En los últimos años han surgido significativos avances en los CPUs de tipo doméstico, las nuevas tecnologías brindan la capacidad de aumentar cada vez mas el poder de computo en nuestras aplicaciones. Uno de estos avances y tal vez uno de los mas recientes (aunque nada nuevo en equipos de alta gama), son los procesadores multi-núcleo.

El uso de los procesadores multi-núcleo supone reducir el tiempo de computo de nuestras aplicaciones, sin embargo, para poder utilizar esta tecnología, nuestros programas deben ser diseñados para utilizar este modelo de memoria compartida y contar con un compilador adecuado. Para esto, los principales fabricantes de procesadores tanto de tipo doméstico como AMD e Intel, así como fabricantes de supercomputadoras tales como Cray o Sun, crearon un nuevo estándar multi-plataforma llamado OpenMP para compiladores de C/C++ y Fortran.

OpenMP esta basado en el modelo Fork-Join donde una tarea es descompuesta en diversas tareas que serán procesadas en paralelo para después reunir sus resultados.

El uso de OpenMP supone agregar ciertas directivas en las secciones del código a ser paralelizado, sin embargo, es importante recalcar que es necesario que nuestro programa sea diseñado para que cada hilo trabaje de forma independiente.

Existen ciertas clausulas que son especificadas dentro de las directivas que anteceden a los bloques a ser paralelizados que especifican las variables que pueden ser compartidas por cada hilo, como variables privadas (Private), variables en común pero totalmente independientes entre hilos (Firstprivate, Lastprivate,..), así como también secciones dentro del código que sirven de punto de unión para los hilo del programa. El uso correcto de estas clausulas en las lineas directivas ayuda a obtener los resultados esperados en el menor tiempo posible.

El calculo de los puntos del conjunto de Mandelbrot es un buen ejemplo que puede ser fácilmente paralelizable, debido a que cada punto dentro del conjunto es completamente independiente de los demás.

En los siguientes programas se calculan el conjunto de Mandelbrot a partir del código del post anterior pero modificado para trabajar en paralelo(v2), la tercera versión (v3) genera un video avi del cálculo de los puntos utilizando Opencv.

Es posible comparar el tiempo de los programas utilizando el comando time en la terminal, así como también cambiar el programa de paralelización (schedule) dentro del código.

Programas:

http://www.mediafire.com/file/3wdrhm0wjmt/mandelbrot-v2.tar.gz

http://www.mediafire.com/file/y4dj3ztoyh4/mandelbrot-v3.tar.gz

Enlaces:

http://bisqwit.iki.fi/story/howto/openmp/

https://computing.llnl.gov/tutorials/openMP/

Como primer post y como una introducción para el siguiente, empezare brevemente con el conjunto de Mandelbrot y su representación usando el algoritmo de tiempo de fuga.

El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de puntos conexos en un plano complejo que cumplen la siguiente relación:

tal que:

donde: s representa la distancia al origen del disco de radio 2 que contiene al conjunto y n representa la n-esima iteración de P.

En la imagen se muestran diferentes secciones llamadas orbitas representadas por diferentes colores, dichas orbitas corresponden al numero de iteraciones que fueron necesarias antes de que el punto tendiera a infinito.

En la imagen se muestra el conjunto de Mandelbrot, como el conjunto de puntos de orbita 0 representado en color negro.

El programa adjunto genera una imagen en formato ppm, que es uno de los formatos mas sencillos y que mas utilizare en adelante en los siguientes programas.

Para hacer un zoom solo es cuestión de cambiar el intervalo de la región donde se iterarán los puntos y recompilar.

Programa (Linux):

http://www.mediafire.com/file/nzmtmmhgy2i/mandelbrot-v1.tar.gz

Enlaces de Interés:

http://www.physics.emory.edu/~weeks/graphics/mkppm.html

http://www.math.utah.edu/~pa/math/mandelbrot/mandelbrot.html

Quizá algunos se sorprendan por el hecho de encontrar aquí una entrevista realizada a un músico de la escena del rock mexicano. Pero como muchos de mis amigos saben, son varias las músicas que me apasionan, y el pop y el rock marcan el inicio de mi afición por las grabaciones. A Alex Otaola lo conocí gracias a nuestro mutuo gusto por la literatura de Philip K. Dick y los discos de King Crimson. Hace unas semanas sostuve con él una charla de café que se convirtió en entrevista. He aquí el texto integro que fue publicado en este mes de septiembre en Music Life Magazine.

