Já há bom tempo que andava à procura de uma coisa destas

Neste último fim-de-semana deu-me para adquirir um Uma parte dos meus dias tem sido passada a tentar resolver este verdadeiro “enigma” matemático

Aconselho vivamente a quem gosta de um bom desafio (e nada de ir ver vídeos para o solucionar facilmente )

Saudações, D3R4Z

Chamam-se divisores própios de um número a todos os divisores diferentes do próprio número. Por exemplo, os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. Os divisores próprios de 10 são apenas o 1, o 2 e o 5.

Um número perfeito é aquele cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número. Por exemplo, o número 6 é um número perfeito. Repara que os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6, sendo os divisores próprios o 1, o 3 e o 3. A sua soma é 1+2+3=6. Então, o 6 é um número perfeito.

Para além dos números perfeitos existem números deficientes e abundantes.

Os números deficientes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é menor do que esse número. Por exemplo, os divisores próprios de 10 são o 1, o 2 e o 5. A sua soma é 1+2+5=8 < 10. Então, 10 é um número deficiente.

Os números abundantes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é maior do que esse número. Por exemplo, o 18 é um número abundante. Os divisores próprios de 18 são: 1, 2, 3, 6 e 9. A sua soma é 1+2+3+6+9=21 > 18. Então, 18 é um número abundante.

A divisão dos números nestes três tipos (deficientes, perfeitos e abundantes) pode já apresentar aspectos curiosos e que vale a pena serem realçados: os mais numerosos são os deficientes e os mais raros são os perfeitos; 6 é o primeiro perfeito e 12 o menor abundante; existem 21 números abundantes menores que 100; apenas são conhecidos números perfeitos pares…

A busca dos números perfeitos iniciou-se na Antiga Grécia e existem provas de que os gregos conheciam os primeiros quatro números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128. Até 1952, data em que se começaram a usar os computadores, tinham sido descobertos, além dos quatro conhecidos na Antiguidade, apenas mais 8 números perfeitos. O maior deles era 2¹²⁶ x(2¹²⁷ – 1), um número de uma ordem de grandeza enorme.

Euler demonstrou no século XVIII, que todos os perfeitos pares eram da forma 2^p+1 x(2^p – 1), com p primo. Este segundo factor tem de ser também primo. Os primos desta forma (2^p – 1) chamam-se números de Mersenne. Portanto, quando se descobre um número de Mersenne, descobre-se também um número perfeito.

Texto retirado de Matemática na Net

Secondo appuntamento con Geogebra: gli strumenti per costruire circonferenze

É muito interessante como a matemática com suas demandas de abstração e seus exercícios imaginários pode nos trazer reflexões riquíssimas e com isso fornecer subsídios para todo o tipo de pensamento. Há, inclusive, quem encontre em passagens Bíblicas referências a hipercubos e hiperesferas, como, por exemplo, nas visões de Ezequiel:

O aspecto das rodas, e a obra delas, era como a cor do berilo; e as quatro tinham uma mesma semelhança; e o aspecto, e sua obra, era como se estivera uma roda no meio de outra roda. (Ezequiel, 1.16)

Na psicologia mesmo, é possível encontrar teorias onde essas ferramentas fornecidas pela matemática são bem aplicadas. Alguns psicanalistas explicam o funcionamento da mente humana traçando correlações com modelos geométricos.

Segundo uma delas, nossa cabeça não funcionária como uma banda bilátera, seguindo as propriedades euclidianas, mas sim como uma banda de moebius, onde a proposta de uma torção espacial altera todas as propriedades dimensionais.

