En cliquant sur l’image vous aurez la possibilité d’explorer cette fractale dans une résolution de 2048×2048 pixels.

Une rotation de 90° pour observer le dessus fait apparaître une superbe étoile à sept branches:

Il est possible de créer des fractales en trois dimensions. Le résultat est spectaculaire.

Cliquez sur l’image pour une meilleure définition.

Pour de plus amples informations sur ces objets mathématiques, je vous conseille de lire l’article paru dans le science&vie de ce mois.

L’image ci-dessus a été construite en suivant les instructions  décrites sur le site http://www.subblue.com/projects/mandelbulb.

Autre point de vue:

C’est un univers sans frontière d’une complexité organique incroyable.

Voici un zoom sur une zone au hasard:

En los últimos años han surgido significativos avances en los CPUs de tipo doméstico, las nuevas tecnologías brindan la capacidad de aumentar cada vez mas el poder de computo en nuestras aplicaciones. Uno de estos avances y tal vez uno de los mas recientes (aunque nada nuevo en equipos de alta gama), son los procesadores multi-núcleo.

El uso de los procesadores multi-núcleo supone reducir el tiempo de computo de nuestras aplicaciones, sin embargo, para poder utilizar esta tecnología, nuestros programas deben ser diseñados para utilizar este modelo de memoria compartida y contar con un compilador adecuado. Para esto, los principales fabricantes de procesadores tanto de tipo doméstico como AMD e Intel, así como fabricantes de supercomputadoras tales como Cray o Sun, crearon un nuevo estándar multi-plataforma llamado OpenMP para compiladores de C/C++ y Fortran.

OpenMP esta basado en el modelo Fork-Join donde una tarea es descompuesta en diversas tareas que serán procesadas en paralelo para después reunir sus resultados.

El uso de OpenMP supone agregar ciertas directivas en las secciones del código a ser paralelizado, sin embargo, es importante recalcar que es necesario que nuestro programa sea diseñado para que cada hilo trabaje de forma independiente.

Existen ciertas clausulas que son especificadas dentro de las directivas que anteceden a los bloques a ser paralelizados que especifican las variables que pueden ser compartidas por cada hilo, como variables privadas (Private), variables en común pero totalmente independientes entre hilos (Firstprivate, Lastprivate,..), así como también secciones dentro del código que sirven de punto de unión para los hilo del programa. El uso correcto de estas clausulas en las lineas directivas ayuda a obtener los resultados esperados en el menor tiempo posible.

El calculo de los puntos del conjunto de Mandelbrot es un buen ejemplo que puede ser fácilmente paralelizable, debido a que cada punto dentro del conjunto es completamente independiente de los demás.

En los siguientes programas se calculan el conjunto de Mandelbrot a partir del código del post anterior pero modificado para trabajar en paralelo(v2), la tercera versión (v3) genera un video avi del cálculo de los puntos utilizando Opencv.

Es posible comparar el tiempo de los programas utilizando el comando time en la terminal, así como también cambiar el programa de paralelización (schedule) dentro del código.

Programas:

http://www.mediafire.com/file/3wdrhm0wjmt/mandelbrot-v2.tar.gz

http://www.mediafire.com/file/y4dj3ztoyh4/mandelbrot-v3.tar.gz

Enlaces:

http://bisqwit.iki.fi/story/howto/openmp/

https://computing.llnl.gov/tutorials/openMP/

Como primer post y como una introducción para el siguiente, empezare brevemente con el conjunto de Mandelbrot y su representación usando el algoritmo de tiempo de fuga.

El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de puntos conexos en un plano complejo que cumplen la siguiente relación:

tal que:

donde: s representa la distancia al origen del disco de radio 2 que contiene al conjunto y n representa la n-esima iteración de P.

En la imagen se muestran diferentes secciones llamadas orbitas representadas por diferentes colores, dichas orbitas corresponden al numero de iteraciones que fueron necesarias antes de que el punto tendiera a infinito.

En la imagen se muestra el conjunto de Mandelbrot, como el conjunto de puntos de orbita 0 representado en color negro.

El programa adjunto genera una imagen en formato ppm, que es uno de los formatos mas sencillos y que mas utilizare en adelante en los siguientes programas.

Para hacer un zoom solo es cuestión de cambiar el intervalo de la región donde se iterarán los puntos y recompilar.

