ri – rj;
• dd / dt = dri / dt – drj / dt = vi – vj = 0.

, de donde:

• vi = vj.
• ai = aj.

Es decir, cuando un sólido rígido está en traslación, la velocidad y la aceleración de cada uno de sus puntos es exactamente igual.

Movimiento de Rotación:

Se dice que un sólido realiza un movimiento de rotación a través de un eje si todos los puntos del eje permanecen en reposo durante el movimiento.

Cualquier otro punto del sólido describe una circunferencia respecto al ejecuyo plano es perpendicular al mismo y su centro está en la intersección entre ambos, por lo que en un instante dado, todos los puntos del sólido se mueven con la misma velocidad angular “¬ω”.

Rototraslación:

En el caso del movimiento más general se puede reducir a una traslación seguida de una traslación a través de un punto base, donde la velocidad del punto “p” es igual a la de traslación y la de rotación del mismo:

• vp = vt + ω Λ r.

En cada instante, la velocidad de los puntos del sólido rígido es la misma que si todos ellos se trasladaran con la velocidad de uno cualquiera de ellos, y a la vez el cuerpo girase con la velocidad angular “¬ω”alrededor de un eje que pase por el punto de referencia.

Momento de Inercia:

Se puede definir el momento de inercia como la magnitud escalar que determina la facilidad con la que puede rotar un cuerpo sobre un eje, dependiendo exclusivamente de su masa y de su distancia al mismo:

• I = m r^2.

Cuando tratamos con sólidos rígidos, al poder estar su masa distribuida de cualquier modo, es necesario recurrir al cálculo integral:

• I = ∫(r^2) dm.

Se pueden obtener así unos cuantos momentos de inercia estándar que resultarán últiles, como son los momentos de inercia respecto a:

• el eje de coordenadas: I0 = ∫(x^2 + y^2 + z^2)dm, siendo “x”, “y” y “z” las coordenadas del punto.
• el eje OX: Ixx = ∫(y^2 + z^2)dm.
• el eje OY: Iyy = ∫(x^2 + z^2)dm.
• el eje OZ: Izz = ∫(x^2 + y^2)dm.
• el plano z = 0: Ixoy = ∫(z^2) dm.
• el plano y = 0: Ixoz = ∫(y^2) dm.
• el plano x = 0: Iyoz = ∫(x^2) dm.

De las anteriores se obtienen las siguientes igualdades:

• I0 = Ixoy + Ixoz + Iyoz.
• I0 = Ixx + Iyoz.
• I0 = Iyy + Ixoz.
• I0 = Izz + Ixoy.
• Ixx = Ixoy + Ixoz.
• Iyy = Ixoy + Iyoz.
• Izz = Ixoz + Iyoz.
• I0 = (Ixx + Iyy + Izz) / 2.

Además hay que tener en cuenta los Productos de Inercia, que si bien no tienen interpretación cualitativa, son útiles para simplificar algunas ecuaciones:

• Ixy = ∫(x y) dm.
• Ixz = ∫(x z) dm.
• Iyz = ∫(y z) dm.

Radio de Giro:

Se denomina radio de giro “k” de un cuerpo respecto al eje AA’” a la distancia medida desde el eje a un punto en el cual sería necesario concentrar toda la masa de un cuerpo para obtener el mismo momento de inercia respecto al que tiene el sistema:

• I = m k^2.

, de donde:

• k = [I / m]^½.

Teorema de Steiner:

El momento de inercia respecto a un eje es igual al momento de inercia de un eje paralelo incrementado en el producto de la masa por el cuadrado de la distancia que los separa:

• I = I’ + m d^2.

Momento de Inercia de una varilla de longitud “L” respecto a un eje perpendicular que pasa por un extremo:

• I = ∫(r^2) dm = ∫((r^2 λ) dL) desde “0″ hasta “L”, siendo “λ” la densidad lineal = λ L^3 / 3.

Dado que:

• m = λ L.

, por la definición de densidad lineal, la ecuación también se puede expresar como:

• I = m L^2 / 3.

Momento de Inercia de un cilindro respecto a su eje central:

• I = ∫(r^2) dm = ∫(r^2 ρ) dV.

, siendo “ρ” la densidad volúmica. Como en el cilindro se cumple que:

• dV = 2 π r L dr.

, podemos cambiar la expresión a:

• I = 2 π ρ L ∫((r^3) dr) desde “0″ hasta “R”.

, resultando:

• I = π ρ L R^4 / 2.

Asimismo, la masa del cilindro se puede calcular como:

• m = ρ ∫(dV) = ρ π R^2 L.

Si llevamos esto a la ecuación anterior:

• I = m R^2 / 2.

Momento de Inercia de una esfera respecto a su centro:

• I0 = ∫(r^2) dm = ∫(r^2 ρ) dV.

Como en la esfera se cumple que:

• dV = 4 π r^2 dr.

, podemos cambiar la expresión a:

• I = 4 π ρ ∫((r^4) dr) desde “0″ hasta “R”

, resultando:

• I = 4 π ρ R^5 / 5.

Como la masa de la esfera se puede expresar como:

• m = 4 π ρ R^3 / 3.

, la ecuación completa sería:

• I = 3 m R^2 / 5.

Momento Angular del Sólido Rígido respecto a un eje fijo:

• L0 = ∫(r Λ v) dm.

, y como:

• v = ω Λ r.

, nos resulta que:

• L0 = ∫(r Λ (ω Λ r)) dm.

Operando y teniendo en cuenta que:

• ω = ωz k.

, siendo “k” el vector unitario de dicho eje, nos resulta:

• L0 = -ωz (Ixz i + Iyz j – Izz k).

Además, si gira sobre OZ los dos primeros sumandos son nulos (la distancia al eje OZ es 0), y por tanto:

• L0 = Izz ωz k.

, y el momento respecto a OZ resulta:

• Lzz = I ω.

Si derivamos respecto al tiempo el momento angular, tal y como vimos en el tema de Dinámica:

• dL0 / dt = M0.

, y si derivamos la otra parte de la igualdad:

• I dω / dt = I α.

, siendo “α” la aceleración angular. En resumen:

• M0 = I α.

Tal vez en este partado se hayan evidenciado más cuentas de las que se debía, pero es que wordpress.com no permite escribir matrices para detallar los productos vectoriales mencionados.

Energía Cinética:

La energía cinética del sistema de rotación viene definida por:

• Ec = 1 / 2 ∫(v^2) dm = 1 / 2 ∫(ω Λ r) (ω Λ r)dm.

, de donde operando se obtiene:

• Ec = ω L0 / 2.

, y si gira respecto a un eje principal:

• Ec = I ω^2 / 2.

Rodamiento sin deslizamiento:

Cuando un cilindro o una esfera ruedan sin deslizar sobre un plano tan solo un punto de su periferia está en contacto con el plano en cada instante. La definición formal de rodar sin deslizar es que la velocidad instantánea del punto de contacto es 0.

Para entender su significado, pensemos que la velocidad de cualquier punto del sólido rígido viene dada por:

• v = vG + ω Λ r.

, siendo “vG” la velocidad de traslación del centro de masas. Una correcta interpretación de la ecuación nos lleva a que:

• v = vG – ω r.

, por lo que para que v = 0, vG = ω r.

En este caso partícular, se cumple que la velocidad del centro de masas es vG, la del punto de contacto es 0, y la del punto diametralmente opuesto al de contacto es 2 vG, sucediendo lo mismo con las aceleraciones.

Esta forma de desplazamiento, por sus características, no puede existir en ausencia de rozamiento, y como se considerará que el punto de contacto se encuentra instantáneamente en reposo, la fuerza de rozamiento que actúa es la estática y no la dinámica. Es decir, que en cualquier problema en el que nos digan que un cuerpo se desplaza sobre una superficie rodando sin deslizar existe rozamiento, aunque no se especifique en el enunciado.

Otra característica de rodar sin deslizar es que aunque haya fuerza de rozamiento ésta no produce trabajo. Al estar aplicada en el punto de contacto y encontrarse éste instantáneamente en reposo. Como consecuencia, a pesar de existir fuerza de rozamiento se conserva la energía mecánica del sólido, siempre que las demás fuerzas que actúen sean conservativas.

Un Sistema de Partículas es un conjunto de puntos materiales limitados por una superficie cerrada.

Los sistemas de partículas los podemos clasificar en sistemas discretos y continuos, siendo los primeros deformables o indeformables y los segundos deformables o sólidos rígidos.