Batizada de Revirão, a explicação dessa teoria está registrada em uma vídeo-aula ministrada pelo Prof. MD Magno, que diga-se de passagem, a faz com uma didática invejável:

(continua em: http://www.youtube.com/watch?v=XZwroIocB20&feature=related)

Um ponto importante que a meu ver é colocado de maneira equivocada pelo professor, seria a sutil interpretação por parte dele de que os homens seriam apenas macacos dotados de capacidades especiais. O simples fato de podermos escolher entre a noite e o dia, o amor e o ódio ou o quente e o frio, não pode ser tratado como uma pequena diferença. É exatamente essa capacidade que nos diferencia de todos os outros animais. No entanto, ele resumi bem quando diz que “a historia da humanidade é a historia de dizer não ás realidades”.

Tal artifício mental, contudo, não parece ter nos livrado dos problemas, mas muito pelo contrario, parece inclusive que eles decorrem dessa capacidade.

Independente disso, a tentativa de explicar o funcionamento de nossos pensamentos utilizando as ferramentas teóricas fornecidas pela matemática, mesmo com suas limitações racionais, se torna bastante curiosa. É evidente que a vida se mostra muito mais complexa que qualquer esboço geométrico, mas as vezes a complexidade só pode ser encontrada nas coisas mais simples.



Muchas gracias a Jose Puppin por essas preciosas idéias.

     Um outro produto que acabei criando há algum tempo atrás, inspirado na necessidade de trabalhar alguns conceitos matemáticos aparentemente fáceis, mas que depois se tornavam falhos, foi o Jogo da Meia.

     Todos que o compram ficam muito satisfeitos, pois é um jogo multiuso, além de muito divertido. Tem como base um jogo bem conhecido: o Fecha Caixa. A diferença é que consegui acrescentar alguns outros usos além dos sugeridos no jogo inspirador.

     Para o próximo ano, além da versão normal, lançarei no mercado uma ‘versão light’ – menor, mais prática e mais barata. Poderá ser usado em espaços menores, o que irá facilitar em muito o trabalho do professor e, consequentemente, a aprendizagem do aluno. Conceitos básicos de adição e subtração, bem como cálculo mental são aprendidos de maneira lúdica e eficaz. O jogo acompanha manual de instruções.

Jogo da Meia

     Conheça um pouco mais sobre meus produtos no site: www.arteaduas.com

Vamos lá fazer a decomposição dos seguintes números num comentário:

34 =

78 =

103 =

112 =

117 =

Este ora 11 :26 si cateva secunde… pana voi termina articolul va fi vreo 11:30 – 11:40.

Dupa cum spuneam, e ora 11:26 si vreau muzica… Vreau shoogy-dooghy-boogy sau shooby-dooby-wooby cu un pic de chuba-chuba si mai mult da-dam-ta-dam. Vreau Ray Charles, vreau Elvis Presley, vreau Hit the road Jack, vreau blue suede shoes. Vreau energie, vreau sa zbarnaie toata lumea, vreau sa vibreze viata in tot ce vad! Ma plictisesc de… tot. Nimic nu mai e shooby-dooby…

Apoi intru in cadere si ma rasucesc la 180 de grade, incepand sa-mi doresc un blues, un jazz, ceva mai elevat, sau daca nu, mai trist, mai molcom, mai “neiesit din randuri”, ceva lipsit de energie. Vreau un… Dream a little dream of me sau un wish you were here, sau un slow a la Led Zeppelin. Of… balonarii astia le au cu muzica. Mai ales cu bluesurile. Asculta tu dazed and confused sau babe, i’m gonna leave you si spune-mi apoi ca esti indiferent… muzica asta te atinge.

Te, sau ma resemnez/i si incep/i sa ies/i din starea asta si cautam un Beethoven sau un Brahms sau oricare alt clasic, ceva sa ne calmeze, sa ne neutralizeze, sa ne aplatizeze iesirile din comun si asculti asculti simfonia a 5a de Beethoven si..gata? Esti normal? Sunt “neiesit din comun”? Vorbim despre mine sau despre tine? (m-am incurcat ).