Programa (Linux):

http://www.mediafire.com/file/nzmtmmhgy2i/mandelbrot-v1.tar.gz

Enlaces de Interés:

http://www.physics.emory.edu/~weeks/graphics/mkppm.html

http://www.math.utah.edu/~pa/math/mandelbrot/mandelbrot.html

Quizá algunos se sorprendan por el hecho de encontrar aquí una entrevista realizada a un músico de la escena del rock mexicano. Pero como muchos de mis amigos saben, son varias las músicas que me apasionan, y el pop y el rock marcan el inicio de mi afición por las grabaciones. A Alex Otaola lo conocí gracias a nuestro mutuo gusto por la literatura de Philip K. Dick y los discos de King Crimson. Hace unas semanas sostuve con él una charla de café que se convirtió en entrevista. He aquí el texto integro que fue publicado en este mes de septiembre en Music Life Magazine.

Alex Otaola / Fuente: www.musiclife.com.mx

Por Emilio Sánchez

E. S.: Fractales es tu primer proyecto solista después de 15 años de carrera. ¿Por qué decidiste esperar para lanzar este disco?

A. O.: En realidad no he dejado de producir bocetos e ideas durante todo este tiempo. Muchas de ellas se volvieron canciones de Santa Sabina y de La Barranca, otras se fueron quedando guardadas porque estilísticamente no tenían mucho que ver con ninguno de los dos proyectos. Entre 2006 y 2007 empecé a revisar algunas de esas ideas así como varios fragmentos que grabé en 2000 durante una presentación de un libro de Jordi Soler. A partir de ese material seleccioné los fragmentos que más me gustaban y les di un orden. Me di cuenta que tenía más de 40 minutos de música y que eran suficientes para pensar en una producción solista. La intención del proyecto Fractales fue hacer un disco experimental. Siento que escribir una pieza es como resolver un problema: literalmente se trata de definir qué hacer con una melodía, una progresión de acordes, un ritmo. Se trata de clavarte y encontrar las soluciones adecuadas. Las respuestas más interesantes a los problemas que planteaban aquellas ideas son las que escogí para Fractales.

E. S.: Me recuerda mucho el proceso de escritura porque cada cuento y novela posee sus propias reglas. Gran parte del interés de escribir es descubrir aquellas reglas que sólo funcionan para un texto en particular y que lo llevan a buen término.

A. O.: Dentro del contexto de una banda o proyecto, cuando trato de definir cómo voy a resolver la parte que me corresponde tocar, no parto necesariamente de lo que ya sé hacer; dejo que los elementos me dicten por dónde ir. No busco imponerme estilísticamente a la canción sino que permito que ella se imponga a mí.

E S: Tienes inclinaciones literarias y escribes narrativa. Este interés se vio reflejado en ciertas canciones de Santa Sabina…

A. O.: Colaboré en algunas letras del grupo, pero no me considero letrista. Ser letrista es un oficio. El letrista escribe continuamente así como un dibujante está todo el tiempo dibujando. Yo trabajo más con las notas. En mi caso, escribir letras ha sido una consecuencia natural de trabajar con la melodía. Me gusta más lo instrumental porque de alguna manera las puras notas ya de por sí cuentan una historia. Cuando escuchas alguna obra de Debussy o Stravinsky es probable que descubras que posee su propia narrativa. Sin embargo, en Fractales está marcada mi relación con el cine más que con la literatura.

E. S.: Es cierto. En Fractales hay referencias al trabajo de Lang, Godard, Fellini y Christopher Nolan, por mencionar algunos cineastas. ¿Por qué recurriste al discurso cinematográfico?

A. O.: Sabía que no quería hacer un proyecto que fuera una continuación de mi trabajo con Santa Sabina y La Barranca. Con ambas bandas, a veces me encargaba de diseñar bocetos en la computadora que se traducían luego en las partes que los demás integrantes desarrollaban. Al ser Fractales un proyecto solista, tuve que detallar mucho más esos bocetos de tal forma que quedaran como en realidad iban a sonar en la grabación. Yo buscaba un concepto para el disco. Justo cuando trabajaba en Metrópolis, distinguí muy claramente en la computadora las tres partes que constituían la canción. Entonces se me ocurrió que en el segmento de en medio participara Frankie Mares, el baterista de Troker y Descartes a Kant, un músico que en ocasiones pone platillos encima de los tambores y genera un sonido más industrial. Así que lo invité para que grabara únicamente esa parte. Cuando iba de vuelta del estudio, me puse a pensar que lo que había hecho Frankie había sido una especie de cameo. Un cameo en el cine es cuando una personalidad como David Bowie aparece furtivamente en la cinta y dice a mitad de la película una línea como “el mayordomo es el asesino”. Después no lo vuelves a ver, pero la intención es que el público lo identifique. Así que entendí que ése iba a ser el sistema para grabar el disco: los invitados participarían realizando pequeños cameos, sólo fragmentos, ninguno iba a tocar una canción de principio a fin. Luego había que conectar esos cameos, mediante la edición, así como en el cine se ensamblan varias tomas que se traducen en una escena. El concepto del disco fue trasladar conceptos cinematográficos a la música.