Un sistema de partículas se considera que es discreto si lo compone un conjunto finito de puntos materiales. A nivel microscópico cualquier cuerpo se compone de una estructura discreta. Sin embargo, para explicar su comportamiento a nivel macroscópico se le considera formado por una distribución continua de materia.

En los sistemas deformables, la distancia relativa entre las partículas que lo forman puede variar a lo largo del tiempo.

En los sistemas deformables, esta distancia permanece constante sean cuales sean las interacciones que recibe el sistema por parte del medio.

• rij = ri – rj = cte → Sistema Indeformable.
• rij = ri – rj ≠ cte → Sistema Deformable.

Los sistemas continuos deformables son los que se modifican al actuar fuerzas sobre ellos.

Los cuerpos que se estudian en la aproximación del sólido rígido son aquéllos en los que se supone que las fuerzas que actúan sobre ellos son tan pequeñas que el sistema no se deforma bajo su acción.

Fuerzas Interiores y Exteriores:

Dado un sistema de partículas compuesto por “n” partículas, en general estas partículas interaccionan entre si de forma má o menos complicada. Pero además pueden interaccionar con otras partículas que no pertenecen al sistema.

Por eso resulta útil agrupar las fuerzas en:

• Exteriores: producidas por las partículas ajenas al sistema.
• Interiores: producidas por las partículas pertenecientes al sistema.

La suma de todas las fuerzas interiores que actúan sobre un sistema de partículas es el vector nulo “0“, tanto si el sistema se encuentra en equilibrio como si no lo está, expresado como:

• ∑(∑(Fij) desde “j = 1″ y “j ≠ i” hasta “n”) desde “i = 1″ hasta “n”.

, que es lo mismo que decir que el sumatorio de las fuerzas de cada particula “i” sobre todas las otras partículas “j” es nulo.

La distribución entre fuerzas interiores y exteriores dependen del punto de vista.

Ecuaciones del movimiento:

El movimiento del sistema está determinado cuando se cconozca la evolución temporal de cada una de las partículas que lo forma.

Si aplicamos la 2ª Ley de Newton a cada una de las partículas obtendremos “n” ecuaciones:

• Fext + ∑(Fintij) desde “j = 1″ y “j ≠ i” hasta “n” = mi ai para una sola partícula.

• ∑(Fexti) desde “i = 1″ hasta “n” + ∑(∑(Fintij) desde “j = 1″ y “j ≠ i” hasta “n”) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(mi ai) desde “i =1″ hasta “n” para todo el conjunto de partículas.

Como el segundo sumatorio es nulo, todo se reduce a:

• ∑(Fexti) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(mi ai) desde “i =1″ hasta “n”.

, lo que viene queriendo decir que la aceleración total del sistema de partículas queda determinada únicamente por el conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre él.

Centro de masas:

La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene determinada por la posición media de la partículas del mismo, teniendo más valor en dicha media las que posean mayor masa, lo que se expresa matemáticamente del siguiente modo:

• rG = ∑(mi ri) desde “i = 1″ hasta “n” / ∑(mi) desde “i =1″ hasta “n”.

, donde “rG” es el vector posición del centro de masas.

Si derivamos respecto al tiempo:

• drG / dt = vG = ∑(mi vi) desde “i = 1″ hasta “n” / ∑(mi) desde “i =1″ hasta “n”.

, donde “vG” es el vector velocidad del centro de masas.

Si derivamos respecto al tiempo de nuevo:

• dvG / dt = aG = ∑(mi ai) desde “i = 1″ hasta “n” / ∑(mi) desde “i =1″ hasta “n”.

, donde “aG” es el vector aceleración del centro de masas.

Esto reduce la ecuación del movimiento del sistema a:

• Fext = m aG.

, conocido como el Teorema del Centro de Masas.

El centro de masas de un sistema cualquiera de partículas, deformable o no, tiene el mismo movimiento que un punto material cuya masa fuese igual a la totalidad del sistema y sobre el que actuase la resultante de las fuerzas exteriores al sistema “Fext“.

Se puede estudiar la evolución temporal de un sistema a partir de la evolución del centro de masas del mismo.

Propiedades del centro de masas:

• Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema al de una partícula, aunque para estudiar de forma total el movimiento del mismo respecto a un sistema de referencia inercial hay que estudiar cómo se mueve el centro de masas con respecto de dicho sistema y, además, describir el movimiento de las partículas del sistema respecto al centro de masas. La forma más simple de abordarlo es elegir un sistema de referencia inercial localizado en el propio centro de masas que se mueva con él, pero cuya orientación permanezca paralela al sistema de referencia inercial exterior.
• El centro de masas es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición de una partícula material del sistema.
• El centro de masas está contenido en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpo tiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masas. Si posee un centro de simetría, éste será directamente el centro de masas.
• El centro de masas es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solo depende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre si.
• Para los cuerpos en los que se considera una distribución continua de masas, se cumple la siguiente igualdad: rG = ∫(r dm) desde “0″ hasta “m” / ∫(dm) desde “0″ hasta “m”. Para aplicar puede resultar más cómodo emplear las siguientes equivalencias: densidad lineal λ = dm / dL; densidad superficial σ = dm / dS; y densidad volúmica ρ = dm / dV.
  

Teoremas de Guldin:

• La superficie de revolución generada por una línea plana y homogénea que gira alrededor de un eje es igual a la longitud de la misma por la latitud de la circunferencia que genera: dS = 2 π y dl, e integrando: S = 2 π ∫(y dl). Como yG = ∫(y dm) / ∫(dm), aplicando la densidad lineal: yG = ∫(y dl) / l, y moviendo las variables: ∫(y dl) = yG l. Si combinamos todo esto: S = 2 π yG l.
• El volumen de la superficie de revolución es igual al producto del área de dicho superficie por la longitud de la circunferencia que describe su centro de masas: dV = 2 π y dS, e integrando: V = 2 π ∫(y dS), y por un planteamiento similar al anterior: V = 2 π yG S.

Momento Lineal del Sistema de Partículas:

El momento lineal de una partícula referido a un origen fijo sería:

• pi = mi vi.

, y el de todo el sistema:

• p = ∑(mi vi) desde “i = 1″ hasta “n” = m vG.

Si lo derivamos respecto al tiempo:

• dp / dt = m dvG / dt = m aG = Fext.

, de donde surge el Teorema del Momento Lineal del Sistema de Partículas:

• Fext = dp / dt.

Solo las fuerzas exteriores pueden veriar el momento lineal. Si:

• Fext = 0.

, el momento lineal es constante.

Una aplicación  muy importante es cuando las fuerzas interiores que componen el sistema son impulsivas. (Por fuerzas impulsivas se entienden fuerzas de gran intensidad que actúan durante un pequeño intervalo de tiempo, como un disparo o una detonación). Este tipo de fuerzas son tan intensas que durante el tiempo que actúan todas las demás son despreciables, y como las fuerzas impulsivas son interiores al sistema, su momento lineal se conservará aunque actúen fuerzas exteriores (pudiéndose calcular así, por ejemplo, el retroceso de una pistola [el momento lineal de la bala es opuesto al del arma]).

Momento Angular del Sistema de Partículas:

Se define como momento angular de una partícula “i” perteneciente a un sistema de partículas respecto a un punto “Q” a la igualdad:

• LQi = (ri – rQ) Λ mi (vi – vQ).

, y el del sistema como:

• LQ = ∑((ri – rQ) Λ mi (vi – vQ)) desde “i = 1″ hasta “n”.

Si derivamos respecto al tiempo:

• dLQ / dt = ∑((vi – vQ) Λ mi (vi – vQ)) desde “i = 1″ hasta “n” + ∑((ri – rQ) Λ mi (ai – aQ)) desde “i = 1″ hasta “n”.

, donde el primer sumatorio es nulo por ser una colección de productos vectoriales de vectores idénticos, y el segundo se descompone en:

• ∑((ri – rQ) desde “i = 1″ hasta “n” Λ Fext + Fint – ∑((ri – rQ) Λ mi aQ) desde “i = 1″ hasta “n”.

En esta nueva igualdad al primer término se le considera el momento de fuerzas de Q “MQ“, y el seguno, la resultante de las fuerzas interiores, es nulo como ya vimos. Así que, en resumen:

• dLQ / dt = MQ – ∑((ri – rQ) Λ mi aQ) desde “i = 1″ hasta “n”.

, siendo este el Teorema del Momento Angular. Así pues, encontramos que el momento angular del sistema de un punto tan solo es constante si Q está quieto, si lleva un movimiento rectilíneo uniforme, si es el propio centro de masas, o cuando la aceleración del punto está dirigida al centro de masas.

