Via Blog do DeRose

En este video, Carl Sagan explica la cuarta dimensión usando la idea de Edwin Abbott sobre Flatland (una novela que fue traducida al castellano como Planilandia).

Recuerdo ver la serie Cosmos cuando era chica, sentada con mi papá. Era un momento de mucha atención, emoción, cariño y temas profundos, explicados de una forma bien comprensible.Si yo me perdía algo, seguro mi papá me explicaba con mucha paciencia de qué se trataba.

Aún hoy hay en la biblioteca de la casa de mis padres un libro grande, de tapa dura, que explica los principales conceptos de esta serie. Creo que, viéndolo en perspectiva, la manera de Sagan de compartir los conocimientos cambió la vida de mucha gente, entre los cuales me incluyo.

Dimensão é relaviamente simples de se explicar. Na Matemática, ela é aplicada na estatística, e tem a ver com a noção de grau de liberdade, significa o grau de uma potência ou de uma equação algébrica. Mas podemos pensar, em dimensões, como os planos usados na geometria. E nos levará as primeiras dimensões da Física. Mas para a Física, dimensão é mais que isso. Em resumo, é uma noção relacionada com o modo como uma unidade pode ser decomposta em outras, independentemente do sistema de unidades empregado. “Dimensão é o número de vetores linearmente independentes necessárias para se descrever o espaço que se está modelando.” Wikipédia.

Explicando as dimensões geométricas, podemos começar com um ponto. Um ponto não tem dimensões, possui dimensão zero. Porque, assim como o número zero, o ponto multiplicado por qualquer número vai dar sempre zero. Não é possível aumentar ou diminuir está dimensão, o ponto ou o zero. Então o ponto é um espaço dimensão zero.

Arrastando esse ponto até um outro ponto, teremos uma linha reta. Esta é a definição de reta e é também uma dimensão. Podemos dar o nome de comprimento à medida do segmento de reta. Uma reta é infinitamente fina, sendo possível medir apenas uma dimensão. Um segmento de reta é parte de um espaço de uma dimensão, um reta infinita.

Agora elevando essa reta, teremos o plano, um plano com largura e altura, mas como a reta, infinitamente fino. Ele é parte de um espaço de duas dimensões, um plano infinito. Nesse plano, sem espessura, é onde se passa a história de PLANOLÂNDIA: UM ROMANCE DE MUITAS DIMENSÕES, de Edwin A. Abbott. Um inglês da metade do século XIX que escreveu um romance que apresenta uma apurada mescla de matemática, humor e crítica social.

Este romance dimensional explica muito bem as dimensões quando uma esfera atinge o plano. Como um ser bidimensional veria um ser tridimensional? Os diálogos da esfera (3D) com o quadrado (2D) evidenciam a atualidade de Planolândia ao empregarem o método da analogia, atualmente usado por matemáticos e físicos para descrever figuras quadridimensionais, como o hipercubo.

Chegamos em nossa dimensão, pegue aquele plano e estique-o para obter profundidade. Temos agora um cubo, de três dimensões, com espessura. Este cubo pertence ao plano tridimensional de espaço infinito. Seria a esfera do romance. Essa visão tridimensional é uma visão clássica e vem desde a Grécia, com vários geometras. Mas foi a identificação da geometria de Euclides como sendo a única geometria do mundo, acabou constituindo problema ao desenvolvimento da geometria moderna. Imaginar a existência de um outro tipo de geometria seria não só uma atitude fútil como herética. Felizmente a geometria se desenvolveu criando às chamadas geometrias não-euclidianas. E assim a geometria passa a ser mais que nossa realidade e passa explicar melhor a nossa realizada.

A quarta dimensão seria o tal do hipercubo que seria um análogo n-dimensional do cubo, do quadrado. Aqui, na geométricas, a viagem não tem fim. Pedemos continuar criando várias dimensões. Criar analogias e mostrar várias possibilidades, como ficar invisível para uma dimensão menor.

Não vou continuar por esse lado, apesar de ser muito interessante, porque as novas dimensões espaciais que irão surgir são cada vez mais complexas. Para entender melhor, todo hipercubo é fechado, compacto e convexto, cujo esqueleto é formado por grupos de segmentos paralelos alinhados em cada dimensão do espaço, formando ângulos retos com os outros segmentos de mesmo tamanho. Quem quiser saber mais sobre hipecubo, veja aqui: Construindo um hipercubo.

Veja a projeção em três dimensões de um hipercubo realizando uma rotação.