Alex Otaola / Fuente: www.musiclife.com.mx

Por Emilio Sánchez

E. S.: Fractales es tu primer proyecto solista después de 15 años de carrera. ¿Por qué decidiste esperar para lanzar este disco?

A. O.: En realidad no he dejado de producir bocetos e ideas durante todo este tiempo. Muchas de ellas se volvieron canciones de Santa Sabina y de La Barranca, otras se fueron quedando guardadas porque estilísticamente no tenían mucho que ver con ninguno de los dos proyectos. Entre 2006 y 2007 empecé a revisar algunas de esas ideas así como varios fragmentos que grabé en 2000 durante una presentación de un libro de Jordi Soler. A partir de ese material seleccioné los fragmentos que más me gustaban y les di un orden. Me di cuenta que tenía más de 40 minutos de música y que eran suficientes para pensar en una producción solista. La intención del proyecto Fractales fue hacer un disco experimental. Siento que escribir una pieza es como resolver un problema: literalmente se trata de definir qué hacer con una melodía, una progresión de acordes, un ritmo. Se trata de clavarte y encontrar las soluciones adecuadas. Las respuestas más interesantes a los problemas que planteaban aquellas ideas son las que escogí para Fractales.

E. S.: Me recuerda mucho el proceso de escritura porque cada cuento y novela posee sus propias reglas. Gran parte del interés de escribir es descubrir aquellas reglas que sólo funcionan para un texto en particular y que lo llevan a buen término.

A. O.: Dentro del contexto de una banda o proyecto, cuando trato de definir cómo voy a resolver la parte que me corresponde tocar, no parto necesariamente de lo que ya sé hacer; dejo que los elementos me dicten por dónde ir. No busco imponerme estilísticamente a la canción sino que permito que ella se imponga a mí.

E S: Tienes inclinaciones literarias y escribes narrativa. Este interés se vio reflejado en ciertas canciones de Santa Sabina…

A. O.: Colaboré en algunas letras del grupo, pero no me considero letrista. Ser letrista es un oficio. El letrista escribe continuamente así como un dibujante está todo el tiempo dibujando. Yo trabajo más con las notas. En mi caso, escribir letras ha sido una consecuencia natural de trabajar con la melodía. Me gusta más lo instrumental porque de alguna manera las puras notas ya de por sí cuentan una historia. Cuando escuchas alguna obra de Debussy o Stravinsky es probable que descubras que posee su propia narrativa. Sin embargo, en Fractales está marcada mi relación con el cine más que con la literatura.

E. S.: Es cierto. En Fractales hay referencias al trabajo de Lang, Godard, Fellini y Christopher Nolan, por mencionar algunos cineastas. ¿Por qué recurriste al discurso cinematográfico?

A. O.: Sabía que no quería hacer un proyecto que fuera una continuación de mi trabajo con Santa Sabina y La Barranca. Con ambas bandas, a veces me encargaba de diseñar bocetos en la computadora que se traducían luego en las partes que los demás integrantes desarrollaban. Al ser Fractales un proyecto solista, tuve que detallar mucho más esos bocetos de tal forma que quedaran como en realidad iban a sonar en la grabación. Yo buscaba un concepto para el disco. Justo cuando trabajaba en Metrópolis, distinguí muy claramente en la computadora las tres partes que constituían la canción. Entonces se me ocurrió que en el segmento de en medio participara Frankie Mares, el baterista de Troker y Descartes a Kant, un músico que en ocasiones pone platillos encima de los tambores y genera un sonido más industrial. Así que lo invité para que grabara únicamente esa parte. Cuando iba de vuelta del estudio, me puse a pensar que lo que había hecho Frankie había sido una especie de cameo. Un cameo en el cine es cuando una personalidad como David Bowie aparece furtivamente en la cinta y dice a mitad de la película una línea como “el mayordomo es el asesino”. Después no lo vuelves a ver, pero la intención es que el público lo identifique. Así que entendí que ése iba a ser el sistema para grabar el disco: los invitados participarían realizando pequeños cameos, sólo fragmentos, ninguno iba a tocar una canción de principio a fin. Luego había que conectar esos cameos, mediante la edición, así como en el cine se ensamblan varias tomas que se traducen en una escena. El concepto del disco fue trasladar conceptos cinematográficos a la música.