Supongamos ahora el momento angular respecto al centro de masas que, como hemos visto, será constante.

• LG = ∑((ri – rG) Λ mi (vi – vG)) desde “i = 1″ hasta “n”.

, que se puede dividir en:

• ∑((ri – rG) Λ mi vi) desde “i = 1″ hasta “n” – ∑((ri – rG) Λ mi vG) desde “i = 1″ hasta “n”.

, siendo el segundo sumatorio nulo porque la velocidad del centro de masas relativa a sí mismo es “0“. Con lo cual:

• LG = ∑((ri – rG) Λ mi vi) desde “i = 1″ hasta “n”.

, y el momento angular del sistema respecto al centro de masas resulta ser independiente de la velocidad de este. Principio de Conservación del Momento Angular: si:

• MG = 0.

, LG es constante.

Por último, si comparamos el momento angular respecto al origen de coordenadas con el momento angular respecto al centro de masas resulta que:

• L0 = LG + rG Λ m vG.

Energía Cinética de un Sistema de Partículas:

Se define la energía cinética de un sistema de “n” partículas a partir de la de la partícula simple:

• Ec = ∑(m v^2 / 2) desde “i = 1″ hasta “n”.

, por lo que la energía cinética depende del sistema de referencia, cumpliéndose que:

• Energía Cinética = Energía Cinética relativa al centro de masas + Energía Cinética de Traslación, siendo éste el Teorema de Koening.

Teorema del Trabajo:

Como ya sabemos, el incremento de trabajo está directamente relacionado con el incremento de energía cinética:

• W = ΔEc.

Lo cual, aplicado al sistema de partículas, implica que:

• Wexterior + Winterior = ΔEc.

En una pareja de partículas, si multiplicamos la ecuación de cada una por “d¬r” obtenemos estas dos ecuaciones:

• Fext dr1 + Fint1 dr1 = m1 a1 dr1.
• Fext dr2 + Fint2 dr2 = m2 a2 dr2.

Dado que el vector “Fint2” se corresponde con el vector “- Fint1“, y que el producto “m a dr” es igual a “m v dv“, si juntamos las dos ecuaciones resulta:

• Fext dr1 + Fext dr2 + Fint1 (dr1 – dr2) = mi v1 dv1 + m2 v2 dv2.

, que, sustituyendo, se corresponde con la ecuación de arriba:

• dWesterior + dWinterior = dEc.

Energía Potencial. Teorema de Conservación de la Energía:

Se puede definir una energía potencial cuando la resultante de las fuerzas sobre las partículas de un sistemas tiene un rotacional no nulo, o dicho en otras palabras, es conservativo.

Se cumple que la energía potencial total del sistema es igual al sumatorio de la energía potencial de cada una de las partículas, debido a la separación relativa de las partículas del sistema:

• Ep = ∑(Epi) desde “i = 1″ hasta “n”.

, estando “Epi” en función de la distancia relativa entre ellas y la cantidad de magnitud activa que poseen.

Si las fuerzas interiores son conservativas, el trabajo interior es igual a la energía potencial interna inicial menos la final:

• Winterior = Epinterna-inicial – Epinterna-final.

Asimismo, se define como Energía Propia del Sistema a:

• U = Ec + Epinterior.

Si volvemos a la fórmula del apartado anterior:

• Winterior + Wexterior = ΔEc.

, y sustituyendo y despejando:

• Wexterior = (Ec + Ep)final – (Ec + Ep)inicial = Ufinal – Uinicial.

, y finalmente:

• Wexterior = ΔU.

, por lo que si el sistema está aislado, la energía propia se conserva.

Si la energía cinética no es constante, su variación será opuesta a la de la energía potencial para que se cumpla el teorema de conservación de la energía propia.

Hay que hacer notar que aunque para este teorema se han supuesto fuerzas interiores conservativas, tiene un rango de validez superior al de las hipótesis que sirvieron para demostrarlo.

Por último, si las fuerzas exteriores son conservativas:

• Wexterior = Epexterior-inicial – Epexterior-final.

, y:

• -ΔEpexterior = ΔU.

Sustituyendo, se obtiene una última ecuación:

• (U + Epexterior)final = (U + Epexterior)inicial = cte = Energía Mecánica.

La energía mecánica total es constante si todas las fuerzas son conservativas.

Hasta ahora, en esta asignatura, hemos hablado de los movimientos de puntos materiales sin tener en cuenta las causas de éstos. En este tema comenzaremos a tratarlos desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, que se encarga del estudio del movimiento de cuerpos de longitud entre 10^-10 m (átomos) y 10^20 m (galaxias), siempre y cuando éstos no se muevan a velocidades superiores a la décima parte de la de la luz, en cuyo caso ya hablaríamos de Mecánica Clásica Relativista, según el siguiente esquema.

Las Leyes de Newton (1642-1727):

• Si el sumatorio de fuerzas sobre una partícula es nulo (∑Fi = 0), podemos asegurar que existen unos sistemas de referencia inerciales respecto de los cuales existe una partícula que o bien no se mueve o lo hace con velocidad uniforme.
• Si el sumatorio de fuerzas sobre una partícula no es nulo (∑Fi ≠ 0), éste adquiere una aceleración con dirección y sentido coincidentes con ∑Fi, que se define por: a = ∑Fi / m, siendo “m” la masa de la partícula.
• Cuando dos partículas interaccionan entre si, según el siguiente esquema, la fuerza que ejerce la partícula A sobre la partícula B son iguales en módulo y dirección, pero opuestas en sentido (F1 = – F2), siendo una de ellas de acción y la otra de reacción.

Sistemas de referencia no inerciales y fuerzas de inercia:

Un sistema de referencia no inercial es el que tiene aceleración respecto de un sistema de referencia inercial, es decir, los ejes de este sistema tienen un movimiento no uniforme o de rotación respecto al otro. Se cumple que:

• La fuerza que actúa sobre la partícula observada procede de tener en cuenta la aceleración del sistema de referencia no inercial (as) y la aceleración relativa de la partícula desde dicho sistema (a’).
  F = m (as + a’).
• La Fuerza Inercial o de Arrastre (Fa) es opuesta a la aceleración relativa: Fa = – m a’.
• Aplicando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene que: F + Fa = m as.

Las fuerzas en la Naturaleza:

Las fuerzas de la Naturaleza pueden explicarse a nivel microscópico como cuatro interacciones fundamentales: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil, aunque solo se estudian en Dinámica Clásica las interacciones macroscópicas de las dos primeras.

Fuerzas de Rozamiento:

Es un concepto estadístico que macroscópicamente se caracteriza mediante una fuerza “Fr” producida por las interacciones electromagnéticas entre las partículas subatómicas. Las características generales son:

• Aparecen siempre que exista un deslizamiento relativo entre dos cuerpos en contacto.
• Son paralelas a la superficie de contacto entre ambos cuerpos.
• Tienen sentido contrario a la velocidad relativa de un cuerpo respecto al otro.
• Se trata de fuerzas que siempre se oponen al movimiento.
• Su valor es independiente de dicha velocidad relativa.
• Son independientes del área de contacto entre los cuerpos.
• Aunque no haya deslizamiento relativo, puede haber fuerzas de rozamiento entre ellos.
• Son proporcionales a la Normal (fuerza de reacción al peso). Frmax = μs N, donde “Frmax” es la fuerza de rozamiento máxima alcanzable, “μs” el coeficiente de rozamiento estático, cuando los cuerpos están quietos, y “N” la Normal.
• El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el dinámico (cuando una partícula se mueve respecto a la otra. μs > μd.

Momento Lineal:

Se define el momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula como el producto de la masa de la misma por su velocidad:

• p = m v.

, por lo que, al depender de la velocidad, varía según el sistema de referencia empleado.

Si lo derivamos respecto al tiempo:

• dp / dt = dm v / dt = m dv / dt = m a = F.

, de donde sale el Teorema del Momento Lineal:

• dp / dt = F.

, y a su vez el Impulso Lineal:

• Il = ∫(F dt) desde “t0″ hasta “t” = ∫(dp) desde “p0” hasta “p” = Δp.

Momento Angular:

Se define como momento angular de una partícula como el producto vectorial del vector posición y el momento lineal:

• L0 = r Λ p = r Λ m v.

, y de nuevo, al depender de la velocidad, varía con el sistema de referencia.

Si el punto de referencia “O” está en movimiento:

• L0 = L0′ + OO’ Λ m v.

, siendo “L0‘” el momento angular respecto la nueva posición y “OO’” el vector que una la posición inicial con la nueva.