Ma duc apoi la culcare in ipostaza normalului, simtindu-ma neutru, comun, “normal” sau “cum ar trebui sa ma simt inainte de alta noapte obisnuita, in care voi avea un somn obisnuit” si visez cu ochii deschisi pentru ca mintea mi-e prea incarcata. Oricat incerc sa ma comport normal nu pot si asta se reflecta asupra somnului. Si tu probabil ai o “neregula”, un semnal care urla “NU ESTI NORMAL! NU ESTI LA FEL CA CEILALTI! Pentru numele lui Dumnezeu, ati avut parinti diferiti!!” . Si stau apoi minute sau ore in pat pana adorm; deobicei tot cu o melodie in gand, deobicei ceva ce am auzit in ziua respectiva si nu-mi pot scoate din minte, oricat  de nasoala ar fi melodia dupa standardele mele.

…camera de hotel…. pat…lumina puternica… soare…. balcon…. briza diminetii….iar soarele ala tampit… ceata…. CEATA?! Casc ochii mai bine, ma frec pertinent la globii oculari si-mi dau seama ca iar e ceata de-o tai cu cutitul si ca “paradisul” maritim inca nu s-a mutat in fundul asta de tara; nu se vede blocul de peste strada. Ma uit la ticaitor: 5:40. Ieeee… iar o zi interesanta (cu 3-4 ore de somn din 8 minimum recomandate, orice e interesant) pornesc laptopul si muzica. Hm…ce sa aleg? E o dimineata imputita… deci muzica trebuie sa fie… optimista! orice dimineata trebuie inceputa optimist, cu un dus de ala comunist, cu apa la -0 grade, cu paine uscata, ceai in care ai scapat prea multa miere, eventual ai inlocuit mierea “din greseala” cu dulceata sau unt (cum fac eu cand zbarnai prea puternic de energie…), un gand de ala fericit care te duce la cele 2 lucrari si tema la franceza nefacuta care te asteapta azi la scoala eventual alta sinapsa care-ti aduce o imagine fericita a unei “ea”; aici renunt la ironie si spun ca asta iti mai aduce un ranjet idiot pe fata . Te gandesti la “ea” sau “el”( “el” daca din diferite motive iti lipseste testosteronul) si incepi sa pui inca o doza de unt in ceai si miere pe fata de masa, incepi sa razi pana vine maica-ta si-ti insenineaza iar ziua cu un dragastos “la ce ora te-ai culcat, ai capiat?! daca nu dormi..blabla”. Te scoli frumusel de la masa si antrenezi boxele intr-o vibratie optimista a lui Bobby McFerrin si incepi sa-ti trantesti competent manualele si ce-a mai ramas din caiete in ghiozdan. Se termina melodia, iti pui stiloul in compartimentul ghiozdanului, te murdaresti de cerneala, iti imbraci hainele, te uiti la paleta larga de incaltaminte care iti sta la dispozitie si optezi din nou pentru tenesii jegosi care cad in fiecare zi la datorie cu inca o cusatura, le ceri parintilor niste parale, daca ai bafta primesti, daca nu …. soarta ) si o tai pe usa. Iti pui muzicantul de servici sa-si faca treaba, te impiedici de aceeasi brodura ca in fiecare dimineata si incepi sa fredonezi ce se nimereste din playlist, in cazul meu, asta imi comenteaza fiecare dimineata .

Apoi te lasi in plictiseala orelor, o dai in bara la o lucrare, iei un 2 la franceza si te intorci acasa fericit ca ai scapat la mate. Ii explici lui maica-ta cum ai facut-o de fasole la biologie numai din cauza lui Marte care azi a intrat intre Luna si Pamant si a lui Jupiter care s-a uitat cas la Pluto care facea sarmale la 2 dimineata, cu slitul deschis. Ajungi in pat te trantesti, o ignori pe saraca si omniprezenta mama care iar isi respecta cu strictete programul, astfel ca la orele 2:20 ale dupa-amiezii te informeaza ca va certati iar daca nu-ti depui geaca in cuier… apoi urmeaza alte maruntisuri, apoi alte ganduri, alte conversatii interminabile cu o anumita X, alte discutii monosilabice cu Y, alti pumni in cap ca nu ai adus vorba de un subiect anume, ca sa mai prelungesti discutia inutila si sa-i auzi vocea, iar regrete ca nu ai avut curaj s-o inviti afara dupa ore, iar invatat, iar somn prost, iar, iar,iar si iar pana vine sfarsitul de saptamana, 2(acum 4 ) zile de leneveala, de relaxare, iesit cu Y afara, de castigat pariuri pentru X, ce mai, weekend, din care nu va lipsi muzica . Pana atunci va las cu dumnealor:

Pai, hoje aprendi a multiplicação! É só somar sempre o mesmo número!

“Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador” Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o

He got it!

Bem haja o meu primogénito.

É por não conseguir te falar.
Me desculpe,
Eu não consigo dizer.

Por favor, não.
Termine de novo!!!

Eu não consigo falar,
Eu não consigo falar.
Me calo e não conto.

Por favor,
Eu não consigo contar.

Um…………. dois…………………. três
Nenhuma emoção há em minha voz

Por favor me ajude,
Eu não consigo contar.

Me ajude a contar,
Eu preciso contar.

Antes que morra,
S-U-F-O-C-A-D-A

Com essa conta
Um..dois…três

Sonho anoite,
Com essa conta.
Mas, eu não posso contar

Conto
Conto
Conto

A matemática é legal
Mas eu,
Eu não sei contar.

Eu não consigo
Contar

Esta foi a primeira prova de olimpíada com que me deparei.

Só sei que falhei miseravelmente na época. Fui incapaz de resolver isso por um booom tempo.

Mesmo sendo bastante ignorante matematicamente, não sabendo nada mais do que foi mostrado nas aulas, atribuo minha falta maior a não saber PROVAR, DEMONSTRAR, o que seja. Até hoje não sei ao certo o significado preciso, se é que há diferença entre esses termos ou qualquer outra coisa, tenho apenas minha noção “intuitiva”.

Basicamente, para mim, provar (ou demonstrar) é chegar de um ponto a outro partindo de premissas/proposições simples, óbvias, já demonstradas que servem de fundamento para meus argumentos (poético não?)

OPM – PRIMEIRA FASE – 19 de agosto de 2006

NÍVEL BETA (7 série e 8 série)

PROBLEMA 5

a) Seja ABC um triângulo retângulo em A. Sendo r o raio da circunferência inscrita em ABC.

Prove que r = (AB + BC – AC )/ 2

A prova é bastante simples. Dividirei-a em três partes:

I.

Chamaremos a circunferência inscrita no triângulo ABC de alfa (não sei fazer caracteres gregos T.T).

Seja O o ponto origem de alfa. Seja P, Q, R os pontos nos quais incidem, respectivamente, sobre os lados AB, BC e AC formando um ângulo de 90º com esse lado.

Temos então um quadrado de lado r, formado pelos pontos (B, P, Q, O).

II.

Para continuar é preciso saber que: todos os segmentos tangentes à uma circunferência que partem de uma mesma origem são proporcionais. Isso é bastante óbvio, mas creio que é um teorema e sinceramente não sei se nesse caso seria necessário demonstrá-lo…

Assim temos as seguintes relações entre os segmentos

BP = BQ = x; AP = AR = y; CQ = CR = z

Já que estes são segmentos que partem de um vértice e tangênciam a circunferência num ponto (BP, parte de B e tangencia alfa em P)

Disso decorre que os lados do triângulo são iguais a:

AB = AP + BP => AB = y + x

BC = BQ + CQ => BC = x + z

AC = AR + CR => AC = y + z

Como (B, P, Q, O) é um quadrado de lado r, então x = r;

AB = y + r

BC = z + r

AC = y + z

III.

Queremos o valor de r.