E. S.: A partir de mirar una pieza en el monitor generaste un concepto. Esto era impensable hace 15 años. ¿Cómo ha sido tu acercamiento con las nuevas tecnologías?

A. O.: El software funciona con base en la repetición, lo que ayuda sobre todo a producir música electrónica o aquéllas que utilizan reiteradamente pequeñas unidades o células. Ahora, alguien que no tiene conocimientos musicales, pero que sabe cómo utilizar la computadora, puede producir. Pienso que, idealmente, quien produce debe tener alguna noción de cómo hacer malabares con los sonidos y el silencio para llegar a un resultado óptimo. En lo particular, yo trato de buscar los errores que genera el software y emplearlos como un instrumento en lugar de que el software me emplee a mí como un simple controlador.

E. S.: Me recuerda al Glitch, el género de la electrónica que trabaja precisamente a partir de errores generados por las máquinas…

A. O.: Precisamente voy a incluir algo en mi siguiente producción. Aún no sé bien de qué tratará. No quiero que mi próximo disco sea Fractales II. Cuando comencé a tocar carecía de muchas nociones. Entonces, al estar intentando interpretar alguna canción de los Beatles o Pink Floyd, sentía que caminaba en la oscuridad. Cuando por fin, le atinaba al acorde indicado era mágico. A medida que estudias más y entiendes mejor los patrones y relaciones entre escalas y acordes se empieza a perder esa magia. Por eso yo comencé a procesar mucho la guitarra, a ponerle tantos efectos que se volviera complicado adivinar qué va a suceder. A veces cambio la afinación para redescubrir al instrumento. Siempre trato de colocarme en un punto en el que intento hacer música como si fuera la primera vez.

E. S.: Difícil colocarse en ese punto… generalmente uno tiende a anestesiar los sentidos de tanto utilizarlos.

A. O.:Precisamente de ahí viene mi afición a Philip K. Dick.

E. S.: Hablando de K. Dick, todas las referencias en Fractales son cinematográficas con excepción de una que es literaria y hace alusión a una novela del estadounidense…

A. O.: Casi todas las canciones tienen el título de una película y hacen referencia a su estructura más que a la sonoridad. Por ejemplo, El eclipse de Antonioni es un filme en el que a la mitad aparece una segunda historia que no tiene nada que ver con la trama original y la eclipsa por un tiempo hasta que la película regresa a su narrativa original. Así que en el disco, en la estructura de la pieza dedicada a El Eclipse, busqué que sucediera algo similar: la rola sigue su desarrollo hasta que súbitamente aparece un segundo tema que la eclipsa momentáneamente. En el caso de Ubik, se trata de la única canción relacionada no a una cinta sino a una novela. La construcción de la pieza está basada en la estructura del texto de Philip K. Dick. En sus historias se difumina lo que es real de lo que no, invariablemente hay dos planos, una especie de dialéctica en la que no terminas por determinar cuál elemento es más importante. Siempre me ha interesado trasladar algo de esta narrativa a la música, a la relación que hay entre el ritmo, los acordes, la melodía… generar una ambigüedad en la que cada elemento sea el predominante en distintos momentos y no establecerlo de la misma manera siempre. Estoy seguro que en algunos años, cuando hagan una película de la novela, el ciclo se completará y todas las canciones de Fractales harán referencia al cine.

E. S.: Al hablar de geometría y rock inevitablemente pienso en un cuadrado: cuatro integrantes que tocan en ritmos 4/4…

A. O.: El rock también puede ser un paralelepípedo. La geometría fractal se refiere a formas que tienden al infinito. Piensa en un copo de nieve: si lo observas en un microscopio encontrarás que está conformado por una estrella de 6 picos y a su vez cada uno de esos 6 picos está conformado por otros 6 y así sucesivamente. Es una manera de ordenar el caos. En el caso del disco yo había decidido que cada una de las canciones iba a ser la suma de varios fragmentos, como si se tratase de un vitral construido por pequeñas unidades que al alejarte descubres conforman una totalidad. El disco se puedes entender como la suma de varios fragmentos o como una gran canción de 40 minutos.