Si lo derivamos respecto al tiempo:

• dL0 / dt = dr / dt Λ m v + r Λ m dv / dt = v Λ m v + r Λ m a.

, y como el producto vecrorial de “v” consigo mismo es nulo (son paralelos):

• dL0 / dt = r Λ m a = r Λ F.

, de donde sale el Teorema del Momento Angular:

• dL0 / dt = M0.

, y a su vez, de nuevo, el Impulso Angular:

• Ia = ∫(M0 dt) desde “M00” hasta “M0” = ∫(dL0) desde “L00” hasta “L0” = ΔL0.

Trabajo realizado por una fuerza:

El incremento de trabajo “W” sobre un cuerpo que se desplaza desde un punto A hasta un punto B es igual al producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y su desplazamiento:

• dW = F dr.

, también expresable como:

• ∫(dW) desde A hasta B = ∫(F dr) desde A hasta B.

Podemos comprobar, además, que el incremento del trabajo es igual al incremento de Energía Cinética:

• dW = F dr = m (dv / dt) (v dt).

, simplificando por el incremento de tiempo:

• dW = m v dv.

, que por cálculo diferencial es igual a:

• dW = m d(v v) / 2 = d(m v^2 / 2).

Este último término, como se puede apreciar, es el incremento de energía cinética.

• ΔW = ΔEc.

, siendo “Ec” la energía cinética.

Energía Potencial:

Aplicando Teoría de Campos, sabemos que toda partícula que derive de un sistema vectorial de fuerzas posee una cierta energía potencial, si dicho campo era conservativo o, dicho de otro modo, poseía un rotacional nulo, y que siempre se cumplía que el sistema de vectores era igual al vector opuesto al gradiente del campo potencial:

• F = – gradE.

• Campo Gravitatorio: La Fuerza Gravitatoria se define por: Fg = – (G M m / r^2) r0, donde “G” es la Constante de Gravitación Universal, “M” es la masa que atrae, “m” es la masa atraida, “r” es el módulo del vector posición de la masa atraída respecto a la atrayente, y “r0” el vector unitario del anterior. Como su rotacional es nulo (rotFg = 0), se cumple que: Fg = – gradEpg, siendo “Epg” la Energía Potencial Gravitatoria. Si despejamos esta ecuación: Epg = – G M m / r.
• Campo Electrostático: La Fuerza Electrostática se define por: Fe = (k Q q / r^2) r0, donde “k” procede de la Constante Dieléctrica del medio, “Q” es la carga atrayente y “q” la carga atraída. Como rotFe = 0, se cumple que: Fe = – gradEpe, donde “Epe” es la Energía Potencial Electrostática, que despejada se define como: Epe = k Q q / r.
• Campo Elástico: La Fuerza Elástica se define por: Fel = – k l, siendo “k” la Constante Elática del material, y “l” el vector de la deformación producida por una fuerza. Como rotFel = 0, se cumple también que: Fel = – gradEpel, donde “Epel” es la Energía Potencial Elástica, que se puede expresar como: Epel = k l^2 / 2.

Potencial:

En el caso del Campo Gravitatorio y el Electrostático, en el medio que los rodea aparece un campo escalar denominado Potencial, que se calcula dividiendo la Energía Potencial entre la magnitud activa de la supuesta partícula afectada,  independientemente de que haya alguna partícula siendo afectada por él o no. Así, cualquier punto del espacio (vacío o no) se verá afectado por este potencial y por el vector a partir de su gradiente.

• Campo Gravitatorio: El Potencial Gravitatorio se define como: Vg = Epg / m = – G M / r, y a través del gradiente obtenemos la aceleración gravitatoria: g = – gradVg = – (G M / r^2) r0.
• Campo Electrostático: El Potencial Electrostático se define como: Ve = Epe / q = k Q / r, y a través del gradiente obtenemos E = – gradVe = (k Q / r^2) r0.

Energía Mecánica:

Si consideramos un campo vectorial conservativo, y una partícula que se mueve a través de él, siempre se cumple que:

• ΔW = – ΔEp.

, si combinamos esto con el hecho ya demostrado de que:

• ΔW = ΔEc siempre.

, obtenemos que:

• ΔEc = – ΔEp.

, por lo que:

• ΔEc + ΔEp = constante = Em.

, donde “Em” es la Energía Mecánica, y la anterior fórmula, por tanto, el Teorema de Conservación de la Energía Mecánica.

El péndulo de Foucault, apreciable en una gran cantidad de museos, es la primera prueba experimental de que nuestro planeta posee un movimiento de rotación.

Como vimos durante el último tema, todo sistema de referencia en rotación aprecia en el movimiento de los cuerpos una desviación denominada aceleración de coriolis:

• adc = 2 (ω Λ v’).

, donde “ω” es el vector velocidad angular, situado sobre el eje de La Tierra y hacia el norte, y “v‘” es la velocidad relativa con la que un observador ubicado en La Tierra mediría la velocidad del objeto estudiado, en este caso un péndulo. De todas fomas, insisto, la aceleración de Coriolis no es más que un efecto de nuestra percepción de la realidad, que otro observador exterior vería de un modo completamente diferente.

Como se define por un producto vectorial, el módulo de esta aceleración será igual a |ω| |v’| Senσ, siendo “σ” el ángulo que forman los dos vectores dados. De este modo, el Efecto Coriolis será maximal cuando los vectores de ambas velocidades sean perpendiculares.

Dado que el péndulo de Foucault siempre oscilará sobre la superficie terrestre, durante su estancia en cualquiera de los dos polos su movimiento será perpendicular a la velocidad angular de La Tierra, y por tanto siempre será maximal. En el ecuador, en cambio, tan solo será maximal en el caso de que el péndulo oscile de forma paralela al ecuador, en cuyo caso el Efecto Coriolis estaría dirigido hacia fuera (producto vectorial), viéndose compensado por las demás fuerzas que tiran del péndulo hacia la superficie, tales como la gravedad y la base magnética que suelen llevar estos péndulos para que su rozamiento sea despreciable.

Asimismo, en el ecuador también es en el único lugar donde el Efecto Coriolis sobre el péndulo puede ser nulo, ya que si su trayectoria es perpendicular al mismo sobre la superficie, también será paralela a la velocidad angular terrestre, y el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo.

Entre el ecuador y los polos la aceleración de Coriolis puede tomar todo un rango de valores, pero nunca el minimal, por la imposibilidad de formar ángulos de o 0º con la velocidad angular.

Hasta ahora, para estudiar el movimiento de un punto hemos supuesto que el sistema de coordenadas que nos servía de referencia estaba fijo en el espacio.

Sin embargo, en la Naturaleza es difícil imaginar un sistema de referencia que cumpla esta condición.

Vamos pues a considerar un problema más general que nos permita conocer el movimiento de un punto respecto a un sistema de coordenadas considerado como fijo cuando se conoce su movimiento con relación a otro sistema de ejesque a su vez se mueve respecto al primer sistema.

Se llama movimiento absoluto al de un punto respecto a unos ejes fijos, y relativo al movimiento con relación a un sistema de ejes que poseen un movimiento de arrastre con respecto a los ejes fijos.

Movimiento de Arrastre de Traslación:

Al ser un movimiento de traslación, durante el mismo los ejes se conservan paralelos a si mismos, y se cumplen:

• r = r’ + r0.

, donde “r” sería la posición respecto al sistema fijo, “r‘” la posición relativa al sistema en movimiento y “r0” la posición del sistema en movimiento, según la figura.

Si derivamos respecto al tiempo:

• dr / dt = v = v’ + v0.

, donde “v” sería la velocidad absoluta, “v’” la velocidad relativa al sistema móvil y “v0” la velocidad de dicho sistema.

Si derivamos respecto al tiempo de nuevo:

• dv / dt = a = a’ + a0.

, donde una vez más “a” es la aceleración absoluta, “a’” es la aceleración relativa al sistema móvil y “a0” la aceleración de éste.

Movimiento de Arrastre de Rotación:

Al ser un movimiento de rotación del propio sistema de referencia, cada punto de sus ejes variará su posición de forma no rectilínea, cumpliéndose que sus posiciones serán:

• r = r’ + r0.

, y a su vez, la variación de un eje “v“:

• dv / dt = ω Λ v.

, siendo “ω” el vector de la velocidad angular, perpendicular al plano de giro. Esta última ecuación, si se aplica a cada uno de los tres vectores unitarios de los tres ejes de coordenadas, genera las llamadas Ecuaciones de Poisson. (No confundir con la de la ecuación sobre la divergencia del mismo autor).