Se AC = y + z e y = AB – r e z = BC – r

Então AC = (AB – r) + (BC – r), então AC – AB – BC = -2r, portanto

r = (AB +BC – AC)/2

cqd

ARQUIVO DE PROVAS: http://www.opm.mat.br/provas/

Para melhorar o desempenho dos alunos norte-americanos e estimular o progresso das áreas de Ciências, Tecnologia, Engenharia e Matemática (STEM), Barack Obama convocou grandes editoras de games e instituições ligadas à indústria do entretenimento para integrar o programa “Educar para Inovar”. Obama divulgou, nesta segunda-feira, que o investimento será de US$ 4,35 bilhões. Mas segundo a revista Wired,  a parceria com empresas privadas pode adicionar ao fundo cerca de US$ 260 milhões.

Reconhecendo o poder pedagógico dos jogos eletrônicos para crianças e adolescentes, empresas como a Sony, Entertainment Software Association (ESA) e Fundação MacArthur se uniram ao governo para lançar uma série de ações competitivas na área de design para games.

Dois concursos nacionais serão implementados em 2010:

• O Game Changers compõe a próxima edição do Digital Media and Learning Competition, da Fundação MacArthur, que já vem aplicando ações inovadoras no processo de aprendizado, ao utilizar jogos eletrônicos, redes sociais e celulares. A Sony e a Fundação MacArthur, em parceria com a ESA e ITI, apoiam a competição que consiste na criação de um novo jogo, baseado nos princípios do STEM, que utilizará as ferramentas colaborativas do game LittleBigPlanet. Além disso, a Sony doará mil PlayStations 3 e cópias do seu título, para  bibliotecas e organizações comunitárias de locais com baixa renda.

“Na educação de hoje, as crianças desenvolvem talentos ao  jogar videogame. Resolução de problemas, pensamento estratégico e  flexibilidade são os tipos de habilidades que  os adultos vão precisar para ter sucesso no século XXI”, comenta Dean Garfield, presidente e CEO do Conselho de Tecnologia da Informação (ITI).

• Novamente juntas, a ITI e ESA lançam o STEM National Videogame Competition, em parceria com Joan Ganz Cooney Center de Sesame Workshop, Games for Change e E-Line Ventures. O objetivo é desafiar crianças e adolescentes no desenvolvimento de ideias para jogos baseados em navegação de sites e com abordagem nas áreas de Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática. Os vencedores recebem US$ 300 mil e seus jogos serão utilizados nas salas de aula.  O anúncio sobre a competição acontecerá no início de 2010, com a apresentação das regras e procedimentos de inscrição. Os vencedores serão anunciados na exposição E3 2010, em junho. Outras quatro parcerias foram anunciadas, entre elas, com a Warner, Discovery e Vila Sésamo.

Fonte: prnewswire.com, gamasutra.com e wired.com
Imagem: whitehouse.gov e playstation.com

Lembro-me que na 8ª o professor de matemática me mostrou pela primeira vez como era uma prova de olimpíada de matemática (no caso da OPM). Achei muito interessante, nunca havia sequer considerado a possibilidade de que algo assim existisse, algo tão ideal para minha natureza arrogante e competitiva.

Não é difícil de imaginar o que se seguiu:

Prestei a OPM do mesmo ano, fui, milagrosamenta para a fase final e NADA.

No primeiro ano colegial fiz a OBM e NADA!

Segundo ano colegial OBM, NADA!

Olimpíada de astronomia, muito simpática e tals, NADA! (nessa deu até vergonha).

OAH, NADA (mas devo dizer que essa estava ridícula de tão fácil, merd* de pascal falsificado)

__

Sei que sou retartado em todos os sentidos da palavra, por isso vou inaugurar agora a secção de provas/desafios matemáticos.

NÃO vou ficar satisfeito enquanto não conquistar uma medalha em qualquer que seja a olimpíada.