E. S.: En los 90 sufriste la pérdida de tu padre. ¿Cómo afectó este hecho tan terrible a tu música?

A. O.: Mi padre fue diabético toda su vida; cinco años antes de morir sufrió un infarto y, finalmente, le diagnosticaron cáncer en los pulmones. Fue una persona que tuvo que cuidarse siempre. Nunca le agradó mucho la idea de que me dedicara al rock. Cuando yo le dije que quería tocar la lira, él me respondió que estaba bien, pero que iba a tener que estudiar de verdad. Fue entonces cuando me inscribió en el Estudio de Arte Guitarrístico. Contar con esa formación fue bueno para mí porque me enseñaron solfeo y técnica. Después decidí dejar la escuela porque yo quería manejar armonía en lugar de sólo interpretar música escrita en un papel. Yo acababa de entrar a Santa Sabina cuando mi padre empezó a empeorar y a perder contacto con la gente por el mismo proceso degenerativo de la enfermedad. Te dabas cuenta cómo se iba alejando del mundo. De las últimas cosas que me dijo fue: “haz lo que quieras pero quiere lo que haces”. Al fallecer él, toda la música que he hecho ha sido un intento de comunicarme, no necesariamente con él, pero sí de comunicarme.

E. S.: En 1982, Robert Fripp lanza Discipline y reinventa el sonido de King Crimson, un sonido que ha sido muy influyente para muchos músicos mexicanos. ¿Qué tanto consideras que le debes a Fripp?

A. O.: Mucho, aunque los discos que más me gustan son los tres anteriores al Discipline: Red, Starless and Bible Black y Larks’ Tongues in Aspic. Esos son los que más aprecio y a los que les debo muchísimo. Me refiero a esa manera de hacer rock que no está basado en escalas pentatónicas sino en escalas de tonos enteros, escalas disminuidas que generan una geometría que produce una especie de ciclos, pero que conserva el sabor del rock pesado. Por azares del destino, Santa Sabina tuvo la oportunidad de abrirle a King Crimson en el último concierto que hizo en el Auditorio Nacional. Ver y escuchar a Fripp en la prueba de sonido y durante el concierto es algo que nunca olvidaré.

Alex Otaola es uno de los guitarristas más respetados del rock nacional; formó parte de dos bandas consideradas de culto por los seguidores de esa escena: Santa Sabina y La Barranca. A lo largo de quince años de carrera ha colaborado como músico invitado en diversos proyectos. En 2007 lanzó su primera producción solista llamada Fractales. Recientemente, Otaola se presentó por décimo año consecutivo en el festival Vive Latino.

Pakito, nos ha dejado un interesantisimo programa realizado en Gambas2 que genera images de fractales.

Esta es su pagina web:
http://fractalia.fortunecity.com/Fractalia.html

Descripción:
J 11 es un generador de imágenes fractales para Linux escrito en Gambas 2.8

Acabo de concluir la elaboración del libro Presencia del Número de Oro -en la Naturaleza y en la obra humana-, que muy pronto ofreceré a los interesados en el tema. Es el resultado de treinta años de investigación, con logros que han sido publicados en diferentes medios, acompañados por otros que están inéditos.

La principal razón de haber escrito dicho libro es que las publicaciones sobre la materia son escasas en castellano y poco novedosas; pues, en la mayoría de los casos, limitan su contenido a la exposición de asuntos desarrollados  en libros editados en otros idiomas, especialmente en inglés. Por otra parte, aunque en páginas web, en castellano, se encuentra mejor material, las limitaciones del medio solo permiten exposiciones relativamente breves y referidas, en general, a aspectos puntuales sobre el Número de Oro y su manifestación.

Debo advertir que, de ninguna manera, pretendo que mi libro vaya a significar un tratado acabado sobre el tema. Aunque aborda, en 260 páginas, con un par de centenares de ilustraciones, una diversidad de temas, de lo que encontré en áreas significativas de la Naturaleza y en obras relevantes del ingenio humano, queda muchísimo por investigar. Sin embargo, por lo que he encontrado en tres décadas sobre lo que se conoce sobre la presencia del Número de Oro,  espero que aportaré con un conocimiento más amplio y diverso de ella.