Dicho esto, las ecuaciones relativas a este movimiento serían:

• r = r’ + r0.

, exactamente igual que en el Arrastre de Traslación. Derivando respecto al tiempo:

• dr / dt = v = v’ + ω Λ r’.

Y derivando de nuevo:

• dv / dt = a’ + 2 (ω Λ v’) + α Λ r’ + ω (ω Λ r’).

Esta ecuación es muy importante porque “2 (ω Λ v’)” es la llamada Aceleración de Coriolis, y “ω (ω Λ r’)” es el Término Centrífugo. “α“, que no había aparecido hasta ahora, sería la aceleración angular.

La Aceleración de Coriolis hace que las corrientes marinas giren en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte y de modo opuesto en el sur, asi como la marcha de los péndulos.

La cinemática estudia movimientos sin tener en cuenta su causa.

Cuando un cuerpo se mueve, ocupa en cada instante un lugar determinado. La cinemática estudia desplazamientos y tiempos. Se la puede considerar una geometría a la que se le ha añadido el parámetro tiempo.

Llamamos punto material a un cuerpo de dimensiones despreciables comparadas con la del fenómeno estudiado.

Al suponer los cuerpos como puntuales hacemos abstracción de su forma, y por tanto solo existe la traslación.

Se estudia la cinemática desde el punto de vista clásico: una partícula ha de seguir un camino al que denominamos trayectoria. Así, la trayectoria se puede definir como el lugar geométrico de las sucesivas posiciones ocupadas por la partícula en su movimiento.

Para decir que una partícula se mueve hemos de considerar sus posiciones en instantes distintos, para lo cual es necesario elegir un sistema de referencia. Si el sistema de referencia puede considerarse inmóvil, decimos que estudiamos el movimiento absoluto de la partícula. En caso contrario, el movimiento es relativo.

Una vez elegido el sistema de referencia, la posición de un punto quedará determinada mediante un vector al que denominamos vector de posición, pudiendo considerarse la trayectoria de la partícula como la curva que describe el extremo de dicho vector.

El movimiento de un cuerpo queda definido cuando se conoce la ecuación de la trayectoria, que generalmente puede darse de dos formas diferentes:

• Se fija la posición del punto material y se van expresando sus posiciones respecto al tiempo.
• Cuando tengo el espacio en función del tiempo.

Si tanto en un caso como en el otro suprimimos el tiempo queda la trayectoria.

Consideremos una partícula que se desplaza con una trayectoria cualquiera. Se define la velocidad promedio como:

• v¯ (donde “¯” indica que es un valor medio) = Δr / Δt (aumento de posición dividido entre el aumento de tiempo).

, y la velocidad instantánea como:

• v = dr / dt.

Si la descripción geométrica del movimiento viene dada como función de la trayectoria, definimos velocidad media escalar o celeridad como:

• v¯ = Δe / Δt.

, y la celeridad como:

• v = de / dt.

, cumpliendose que:

• v = v u t.

, siendo “u” un vector unitario tangente a la trayectoria.

Si por un punto arbitrariamente elegido se trazan vectores equipolentes a la velocidad instantánea en cada punto de la trayectoria, se obtiene una curva continua determinada por los extremos de dichos vectores denominada nodógrafa del movimiento.

Por lo general, la velocidad y la celeridad varían de un instante a otro, por lo que es interesante estudiar dicha característica. Definimos aceleración promedio como:

• a¯ = Δv / Δt.

, y la aceleración instantánea como:

• a = dv / dt.

Movimiento en un plano:

Dada la figura adjunta, donde “r” es el vector posición, “ur” el vector unitario de posición, σ el ángulo del vector posición con respecto al eje OX y “uo” el vector unitario trasversal, se cumplen las siguientes ecuaciones:

• r = r ur.
• uo = – Senσi + Cosσj.

Siendo “i” y “j” los vectores unitarios de los ejes OX y OY, respectivamente.

• ur = Cosσ i + Senσ j.
• dr / dt = r dur / dt.

Sustituyendo:

• - Senσ dσ i / dt + Cosσ dσ j / dt.

, y sacando factor común:

• dσ / dt (- Senσ i + Cosσ j) = dσ / dt (uo).
• duo / dt = – Cosσ dσ i / dt – Senσ dσ j / dt = dσ / dt (- Cosσ i – Senσ j) = – dσ / dt (ur).

Dada la nueva figura, donde “C” es el centro de la curva descrita por el móvil en su trayectoria, “P” la posición del móvil, “OP” el vector de origen “C” y extremo “P“, “ρ” el módulo de dicho vector (también conocido como radio), “P‘” la posición de la partícula después de desplazarse, “v” el vector velocidad en el punto, “v” la celeridad, “ut” el vector unitario tangente a la trayectoria del móvil, “σ” el ángulo de desplazamiento, “un” el vector unitario del radio y “s” espacio recorrido.

• |CP| = |CP’| = ρ.

En trayectoria circular, el vector posición respecto al centro de la circunferencia es constante.

• ds = ρ dσ.
  
• v = v ut.

, de donde derivando respecto al tiempo:

• dv / dt = dv ut /dt + v dut / dt.
• dut / dt = dσ un / dt = (dσ / ds) (ds / dt) (un).

, y como:

• ρ = ds / dσ → dut / dt = v un / ρ.
• a t = dv ut / dt.

La aceleración tangencial es la derivada de la velocidad tangencial respecto al tiempo.

• an = v^2 un / ρ.

La aceleración normal o centrípeta es igual al cuadrado de la velocidad dividida entre el radio.

• a = dv / dt = dV ut / dt + v dut / dt, como dut / dt = v un / ρ.

, se cumple que:

• a = dv ut / dt + v^2 un / ρ.
• a = at + an.

La aceleración total es la suma de la tangencial y la normal:

• a^2 = [at^2 + an^2]^½.

Si, por el contrario, quisiésemos dar la velocidad y la aceleración en función de las componentes radial y trasversal antes vistas, podríamos hacerlo a partir de la primera imagen:

• r = r ur.
• v = dr / dt = dr ur / dt + r dur / dt.

, sabiendo que:

• dur / dt = dσ uσ / dt.

La velocidad radial se define por:

• vr = dr ur /  dt.

La velocidad trasversal se define por:

• vσ = r dσ uσ / dt.
• a = d(dr / dt) / dt = dv / dt = [d''r / dt^2 - r (dσ / dt)^2] ur + [2 (dr / dt) (dσ / dt) + r (d''σ / dt^2) uσ.

, donde "d''" significa derivada segunda.

• La aceleración radial se define por: ar = [d''r / dt^2 - r (dσ / dt)^2] ur.
• La aceleración trasversal se define por: aσ = [2 (dr / dt) (dσ / dt) + r (d''σ / dt^2) uσ.
• En el caso de que "r" sea constante: at = [- r (dσ / dt)^2] ur y ¬aσ = r (d”σ / dt^2) uσ.

Movimiento rectilíneo:

• La celeridad y la velocidad son constantes, por lo que la aceleración tangencial es nula → a = dv / dt = 0.
• El radio de curvatura es infinito: ρ = ∞.
• La aceleración centrípeta es nula: ac = v^2 / 2 = 0.

Movimiento rectilíneo acelerado:

• De nuevo, el radio de curvatura es infinito, reduciendo la aceleración centrípeta a 0.
• a = at = dv / dt → dv = a dt = ∫(dv) desde “v0″ hasta “v” = ∫[a (dt)] desde “t0″ hasta “t”.
• Si la aceleración es constante sale fuera de la integral: ∫(dv) desde “v0″ hasta “v” = a ∫(dt) desde “t0″ hasta “t” → Δv = a Δt, y el incremento de velocidad es igual al incremento de tiempo por la aceleración.
• El espacio recorrido se define del siguiente modo: ds = v dt = (v0 + a Δt) dt, de donde sale que: ∫(ds) desde “s0″ hasta “s” = ∫[(v0 + a Δt) dt] desde “t0″ hasta “t” → Δs = v0 Δt + a Δt^2 / 2.

Movimiento circunferencial uniforme:

• Como la velocidad es constante, la aceleración tangencial es nula y la aceleración total es igual a la centrípeta o normal.
• La velocidad angular se define como: ω = dσ / dt.
• v = ω ρ, siendo “ρ” el radio de la circunferencia descrita.
• v = ω Λ ρ = ω Λ r, siendo “r” el vector de posición.
• Si definimos el periodo como el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta, por definición se cumple que: ∫(dσ) desde “0 radianes” hasta “2π radianes” = ω ∫(dt) desde “0 segundos” hasta “T”, siendo “T” el periodo, resultando 2 π = ω T.
• La frecuencia, que es el número de vueltas que da el móvil cada segundo, medida en rev/s o herzios, se define como: ν = 1 / T = ω / (2 π).