Voltando ao espaço tridimensional, pois somos seres tridimensionais, ou pelo menos pensamos ser. Existem vertentes que explicam que nosso universo pode ser bidimensional, ou que podemos reduzir nosso universo a um espaço bidimensional. Um gigantesco holograma. Na verdade, essa ideia de um universo holográfico foi sugerida ainda nos anos 1990, por Leonard Susskind e Gerardus’t Hooft. O que siginifica que uma vez que toda a informação tridimensional de um objeto poderia estar registrada em uma espécie de holograma de duas dimensões. Estendendo esse princípio para todo o Universo. Desta forma, toda a informação contida no Universo, inclusive os raciocínios, estariam codificadas bidimensionalmente na esfera imaginária que circunda nosso Universo. Para saber mais sobre os experimentos nessa área veja sobre GEO600 – matéria em inglês.

Albert Einstein, em 1905, propos a teoria da relatividade especial. Na visão relativista, o velho espaço de três dimensões tem de ser substituído por um novo espaço-tempo, de quatro dimensões. A quarta dimensão física seria o tempo. E um passo importante para se descobrir novas dimensões, foi a evolução dessa teoria. E a gravitação entre os corpos deixou de ser vista como uma força física para ser considerada uma propriedade geométrica do espaço-tempo. O objeto de Einstein era a teoria unificada das interações da física, uma proposta para tentar unificar as forças fundamentais da gravitação e eletromagnetismo, foi a teoria Kaluza-Klein. Tornando o campo eletromagnético, à semelhança do campo gravitacional, também é geometrizável, mas em uma outra dimensão – a quinta dimensão.

Para tentar explicar porque não vemos essa quinta dimensão, Paul Wesson sugeriu que a quinta dimensão é a responsável pela existência da matéria. Um modelo cosmológico um pouco diferente, aonde matéria seria, em última instância, meramente geometria, a qual se manifesta como substância quando observada por seres que vivem numa hipersuperficie de quatro dimensões.

Existem outras propostas de dimensões compactas que são minúsculas e se curvam sobre si mesmas. Stephen Hawking declara abertamente sua crença num universo de várias dimensões extras. Essas dimensões tentam explicar a Teoria das cordas. Aonde os físicos afirmam que o nosso universo possui 11 dimensões: 3 espaciais (altura, largura e comprimento), 1 temporal (tempo) e 7 dimensões recurvadas (sendo a estas atribuídas outras propriedades como massa e carga elétrica, por exemplo), o que explicaria as características das forças fundamentais da natureza.

Uma dimensão ou várias dimensões podem nos mostrar até onde nosso pensamento pode nos levar. Infinitas dimensões, infinitos universos – Infinito e Multiverso.

WOW. Hace MESES que tengo esto en el borrador. Soy un alto colgado!

La verdad es esta: estaba dispuesto a hacer un “cuento” con esto y hacer un relato de un padre explicandole lo que es un Hipercubo a su nena. El tema es: como no soy padre no puedo dar buenas explicaciones como estas (y si bien podría tomar de algunas que mi padre me dió a mi, meh, parece como si tuviera un corto de inspiración (aunque ahora quizás esté a full con la fotografía)

Este es un ejemplo

No podía dejar este espacio sin un chivo

Otro ejemplo. Pero creeme, a veces hago mejor fotografía

Bueno. No hace mucho descubrí la magia de dibujar hipercubos, Pero no cualquier hipercubo, solo el de 4 dimensiones (que ya es mucho para mi limitada materia gris).

Además de la descripción de Wikipedia, que mejor que aprender algo de un grande, Carl Sagan, y de una gran “serie de televisión”, Cosmos.

Dando vueltas en YouTube, encontré uno de los episodios (que recuerdo haber visto en VHS cuando estaba en la primaria) que habla, entre otras cosas, de la 4 Dimensión, y como siempre, explicada de una manera tan… hermosa, que te captura. Si. la Matemática es hermosa. Por donde la mires.

(Si podés, mirá los videos que dejo acá, Tienen subtítulos cargados, así que doblemente mejor!)

Nota: Para poner Subtítulos, cargar el video (darle play y esperar que se carge en el buffer) y hacer click sobre el botón que está a la derecha del botón de “Pantalla completa” (el boton de pantalla completa está a la derecha del parlantito). deslizar el mouse sobre la opción que está en el medio de las 3 que se habilitan (si hacemos click ahi vas a deshabilitar los subtítulos. Si pasas el mouse por arriba  se te va a abrir un menú con los idiomas disponibles. Cuando se habra este menú le das click y listo)

Ahora, esta si es una linda forma de aprender lo que es un teseracto.

Se entiende? en Wikipedia hay imágenes más lindas

Ok, ahí tuviste una explicación más o menos fácil de como dibujar a traves de un punto.

Estaba a punto de hacer una demostración de como dibujarlo BIEN, pero me acabo de dar cuenta que me quedan 4 hojas de mi cuaderno cuadriculado y tengo que hacer ejercicios de álgebra para mañana.

Así que por ahora, arruino la fiesta y les mando el video en Youtube con el que aprendí.

La simpleza con la que se hace, muestra una y otra y otra vez, que las matemáticas son hermosas. Por donde se las mire.