Con ese contexto, inicio este cuaderno. Aunque estoy satisfecho con lo que daré a conocer en mi libro, el ámbito de su materia es tan amplio que nunca se lo conocerá por completo. Por eso, y como desde ahora espero seguir encontrando la manifestación de ese número maravilloso en otras áreas de la Naturaleza y de la obra humana, necesito un lugar como este para dar a conocer paulatinamente lo que vaya encontrando, especialmente sobre su presencia en cosas aisladas, que pueda motivar estudios en otros campos.

Para concluir estos apuntes, ofrezco este cuaderno a los interesados en el tema, para intercambiar conocimientos y experiencias.

Tanto el triángulo de Sierpinski como el triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi son bastante conocidos para cualquiera que haya visitado con deleite el mundo de las matemáticas. Quizá no sea tan conocido el nexo que une el primero con los otros dos. Eso es lo que intentaré mostrar en este post.

El triángulo de Sierpinski es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá. En la imagen puedes observar las primeras seis iteraciones:

Este triángulo, como todos los fractales, tiene curiosas características. Sólo nos vamos a detener en el área, porque la vamos a necesitar para más tarde. Aunque en un primer momento parezca que no, es relativamente fácil calcularla sin más que fijarnos en lo que ocurre en las primeras etapas de la construcción y generalizar. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Después de la primera etapa hemos eliminado un triángulo con área ¼, así, nos quedamos con ¾. En la segunda etapa, nos quedamos con 9 triángulos de los doce que quedan (¾), es decir, el área es ahora de ¾ x ¾. Observando un poco podemos generalizar sin problema y llegar a la conclusión de que en la etapa n tendremos un área de (3/4)ⁿ y, por lo tanto, cuando n tiende a infinito, el área tiende a cero.

Pero, de la misma forma que pasa con cualquier espécimen, el mundo (en este caso el matemático) sería bastante aburrido si sólo existieran triángulos de Sierpinski, de ahí que haya surgido una generalización de ese triángulo. ¿Cómo? Sólo tenemos que dividir cada lado del triángulo inicial en k partes iguales y luego trazar paralelas a los lados para formar triángulos equiláteros del mismo tamaño. Luego eliminamos los triángulos que tienen un vértice mirando hacia abajo (para entendernos). Repetimos el mismo proceso con cada triángulo que nos ha quedado, y así una y otra vez. En el dibujo se muestra el triángulo obtenido en la segunda etapa con k = 5.

Ya estamos en condiciones de asomar la cabeza por el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi.

Sierpinski y Pascal

Primero, para el que no lo conozca, haré una breve descripción del Triángulo de Pascal. Es éste una disposición triángular (como no podía ser de otro modo) de números, cuyos lados derecho e izquierdo son todos números 1 y donde cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores, como se muestra en el dibujo.

El Triángulo de Pascal tiene muchísimas propiedades interesantes (pero eso para otro post). Para lo que ahora tenemos entre manos sólo nos interesa reconocer qué números son pares y cuáles impares. Para ello ni siquiera es necesario saber qué números tenemos que colocar en cada casilla. Basta con saber que la suma de dos números impares o dos números pares siempre da un número par y que la suma de un número impar con uno par (y al revés, lógicamente) es siempre impar. Así, podemos pintar los números pares de nuestro triángulo de color blanco y los impares de negro. Entonces comenzamos pintando los laterales (que sabemos que valen 1) de negro. Luego sólo tenemos que colorear con cuidado de no equivocarnos (y si somos niños pequeños de no salirnos). El resultado es el siguiente (desde luego, esto sólo es una parte del triángulo, que se supone que puede tener infinitas filas):

Se parece al ya conocido triángulo de Sierpinski, ¿no? Si quieres que el parecido sea mayor sólo tienes que tirar a la basura la distribución triangular estándar del Triángulo de Pascal y cambiarla por un triángulo equilátero diseccionado en múltiples triángulos equiláteros de igual tamaño (como hacíamos para la generalización del triángulo de Sierpinski). Luego  sólo tenemos en cuenta los triángulos que están “boca arriba”, es decir, solamente esos triángulos se corresponderán con las casillas del Triángulo de Pascal convencional; a los otros los ignoramos. Prueba a pintar ahora y dime si no te parecen gemelos gemelos (clones, diría yo).