E. S.: A partir de mirar una pieza en el monitor generaste un concepto. Esto era impensable hace 15 años. ¿Cómo ha sido tu acercamiento con las nuevas tecnologías?

A. O.: El software funciona con base en la repetición, lo que ayuda sobre todo a producir música electrónica o aquéllas que utilizan reiteradamente pequeñas unidades o células. Ahora, alguien que no tiene conocimientos musicales, pero que sabe cómo utilizar la computadora, puede producir. Pienso que, idealmente, quien produce debe tener alguna noción de cómo hacer malabares con los sonidos y el silencio para llegar a un resultado óptimo. En lo particular, yo trato de buscar los errores que genera el software y emplearlos como un instrumento en lugar de que el software me emplee a mí como un simple controlador.

E. S.: Me recuerda al Glitch, el género de la electrónica que trabaja precisamente a partir de errores generados por las máquinas…

A. O.: Precisamente voy a incluir algo en mi siguiente producción. Aún no sé bien de qué tratará. No quiero que mi próximo disco sea Fractales II. Cuando comencé a tocar carecía de muchas nociones. Entonces, al estar intentando interpretar alguna canción de los Beatles o Pink Floyd, sentía que caminaba en la oscuridad. Cuando por fin, le atinaba al acorde indicado era mágico. A medida que estudias más y entiendes mejor los patrones y relaciones entre escalas y acordes se empieza a perder esa magia. Por eso yo comencé a procesar mucho la guitarra, a ponerle tantos efectos que se volviera complicado adivinar qué va a suceder. A veces cambio la afinación para redescubrir al instrumento. Siempre trato de colocarme en un punto en el que intento hacer música como si fuera la primera vez.

E. S.: Difícil colocarse en ese punto… generalmente uno tiende a anestesiar los sentidos de tanto utilizarlos.

A. O.:Precisamente de ahí viene mi afición a Philip K. Dick.

E. S.: Hablando de K. Dick, todas las referencias en Fractales son cinematográficas con excepción de una que es literaria y hace alusión a una novela del estadounidense…

A. O.: Casi todas las canciones tienen el título de una película y hacen referencia a su estructura más que a la sonoridad. Por ejemplo, El eclipse de Antonioni es un filme en el que a la mitad aparece una segunda historia que no tiene nada que ver con la trama original y la eclipsa por un tiempo hasta que la película regresa a su narrativa original. Así que en el disco, en la estructura de la pieza dedicada a El Eclipse, busqué que sucediera algo similar: la rola sigue su desarrollo hasta que súbitamente aparece un segundo tema que la eclipsa momentáneamente. En el caso de Ubik, se trata de la única canción relacionada no a una cinta sino a una novela. La construcción de la pieza está basada en la estructura del texto de Philip K. Dick. En sus historias se difumina lo que es real de lo que no, invariablemente hay dos planos, una especie de dialéctica en la que no terminas por determinar cuál elemento es más importante. Siempre me ha interesado trasladar algo de esta narrativa a la música, a la relación que hay entre el ritmo, los acordes, la melodía… generar una ambigüedad en la que cada elemento sea el predominante en distintos momentos y no establecerlo de la misma manera siempre. Estoy seguro que en algunos años, cuando hagan una película de la novela, el ciclo se completará y todas las canciones de Fractales harán referencia al cine.

E. S.: Al hablar de geometría y rock inevitablemente pienso en un cuadrado: cuatro integrantes que tocan en ritmos 4/4…

A. O.: El rock también puede ser un paralelepípedo. La geometría fractal se refiere a formas que tienden al infinito. Piensa en un copo de nieve: si lo observas en un microscopio encontrarás que está conformado por una estrella de 6 picos y a su vez cada uno de esos 6 picos está conformado por otros 6 y así sucesivamente. Es una manera de ordenar el caos. En el caso del disco yo había decidido que cada una de las canciones iba a ser la suma de varios fragmentos, como si se tratase de un vitral construido por pequeñas unidades que al alejarte descubres conforman una totalidad. El disco se puedes entender como la suma de varios fragmentos o como una gran canción de 40 minutos.