Movimiento circunferencial uniformemente acelerado:

• La aceleración angular se define como: α = dω / dt.
• ∫(dω) desde “ω0″  hasta “ω” = α ∫(dt) desde “t0″ hasta “t”, resultando: Δω = α Δt.
• De modo análogo al espacio recorrido en el movimiento uniformemente acelerado, se prueba que: Δσ = ω0 Δt + α Δt^2 / 2.
  

En física, al tratar de describir la interacción entre partículas o cuerpos materiales, se puede hacer de dos modos:

• Mediante el concepto de acción a distancia utilizado desde la época de Newton. Este concepto implica, como su nombre indica, la interacción de una partícula sobre otra sin intervención directa del medio en el que se encuentran.
• Mediante la perturbación de las propiedades del mediodonde se encuentren las partículas. En esta descripción se supone que una de las partículas produce la perturbación que se traduce en una acción sobre las demás, a las que podemos llamar “testigos” y que se encuentran en la región perturbada. Este concepto fue introducido por Faraday, que no llegó a formalizarlo matemáticamente.

Estas dos descripciones alternativas son indistinguibles en situaciones estáticas. En situaciones dinámicas resulta ventajoso y más cómodo, tanto desde el punto de vista físico como matemático, la descripción mediante la introducción del concepto de campo para caracterizar la perturbación de las propiedades del medio. Conviene resaltar que la acción a distencia o directa presenta ventajas en situaciones estáticas (cargas eléctricas o masas gravitatorias en reposo), pero tiene grandes desventajas cuando se trata de cargas o masas en movimiento rápido.

Campo:

Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice que este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo.

Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar.

Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial.

En general tanto los campos escalares como los vectoriales son funciñon del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios.

Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo:

• T (x, y, z) = cte.

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según  la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por:

• T (x, y) = cte.

las isóbaras se definen por:

• P (x, y) = cte…

Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial:

• A (x, y, z, t).

Entre éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido:

• v (x, y , z, t).

, el campo eléctrico, el gravitatorio, el magnético… De manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio:

• g (x, y, z).

, el electrostático:

• E (x, y, z)…

Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. Se dice que en una cierta región del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas.

Para poner de manifiesto la fuerza hay que colocar en el punto correspondiente un agente sensible (“testigo”) de naturaleza adecuada a la fuerza. Es decir, si las fuerzas son de naturaleza eléctrica el agente será una carga en reposo o el movimiento, si son gravitatorias el agente será una partícula con cierta masa… Por lo tanto, en general:

• F (x, y, z, K).

, donde mediante “K” queremos indicar que el valor de la fuerza depende no solo del punto del espacio considerado, sino también del del valor del “testigo” utilizado para detectarla.

Como hemos indicado, los campos de fuerzas dependen del agente sensible. Para salvar esta dificultad se suele definir un campo de fuerzas por unidad de agente sensible que se denomina intensidad del campo de fuerzas:

• I (x, y, z) = F (x, y, z, K) / K.

Para los campos gravitatorios,

• g = F / m.

, y para el electrostático:

• E = F / q.

Podemos preguntarnos por qué dentro de todas las formas posibles para visualizar el comportamiento de campos se ha elegido la más abstracta: los campos son simplemente funciones matemáticas de la posición y dle tiempo. De esta forma se puede dar una imagen del campo asociando vectores a muchos puntos del espacio, de forma que cada uno de ellos indique la intensidad, dirección y sentido de ese punto.

Se puede visualizar también el comportamiento de los campos trazando unas líneas que en todo punto sean tangentes al vector campo definido en el mismo. Estas líneas de campo indican el sentido de éste, mediante flechas colocadas en ellas. Al hacer esto se pierde información acerca del módulo de los vectores, pero se puede tener una idea de la magnitud del campo dibujando las líneas más separadas en las regiones en las que es más débil, y más juntas en las más intensas.

Una forma más general y estricta para caracterizar a un campo vectorial:

• A (x, y, z, t).

es a través de su divergencia y rotacional en todos los puntos del espacio donde se encuentra definido, y su comportamiento en los límites. Esta caracterización constituye la llamada formulación diferencial de las ecuaciones del campo. La divergencia y el rotacional son dos operaciones diferenciales, cuya expresión veremos más adelante.

Otra forma alternativa de caracterizar un campo, que se deduce de la anterior, es conociendo el flujo de “A” a lo largo de su superficie y la circulación de “A” a lo largo de líneas pequeñas, situadas tanto unas como las otras alrededor de cada punto del campo. Esta caracterización constituye la llamada formulación integral de las ecuaciones de campo.

Esta caracterización de los campos vectoriales mediante su flujo y circulación es más general que la indicada anteriormente cuando caracterizábamos un campo de fuerzas mediante el vector intensidad de campo. Aquéllas definiciones operacionales solo se pueden establecer para los campos citados (gravitatorio y electrostático). En caso de un campo magnético, no se puede dar una definición de la forma de la ecuación de intensidad, y por ello es más general y correcto definir al vector característico de un campo mediante su circulación y su flujo.

Gradiente de un escalar:

En la teoría de campos, resulta de gran utilidad introducir una operación matemática que indica cómo varía de unos puntos a otros la magnitud escalar característica del campo. Pensemos por ejemplo en la temperatura, la presión, la densidad, el potencial… Esta variación debe estar definida mediante un vector, puesto que en general no será la misma en todas las direcciones del espacio. Este vector recibe el nombre de grandiente del escalar en cuestión. Su módulo indica el valor de la variación del escalar en la dirección en la que dicha variación es más rápida. Su dirección es perpendicular a la superficie equiescalar que pasa por el punto donde está definido. Su sentido es el de los valores crecientes del escalar.

Vamos a justificar las afirmaciones anteriores para el caso concreto de las coordenadas cartesianas. Sea un campo escalar genérico:

• Φ (x, y, z).

que es una función continua de las coordenadas, derivable, cuyo valor está perfectamente determinado en cada punto “P” del espacio. Deseamos conocer cómo varía esta función en un desplazamiento “dr” del punto. Si llamamos “r” al vector de posición del punto “P“, al considerar otro punto “Q” tan próximo a “P” como queramos, de coordenadas:

• (x + dx, y + dy, z + dz).

, la función:

• Φ (x, y, z)

experimentará una variación al pasar de “P” a “Q” dada por:

• dΦ = Φ(x + dx, y + dy, z + dz) – Φ (x, y, z).

, que se puede escribir en función de las derivadas parciales:

• dΦ = ((dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k) dr.

Si llamamos “r0” al vector unitario en la dirección “dr“, tenemos:

• dΦ / dr = ((dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k) dr0.

Siendo el primer miembro la derivada direccional de Φ según la dirección dada por “dr“, nos da la variación del escalar por unidad de longitud.

Llamaremos entonces gradiente de la función escalar Φ al vector:

• gradΦ = (dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k.

, o sea que:

• dΦ / dr = gradΦ r0.

, esto es, la derivada direccional es la proyección del vector gradiente en dicha dirección.

• dΦ / dr = |gradΦ| |r0| Cos(gradΦ, r0).

, la derivada direccional va tomando distintos valores según el valor del coseno y será máxima cuando valga “1″, donde el gradiente es paralelo a “r0“. Si vamos de una superficie de nivel “Φ1″ a otra “Φ2″, la variación de la función escalar es máxima cuando varía según la normal. El módulo del gradiente coincide con la derivada direccional máxima.

Tomemos ahora dos puntos pertenecientes a la misma superficie de nivel e infinitamente próximos. Sea “dl” el vector según esa dirección, que será tangente a esa superficie. La variación de Φ al pasar de “P1″ a “P2″ evidentemente será nula, ya que el gradiente y “dl” son perpendiculares.

El gradiente es una función vectorial puntual deducida de una función escalar puntual, y se representa por:

• gradΦ = D Φ.

El símbolo D se conoce con el nombre de operador nabla, que fue introducido por Hamilton y definido como:

• D = d / dx + d / dy + d / dz.

En realidad el operador nabla se representa por el signo de la imagen adjunta, que es un triángulo volteado. Lo que pasa es que no dispongo de ese icono para escribir en WordPress, al igual que tampoco puedo introducir matrices.