Mas… ¿más? Sí, hay más. No creas que lo que te comenté antes del Triángulo de Sierpinski era sólo porque me apetecía. La ventaja del parecido de los dos triángulos es que nos permite transformar un problema difícil de resolver en el mundo de Pascal en uno más sencillo en el de Sierpinski… Por todos es sabido que si escogemos un número natural al azar, la probabilidad de que sea par (o impar, si lo prefieres) es de ½. Puede parecerle a nuestra intuición que lo mismo sucede en un Triángulo “pascaliano”, pero ahí está nuestra parte más racional para pararle las alas. Cogemos de nuevo nuestro triángulo blanco-negreado y nos percatamos de que la parte blanca se corresponde con los números pares y con los triángulos que vamos quitando del “Triángulo Sierpinskiano” y la parte negra… (dejo al lector que complete la oración).  Así, la probabilidad de obtener al azar un número impar se corresponde más o menos con el área del Triángulo de Sierpinski, que ya vimos más arriba (esto será más fiable cuanto más filas cojamos del Triángulo de Pascal, es decir, cuanto más filas cojamos, más cerca estaremos de la probabilidad cero de obtener un número impar).

Aún nos queda otra idea curiosa, aunque aquí nos tenemos que meter en otro paraje matemático: la aritmética modular… No, no te preocupes, no voy a hablar con tecnicismos… Hemos coloreado el Triángulo de Pascal atendiendo a los números pares e impares o, lo que es lo mismo, atendiendo a si el número deja resto 0 ó 1 al dividirlo entre dos (lógicamente, estos son los dos únicos restos posibles). Pues bien, ¿por qué no generalizar? Por ejemplo, podemos pintar, al igual que antes, de blanco cada casilla cuyo número deje resto 0 al dividirlo por 3 (donde pongo 3, pongamos también k) y de negro el resto de los restos. ¿Qué ocurre ahora? Sí, lo has adivinado, obtenemos unos triángulos bastante parecidos a los triángulos generalizados del Triángulo de Sierpinski, sobre todo cuando k es un número primo. ¡Y no sólo eso! ¡Las “ks” se corresponden, es decir, un Triángulo fractal generalizado k (con k divisiones iguales del lado) se parece mucho al Triángulo de Pascal coloreado para un k determinado.

Y ahora sólo queda que tú te pongas en acción y empieces a buscar variantes, por ejemplo:

• Modificando la regla para colorear: colorear de negro solamente las casillas que dejan resto 1. Colorear cada resto de un color diferente…

• Modificar el Triángulo de Pascal: construir un “Triángulo de Pascal” en el que cada número sea la diferencia de los dos de arriba o la suma del de la izquierda y del doble del de la derecha…

Sierpinski y Hanoi

La Torre de Hanoi es un juego inventado por Édouard Lucas. Si aún no lo conoces te recomiendo que visites esta página, en la que también podrás encontrar varios algoritmos de resolución y el enlace a simuladores disponibles en Internet. Me gustaría citar aquí de esa misma página la leyenda que este juego trae consigo (leyenda también inventada por Lucas):

Según una leyenda india, en el Templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso sesenta y cuatro discos de oro puro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los bramanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño. Cuando hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja su trabajo estará terminado, y la torre y el templo se derrumbarán, y con un gran trueno, el mundo se desvanecerá. 

Puede parecer que esta tarea no requeriría mucho tiempo, sin embargo, unos pocos cálculos (que no vamos a hacer aquí, pero que puedes visitar en la página ya varias veces mencionada) nos llevan a la conclusión de que para una Torre de n discos se necesitan, al menos, 2ⁿ -1 movimientos, lo que en el caso de 64 discos se convierte en:

[...] 18.446.744.073.709.551.615. Si los bramanes de Benarés cambiaran un disco de sitio cada segundo necesitarían más de quinientos ochenta mil millones de años para terminar su tarea, unas cuarenta veces la edad del Universo.