E. S.: En los 90 sufriste la pérdida de tu padre. ¿Cómo afectó este hecho tan terrible a tu música?

A. O.: Mi padre fue diabético toda su vida; cinco años antes de morir sufrió un infarto y, finalmente, le diagnosticaron cáncer en los pulmones. Fue una persona que tuvo que cuidarse siempre. Nunca le agradó mucho la idea de que me dedicara al rock. Cuando yo le dije que quería tocar la lira, él me respondió que estaba bien, pero que iba a tener que estudiar de verdad. Fue entonces cuando me inscribió en el Estudio de Arte Guitarrístico. Contar con esa formación fue bueno para mí porque me enseñaron solfeo y técnica. Después decidí dejar la escuela porque yo quería manejar armonía en lugar de sólo interpretar música escrita en un papel. Yo acababa de entrar a Santa Sabina cuando mi padre empezó a empeorar y a perder contacto con la gente por el mismo proceso degenerativo de la enfermedad. Te dabas cuenta cómo se iba alejando del mundo. De las últimas cosas que me dijo fue: “haz lo que quieras pero quiere lo que haces”. Al fallecer él, toda la música que he hecho ha sido un intento de comunicarme, no necesariamente con él, pero sí de comunicarme.

E. S.: En 1982, Robert Fripp lanza Discipline y reinventa el sonido de King Crimson, un sonido que ha sido muy influyente para muchos músicos mexicanos. ¿Qué tanto consideras que le debes a Fripp?

A. O.: Mucho, aunque los discos que más me gustan son los tres anteriores al Discipline: Red, Starless and Bible Black y Larks’ Tongues in Aspic. Esos son los que más aprecio y a los que les debo muchísimo. Me refiero a esa manera de hacer rock que no está basado en escalas pentatónicas sino en escalas de tonos enteros, escalas disminuidas que generan una geometría que produce una especie de ciclos, pero que conserva el sabor del rock pesado. Por azares del destino, Santa Sabina tuvo la oportunidad de abrirle a King Crimson en el último concierto que hizo en el Auditorio Nacional. Ver y escuchar a Fripp en la prueba de sonido y durante el concierto es algo que nunca olvidaré.

Alex Otaola es uno de los guitarristas más respetados del rock nacional; formó parte de dos bandas consideradas de culto por los seguidores de esa escena: Santa Sabina y La Barranca. A lo largo de quince años de carrera ha colaborado como músico invitado en diversos proyectos. En 2007 lanzó su primera producción solista llamada Fractales. Recientemente, Otaola se presentó por décimo año consecutivo en el festival Vive Latino.

Pakito, nos ha dejado un interesantisimo programa realizado en Gambas2 que genera images de fractales.

Esta es su pagina web:
http://fractalia.fortunecity.com/Fractalia.html

Descripción:
J 11 es un generador de imágenes fractales para Linux escrito en Gambas 2.8

Acabo de concluir la elaboración del libro Presencia del Número de Oro -en la Naturaleza y en la obra humana-, que muy pronto ofreceré a los interesados en el tema. Es el resultado de treinta años de investigación, con logros que han sido publicados en diferentes medios, acompañados por otros que están inéditos.

La principal razón de haber escrito dicho libro es que las publicaciones sobre la materia son escasas en castellano y poco novedosas; pues, en la mayoría de los casos, limitan su contenido a la exposición de asuntos desarrollados  en libros editados en otros idiomas, especialmente en inglés. Por otra parte, aunque en páginas web, en castellano, se encuentra mejor material, las limitaciones del medio solo permiten exposiciones relativamente breves y referidas, en general, a aspectos puntuales sobre el Número de Oro y su manifestación.

Debo advertir que, de ninguna manera, pretendo que mi libro vaya a significar un tratado acabado sobre el tema. Aunque aborda, en 260 páginas, con un par de centenares de ilustraciones, una diversidad de temas, de lo que encontré en áreas significativas de la Naturaleza y en obras relevantes del ingenio humano, queda muchísimo por investigar. Sin embargo, por lo que he encontrado en tres décadas sobre lo que se conoce sobre la presencia del Número de Oro,  espero que aportaré con un conocimiento más amplio y diverso de ella.

Con ese contexto, inicio este cuaderno. Aunque estoy satisfecho con lo que daré a conocer en mi libro, el ámbito de su materia es tan amplio que nunca se lo conocerá por completo. Por eso, y como desde ahora espero seguir encontrando la manifestación de ese número maravilloso en otras áreas de la Naturaleza y de la obra humana, necesito un lugar como este para dar a conocer paulatinamente lo que vaya encontrando, especialmente sobre su presencia en cosas aisladas, que pueda motivar estudios en otros campos.

Para concluir estos apuntes, ofrezco este cuaderno a los interesados en el tema, para intercambiar conocimientos y experiencias.