Circulación de un campo vectorial:

Sea una región del espacio donde existe definido un campo de vectores “A“; tomemos un curva cualquiera “MN“. Por definición, se llama circulación “C” del vector “A“, a lo largo de la curva “MN“, a la integral curvilínea:

• C = ∫A dl desde “M” hasta “N“.

Consideremos el caso particular en que el vector “A” sea el gradiente de una magnitud escalar U (,x, y, z), es decir:

• A = gradU = D U (Insisto en que este no es el verdadero símbolo de nabla).

, resulta entonces:

• C = ∫gradU dl desde “M” hasta “N” = ∫dU desde “M” hasta “N” = UN – UM.

Introduzcamos ahora una función escalar V (x, y, z) tal que:

• V (x, y, z) = – U (x, y, z).

, se tiene entonces:

• C = VM – VN.

, y si la curva es cerrada, sucede que:

• C = 0.

, ya que el punto inicial sobre la curva coincide con el final. La función “V” recibe el nombre de potencial del campo de vectores y al campo de vectores que se obtiene a través del gradiente del potencial cambiado de signo, se dice que deriva de un potencial. De todo esto podemos concluir que:

• Es campo es igual al gradiente del potencial cambiado de signo.
• La circulación a lo alrgo de una curva es independiente del camino seguido y sólo depende de los extremos de dicho camino.
• La circulación a lo largo de una línea cerrada es nula.

La ecuación:

• V (x, y, z) = cte.

representa una superficie llamada equipotencial porque en todos los puntos el potencial tiene el mismo valor. Se deduce inmediatamente para las superficies equipotenciales que el campo obtenido a través de su gradiente es normal a ellas. Así, supongamos que nos desplazamos sobre una de dichas superficies en una dirección “d¬l”:

• dU = gradU dl = -dV = 0.

, dado que “gradU” y “dl” son prependiculares.

En cuanto a la dirección del campo “A“, hagamos la siguiente consideración: sabemos que el sentido del gradiente es el de potencial creciente, y como:

• A = – gradV.

, el campo “A” tendrá sentido contrario, es decir, el campo estará dirigido hacia potenciales decrecientes.

Flujo de un campo vectorial:

Toda superficie se puede representar en el espacio como un vector cuyo módulo es igual al área, la dirección es perpendicular a la misma, y el sentido a favor de la regla del tornillo, tal y como se halla predefinido.

Consideremos un punto “P” situado en una superficie donde exista un campo de vectores “Ai”. Por definición, llamamos flujo elemental del campo a través de la superficie a la expresión:

• dφ = A dS, o φ = ∫A dS = ∫|A| |¬dS| Cosσ.

Cuantitativamente, “φ” representa el número de líneas de campo que atraviesa dicha superficie. Si Cosσ = 0, “A” y “dS” son paralelos.

Si la superficie es cerrada y calculamos el flujo a través de ella:

• φ = ∫A dS en “S”.

, y este flujo podrá ser positivo, negativo o nulo. Si el flujo es nulo, el número de líneas de campo qeu entran es igual al número de líneas que salen.

Divergencia:

La divergencia de un vector es el límite de su integral de superficie por unidad de volumen, a medida que el volumen encerrado por la superficie tiende a “0″:

• divA = ∫A dS cerrada / dV.

, donde “dV” es un volumen infinitesimal limitado por una superficie infinitesimal.

• dφ / dV = A dS / dV → A dS = divA dV.

, y finalmente:

• ∫A dS cerrada = ∫divA dV del volumen.

Ésta última ecuación de conoce como Teorema de Gauss o de la divergencia.

• divA = D A.

, donde “D” volvería a representar erróneamente a nabla.

Si al calcular la divergencia en un punto, ésta resulta ser positiva, ese punto se considera manantial, y si resulta negativa, ese punto es un sumidero, y si resultase neutra en todos los puntos del campo, el campo se dice que es solenoidal.

Si:

• divA = 0.

, entonces:

• ∫A dS cerrada = 0.

, cualquiera que sea la forma y tamaño de esta.

Si:

• ∫A dS cerrada = 0.

, entonces:

• divA = 0.

Puede suceder que la divergencia sea nula en unos puntos y en otros no. En este caso el flujo total puede resultar distinto de “0″.

Si consideramos “Vi” al conjunto de volúmenes cuya divergencia es no nula, se cumple que:

• φtotal = ∑ (∫divA dV de los “Vi”) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(∫A dS de las “Si”) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(φi) desde “i = 1″ hasta “n”.

El flujo total a través de “S” resulta ser la suma de los flujos a través de todas las superficies “Si”, y ello ocurre con completa independencia de la forma y tamaño de la superficie “S“, siempre y cuando conserve en su interior las mismas regiones no solenoidales.

El flujo de la superficie cerrada no depende de la forma y tamaño de la superficie, depende únicamente de las regiones no solenoidales del interior “Vi”.

Dado que las líneas vectoriales han de surgir o terminar en las citadas regiones solenoidales, es posible introducir la imagen física de que el campo vectorial ha sido debido a una alteración de las propiedades de homogeneidad del espacio, por el hecho de haberse situado en dichas regiones no solenoidales , rellenándolas totalmente de un agente denominado magnitud activa o creadora del campo, cuyo valor en cada una de las regiones coincide con su correspondiente flujo total. Así, se mide la magnitud activa existente en una región no solenoidal por la relación:

• Mtotal = φ total.

, donde “M” representa la magnitud activa.

Dentro de cada “Vi” puede haber una distribución uniforme o no con la magnitud activa, y definimos densidad volúmica de magnitud activa por la expresión:

• ρ = dM / dV.

, de donde:

• M = ∫ρ dV = ∫divA dV.

, de donde se obtiene la ecuación de continuidad:

• divA = ρ = dM / dV.

Si suponemos que el campo “A” deriva de una función potencial a través del gradiente:

• A = – gradV.

, y obtenemos la ecuación de Poisson:

• ρ = - divgradV = – D^2 V.

La integración de esta última función potencial “V” del campo vectorial “A” si es conocida la distribución ρ.

En las regiones solenoidales de “A“, donde “ρ = 0″, la ecuación:

• - D^2 V = ρ.

se reduce a la ecuación de Laplace:

• - D^2 V = 0.

En esta ocasiones se dice que el potencial es armónico.

Rotacional de un campo vectorial:

Consideremos una región del espacio en la que está definido un campo de vectores, y supongamos dentro de esa región una superficie “S” delimitada por una línea cerrada. Dividamos “S” en pequeñas superficies parciales tan pequeñas como queramos, y la circulación “C” a lo largo de la línea contorno será igual a la suma de las circulaciones interiores a lo largo de los contornos de las superficies “Si”:

• C = ∑(Ci) desde “i = 1″ hasta “n”.

Disminuyendo el tamaño de las “Si”, llegará un momento en que tengamos tan solo un punto. Por definicón, la componente del rotacional “A” (rotA) en la dirección del vector unitario “n” normal a la superficie es el límite de la integral de línea por unidad de área a medida que la unidad de área tiende a “0″:

• rotA n = ∫A dl cerrada / dS = dC / dS = A dr / dS.

, de donde:

• rotA dS n = A dl.

, originando el Teorema de Stokes:

• ∫rotA dS cerrada = ∫A dr lineal.

El flujo del rotacional a través de una superficie es igual a la circulación de “A” sobre la línea de contorno que delimita dicha superficie:

• rotA = D Λ A.

Si el rotacional de “A” es “0” en todos los puntos del espacio, el campo se dice irrotacional.

Campo conservativo:

Si deriva de un potencial a través de su gradiente, teniendo en cuenta que el rotacional del gradiente es nulo:

• rotA = 0.

Momento de un vector respecto a un eje:

Dado un vector deslizante “A” se define como el momento de ese vector respecto a un eje al escalar que reslta de proyectar el momento del vector con respecto a un punto cualquiera del eje sobre él, por lo qe solo se cumplirá si dicho eje y la recta deslizante del vector se cruzan en el espacio.

• Me = Proy M0 sobre eje = M0 u = u (r Λ A)

• Me’ = Proy M0′ sobre eje = M0′ u = u (r’ Λ A) = u [(OO' + r) Λ A] = u (OO’ Λ A) + u (r Λ A) = A (u Λ OO’) + u (r Λ A) = u (r Λ A).

Sistemas de vectores deslizantes:

Un conjunto de vectores deslizantes situados sobre sus respectivas rectas de acción constituyen el sistema de vectores deslizantes. Se obtiene como resultante general del sistema a la suma geométrica de los vectores libres equipolentes de los vectores deslizantes del sistema:

• R = ∑ (Ai) desde “i = 1″ hasta “n”.