El lector observador se habrá dado cuenta de que “al menos” lo he puesto con negrita. Esto se debe a que ese es el número mínimo de movimientos pero, ¿quién dice que no podamos hacer más movimientos? Es más, cabe preguntarse, ¿habrá alguna manera de conseguir pasar del estado inicial al final pasando por todos los estados intermedios y sin repetir ninguno? Sí, sí que la hay, pero para hallarla vamos a necesitar crear un grafo que llamaremos grafo de Hanoi. Los vértices de este grafo lo forman los estados (por si no queda claro, un estado es una disposición válida de los diferentes discos en la Torre) y los lados unen aquellos estados que estén separados por un único movimiento. Cada estado queda definido por el poste en el que está cada disco, llamando a los discos 1, 2 y 3 empezando de izquierda a derecha y formando un número de n cifras (donde n se refiere al número de discos que hay) de tal manera que las unidades indican el poste donde se encuentra el disco más pequeño, las decenas el disco que le sigue en tamaño al pequeño… y así sucesivamente. Por ejemplo, para una Torre de Hanoi de tres discos, el número 221 indica que tanto el disco grande como el mediano se encuentran en el poste 2 (hay que fijarse que sólo hay una manera de colocarlos, porque el disco grande no puede ir encima del mediano) y el disco pequeño en el poste 1. No hay ningún disco en el poste 3. Además, esta notación nos permite calcular fácilmente el número de estados posibles, que es siempre de 3ⁿ (dejo al lector la tarea de ver por qué).

Bien, pues echa una ojeada a la figura de abajo para fijarte en la relación del grafo de Hanoi de orden 2 (representado en naranja) con el Triángulo de Sierpinski.

Lo bueno es que cada grafo de Hanoi de orden n se puede representar a través de tres grafos de Hanoi de orden n-1 conectados por tres líneas correspondientes a movimientos del disco más grande. Es eso precisamente lo que le da esa apariencia sierpinskiana. Así, los grafos de orden 3 (los dos primeros) y de orden 4 (el último) quedarían:

Pero no hemos respondido aún a la pregunta de qué movimientos hay que realizar para pasar por todos los estados. Invito al lector a que lo intente con los grafos que ya se han mostrado, es decir, tiene que crear un camino que pase por todos los vértices sin repetir ninguno. Luego puede buscar en esta página el grafo de orden 5 siguiente y pasar el cursor por encima para descubrir en morado el camino para dicho grafo.

Al lector todo esto le puede parecer meras curiosidades, sin embargo, esta sintonía existente entre el grafo de Hanoi y el Triángulo de Sierpinski ha ayudado a descubrir una característica de este último (al igual que antes ocurrió entre los dos triángulos, el de Sierpinski y el de Pascal): se trata del cálculo de la distancia promedio entre dos puntos cualesquiera del Triángulo cuyo lado mide 1, y que es de 466/885. No vamos a ver aquí cómo. Para una explicación algo más detallada te remito a este magnífico documento en formato pdf (página 7).

Y, para terminar, me gustaría decir que todo esto es una pequeña muestra de las relaciones insospechadas que muchas veces nos podemos encontrar dentro del paisaje matemático. Para mí es una de las razones de que los paseos por este paisaje me resulten tan gratos. Ya está. Para más información sobre todo esto te remito a las referencias que aparecen aquí debajo.

• Sierpinski y Pascal

BERNAL, O.: La conexión Sierpinski [pdf]

MORENO, J. C. (2003): Triángulos y tetraedros fractales [pdf]. Suma, nº 44, 13-24. 

 STEWART, I. (2007): Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática. RBA. Biblioteca Desafíos Matemáticos.

• Sierpinski y Hanoi

BERNAL, O.: La conexión Sierpinski [pdf]

VALEIRAS, R.: La Torre de Hanoi y La Torre de Hanoi (continuación)

VALEIRAS, R; SANTOS, J (2006): Orden en el Caos. Almuzara.

Fuentes de las imágenes:

 1.- http://topologia.wordpress.com/2008/12/19/el-conjunto-de-cantor-y-el-triangulo-de-sierpinski/

2.- http://www.revistasuma.es/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=64&Itemid=33&mode=view

3.-http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html

4.- http://www.revistasuma.es/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=64&Itemid=33&mode=view

5.- http://ciencias.uniandes.edu.co/pdf/siespinski.pdf

6.- http://blog.tuwebdecursos.es/2008/02/20/ingenijuego-torres-de-hanoi/

7.- http://ciencias.uniandes.edu.co/pdf/siespinski.pdf

8.- http://ciencias.uniandes.edu.co/pdf/siespinski.pdf

9.- http://www.rodoval.com/heureka/hanoi/hanoi2.html