(Y si miran un gráfico lleno de rectas tangentes formando una circunferencia se mueren de ternura.)

Por cierto, ya que estamos. ¿Sabías que algunos de los libros de Adrián Paenza están para poder leer gratis? (siempre y cuando sean para uso personal.)

Te paso los enlaces (que están en la página de Wikipedia):

• Matemática… ¿Estás Ahí?
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 2
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 3.14
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 100

A leer!…  Y a pensar

En el caso de que la solución se base en cuadros de mando principalmente, querrá decir por regla general, que el tipo de usuario es de un perfil alto dentro de la organización, es decir, alta dirección, mando intermedio, etc… que requiera de un vistazo rápido mirar la evolución o el estado de una serie de indicadores.

Para el desarrollo de estos cuadros de mando es necesario que el usuario o usuarios que lo definan tengan claro qué objetivos de su organización o departamento quieren monitorizar y cuáles serán los indicadores que permitirán realizar el seguimiento de cada uno de esos objetivos. En esta tarea el analista tiene mucho que decir, ya que aunque el usuario tenga claro qué es lo que quiere, no siempre es fácil expresarlo, por lo que el analista, con su experiencia debe ayudar al usuario para que éste le suministre toda la información que necesita.

Para el desarrollo de cuadros de mando y otras soluciones complementarias como análisis OLAP (On-Line Analytical Processing), la mejor solución es la implementación de cubos (implementación de modelos de datos en estrella o copo de nieve), ya que lo que se requiere, por regla general en este tipo de sistemas es el trabajo con información agregada que pueda ser vista desde diferentes puntos de vista (dimensiones).

Como comenté en la primera entrada de esta serie, mi recomendación es que no utilicemos una solución excesivamente potente (que además suele ser cara) para dar solución a las necesidades de la empresa en materia de Business Intelligence, a no ser que desde el primer momento se detecte que se van a trabajar con centenas de millones de registros, en cuyo caso hay que optar por soluciones más potentes.

Podría valer con que si utilizamos Oracle (cuando digo Oracle, podría valer cualquier solución libre) como sistema de gestión de base de datos corporativo, se cree una nueva instancia en una máquina dedicada en la que se implementarán en los esquemas correspondientes los diferentes modelos de datos orientados al modelo en estrella o al modelo copo de nieve. Después se utilizarán las herramientas de explotación oportunas para presentar la información como cuadros de mando o para realizar el análisis OLAP (ROLAP en este caso).

Buenos días gente.

Hoy empezamos científicos, gracias a nuestros amigos de microsiervos. En su página podemos ver la imagen de un hipercubo en movimiento, imagen que os ponemos aquí para vuestro deleite (porque si a mí me gusta, a vosotros también, y punto):

Este cubo tiene la peculiaridad de ser en 4-D, por lo que es normal que no lo veais del todo claro a primera vista.

Pues no tiene tanto misterio…

Sí, puede parecer que sólo es un cubo que va moviéndose, pero tendreis que tener en cuenta que:

- Todos los ángulos de la estructura son rectos.

- Entre el cubo exterior e interior, hay más cubos, estos en 3-D, y siempre sin perder sus ángulos rectos y su forma cúbica.

- Un hipercubo contiene 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 celdas cúbicas.

Y ya si queremos ‘entenderlo’ del todo, nada mejor que la siguiente definición:

“Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo en la tercera dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común.

No podemos ver un hipercubo porque estamos “encerrados” en tres dimensiones, por lo que solo podemos ver la sombra de lo que seria un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Pero en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.”

Me encanta.

Pero vamos a intentar hacerlo más sencillo. ‘Intentar’ es la palabra.

Entendamos el hipercubo

Sobre 1990, el matemático inglés Charles Howard Hinton se propuso hacer entender a la gente la posibilidad del hipercubo.

Su teoría era la siguiente: imagina que conoces a un par de amigos que son en 2-D, y les tienes que explicar qué es un cubo 3-D. Ellos no te entenderían ya que sólo serían capaces de ver una de sus caras.

A no ser que descompusiéramos el cubo en sus 6 caras, claro.

Pues si un ser de 4-D tuviera que explicarnos qué es un hipercubo, tendría que enseñarnos su descomposición en cubos 3-D, para que fuéramos capaces de entenderlo.

¿A que ahora parece más sencillo? Pues no sé si deciros que, para formar el hipercubo, abría que unir todas las caras con el mismo número (es decir, las caras 1 con las 1, las 2 con las 2…).

No intenteis imaginar físicamente esa unión, recordad que somos limitadillos en esto del 4-D.

Pero bueno, veamos un poco de arte, para relajarnos y olvidar tanta complejidad de hipercubos. Os pongo un cuadro cualquiera, por ejemplo, uno de Dalí que he encontrado en una página sobre arte:

Veo hipercubos en todas partes…

Por cierto, ya haremos una reseña de la película sobre esta figura, “Cube 2, Hypercube”.