Por otro lado, se llama momento resultante con respecto a un punto “O” a la suma geométrica de los momentos con respecto al mismo punto de cada uno de los vectores deslizantes.

• M0 = ∑ (M0i) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑ (ri Λ Ai) desde “i = 1″ hasta “n”.

Asimismo:

• Mq = M0 + QO’ Λ R.

, lo que se conoce como Teorema Fundamental del paso de momentos.

Invariables de un sistema de vectores deslizantes:

La reultante general del sistema de vectores deslizantes es una invariable vectorial.

El producto del momento por la resultante es una invariable escalar.

Producto mixto de tres vectores:

• A (B Λ C) = C (A Λ B) = B (C Λ A).

La interpretación geométrica de este producto es el volumen (V) del paralepípedo que forman los tres vectores, siendo B y C los vectores base y “n” el vector unitario de la altura:

• V = S h = (B Λ C) |A| n = A (B Λ C).

, donde:

• S = B Λ C y A n = |A| Cosσ.

, siendo σ el ángulo que forma A con la vertical. Así pues, es condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios que su producto mixto sea nulo (no tenga volumen).

Doble Producto vectorial:

• A Λ (B Λ C) = B (C Λ A) – C (A Λ B)

Momento de un vector deslizante respecto a un punto:

Dado un vector deslizante “A” y un punto “O“, llamamos momento de ese vector respecto al punto “O” a un vector definido como:

• M0 = r Λ A.

, siendo “r” el vector que une el punto O con el origen del vector deslizante.

• ¬M0 = |¬r| |¬A| Senσ = ¬d Λ ¬A

, siendo “d” la distancia perpendicular entre el punto “O” y la recta deslizante del vector. Dada esta relación, el origen del vector que se tome será independiente del resultado.

A cada punto del espacio le corresponde un momento distinto, formándose lo que se llama un campo de momentos respecto al vector “A“.

El momento del vector “A” respecto al origen de coordenadas se llama momento principal.

Si tenemos un conjunto de vectores “Ai” aplicados sobre el mismo punto “P“, el momento de vectores respecto al punto “O” vendrá dado por:

• M0 = [∑ (r Λ Ai)] desde “i = 1″ hasta “n” = r Λ [∑ Ai] desde “i = 1″ hasta “n”  = r Λ R, siendo “R” la resultante de los vectores.

Esto se conoce como Teorema de Varignon: El momento de la suma de varios vectores concurrentes es igual a la suma de los momentos componentes.

Las magnitudes físicas pueden ser: escalares, cuando quedan perfectamente definidas por un número y por unas unidades; o vectoriales, cuando además dependen de una dirección y un sentido. Magnitudes escalares son el tiempo, la energía, el espacio, la masa, la presión… y magnitudes vectoriales son la velocidad, la aceleración, la fuerza…

Las magnitudes vectoriales pueden ser, además, de tres tipos: libres cuando los vectores equipolentes (mismo módulo, dirección y sentido) de las mismas puedan estar ubicados en cualquier sitio surgiendo el mismo efecto (tensión); deslizantes cuando su libertad de posición queda restringida a una recta (velocidad en movimientos rectilíneos); o fijos cuando tienen que ejercerse desde un único punto perfectamente determinado (superficie).

Vectores unitarios son aquéllos cuyo módulo representa la unidad.

Explicamos también los tipos elementales de operaciones con vectores, cuya explicación omitiré porque ya está explicada.

Ejemplos de productos de escalares por vectores:

• Segunda ley de Newton: F = m a.
• Momento lineal o cantidad de movimiento: p = m v.
• Fuerza electrostática: Fe = q E.
• Presión: F = P S.

Ejemplos de productos escalares:

• Trabajo: W = F d.
• Flujo de los campo magnético: φ = B S.

Ejemplos de productos vectoriales:

• Momento de la fuerza: M0 = r Λ F.
• Fuerza magnética: F = q (v Λ B).
• Momento angular: L0 = r Λ p.

Hola desués de tantos días.

Como habréis podido imaginar he estado algo liadillo empezando las clases (aunque aún no he dado nada) y no he podido actualizar esto.

Lo primero que tengo que decir es que a partir de ahora en la parte de abajo de la página, dentro de las etiquetas, abriré un nuevo grupo que se llamará “asignaturas”, y ahi ya haré una nueva división.

Y ya empiezo con las primeras imresiones:

Fundamentos de Computadores:

Según le entendí, estudiaremos lenguaje computacional, secuencias y cosas de esas, y al final daremos algo de maquinas virtuales. Asimismo, haremos 15 horas de prácticas (no sé de qué, pero las haremos). Y poco más puedo decir, porque básicamente fue lo que nos contó.

Métodos Matemáticos II:

“Tened claro que no vas a llegar a ser grandes científicos ni nada de eso. Para llegar a tanto hay que chupar muchos culos”: ésta fue una de las lindezas que soltó nuestro profesor en la presentación, entre otras, “Todo esto es una mafia”, “El grado no va a serviros para nada, y el postgrado menos”, o ”vosotros venis aquí con dos problemas: el primero que n sabéis nada porque vustros profesores de bachillerato han sido unos incompetentes; y el segundo que no tenéis disciplina”.

Así se presentó, por lo que veo que las clases de álgebra prometen…

Física General:

Como persona no dijo mucho de si este profe (en sentido literal), pero, eso si, ya tenemos todo el programa perfectamente descrito. Este año estudiaremos espacios vectoriales, campos, cinemática, dinámica, fluidos, referenciales, termodinámica, electromagnetismo, algo de física nuclear y relatividad especial.

Métodos Matemáticos I:

“Si conseguís aprobar esta asignatura os podéis dar por satisfechos”, dicho por alumnos de cursos más avanzados.

“Sufriréis en Métodos I”, dicho por la decana.

“Vais a suspender muchos”, dicho por la profe.

Las perspectivas, como se puede ver, son favorables con esta asignatura, enfocada hacia el estudio de los conjuntos de números, las sucesiones y los cálculos diferencial e integral. No sé si debería tenerle miedo. Ya se verá.

Y hasta ahora eso es todo.

La llum es esencial

Pues hoy 2 de julio se dio el primer día de clases.

Comentando que llegue con las justas, me toco pasear de puerta en puerta para poder entrar (solo dejan entrar a los alumnos por una puerta especifica), una vez dentro toca buscar el salón, a ver, B404, cuarto piso, escaleras, B401, B402, B403, Eureka! B404!.

Bueno ya había empezado la clase, pedí permiso al profesor para entrar y a escuchar clase.

Primera clase: Física General

Pues como de costumbre primera clase introductoria, hablando del curso, del perfil del alumno, del ámbito laboral e incentivando a esforzarse para luego pasar a hablar del silabo del curso.

Pues hasta donde dio el tiempo explico los temas que íbamos a tratar en 2 capítulos del curso (hasta donde entraría para el parcial), y bueno, no dio mas tiempo porque el rector y las autoridades iban a dar bienvenida a los alumnos en el auditorio y nos tocaba ir a escucharlos (si lo se es molesto).

Pero bueno, llegando al auditorio, sorpresa!, estaba lleno, pues si, no se para que nos hicieron cortar las clases si ya no cabía nadie en el auditorio, en fin, a hacer hora hasta que termine el dichoso evento, paseando (no hay mucho que ver tampoco), hasta que por fin termino (yo lo que quería era saber si iban a continuar las clases), si, termino y rumbo al salón, pensé que esperaría un rato al profesor si no llegaba podría irme temprano a casa, pero no, cuando llegue al salón, no solo estaba ya el profesor ahí, sino que también había iniciado las clases a la hora que tocaba (y yo esperando abajo a que termine la bienvenida… grr).

Segunda clase: Laboratorio de Química general.

Bueno el profesor no se hizo líos y nos dejo entrar, al parecer había estado explicando el curso, y dando recomendaciones para cuando estemos en el laboratorio, dio lista de cosas que teníamos que llevar para la segunda clase, y luego seguía dando recomendaciones sobre algunos instrumentos, y cosas algo vagas, la verdad no entendí de que iba el curso, pero espero averiguarlo la siguiente clase. Sin mas nos despido y termino el primer día de clases.

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Temas de Física General.

Capitulo I
- Definición de física
- Magnitudes físicas
- Ecuaciones dimensionales
- Vectores
- Álgebra vectorial Bidimensional

Capitulo II
- Cinemática
- MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme)
- MRUV (Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado)
- Caída libre
- Movimiento Compuesto
- Movimiento circular
- MCU, MCUV