Embora meu ego tenha sido ferido de tal modo e eu queira fazer algo a respeito,  sou realista: estou no final do 2 ano colegial, tenho apenas mais 1 ano (tá 2, mas não sei se no ultimo pode ;x) e não tenho disciplina suficiente para obter as competências exigidas (i.e sou burro), mesmo assim vamos ver no que vai dar!

OPM, OBI e , quem sabe, OBM, me aguardem ! /mau

K$%$*)# ! O caráter deprimente de tudo que escrevo em relação a mim e à hiprocrisia da humanidade, já encheu o saco!

Por isso, vou escrever sobre um monte coisas aleatórias que acho interessante e/ou tenho um ou outra comentário a fazer sobre. Ou fazendo das palavras do about, as minhas:

(…)agora aqui estou. A fim de registrar e elaborar o que se passa em minha cabeça, escreverei neste blog sobre assuntos diversos (formas fálicas, revistas de moda, gatos) que me intriguem.”

Com sorte, falarei de coisas felizes \o/

Hoje, dia 24 de Novembro, comemorou-se na Biblioteca da nossa escola o Dia Mundial da Ciência. Neste âmbito, foi desenvolvido um vasto leque de experiências a que algumas turmas dos 7º, 8º e 9º anos puderam assistir e participar. Estas actividades envolveram as disciplinas de Ciências Naturais, Ciências Físico-Químicas, Matemática (ensino básico e secundário) e o Clube de Ciência Divertida, tendo sido dinamizadas, em conjunto com os seus professores, por alunos das turmas 7ºA, 7ºD e 8ºB.

Parabéns aos professores e, sobretudo, aos alunos que estiveram envolvidos, pois tiveram um comportamento exemplar!

Aqui fica a reportagem do Dia da Ciência »»»ver tudo aqui!

Impressiona como uma fórmula tão simples

pode criar figuras tão belas.

Mandelbrot em cores

Mandelbrot em cinza

Não considere as minhas implementações. Procure outras mais bonitas.

Comemorou-se hoje na Biblioteca da nossa escola, o Dia da Ciência. Alguns alunos do 8ºB, a Elisabete, o Pedro Joni, o Diogo, o Vítor e a Inês brincaram com a Tira de Möbius, fazendo alguns truques matemáticos. A Inês construiu buracos gigantes em papel A4 e o Vítor mostrou as suas habilidades no cálculo dos múltiplos de 11.

A assinalar esta data tão importante estiveram também as professoras Albertina e Isabel Pinto, mostrando aos visitantes o que é possível fazer com os sensores.

Foi uma manhã em que se provou que a Matemática de facto enriquece!

Cele mai importante probleme nerezolvate din matematica sunt acum pe net, reunite pe site-ul “Aim Problem Lists”, la dispozitia oricui doreste sa incerce a le da “de cap”.

“Aim Problem Lists” este un nou instrument online, realizat de American Institute of Mathematics (Aim) cu scopul de a furniza unui public cat mai larg sansa de a intra in istoria matematicii. A fost lansat cu ocazia “RH Day”, a 150-a aniversare a Ipotezei lui Riemann, una dintre cele sapte probleme matematice ale mileniului, pentru a carei rezolvare Clay Mathematics Institute a pus la bataie un premiu de un milion de dolari.

“Probleme vechi au nevoie de idei noi, iar Aim Problem Lists deschide lumea matematicii unui public foarte larg”, a comentat directorul Aim, Brian Conrey. Dupa cum a precizat, de multe ori trebuie sa treaca zeci sau sute de ani inainte ca o problema matematica sa-si gaseasca rezolvarea, si adeseori ideea poate veni dintr-un domeniu de cercetare complet diferit.

Pe site, fiecare problema este numerotata si dispune de o adresa web permanenta, arhivata de network-ul de la Harvard IQSS DataAverse.

Sursa: Galileo

En un comentario del post anterior, Kardo mostraba una solución al problema en 19 intentos:

… Siguiendo este pensamiento, la idea es probar en los pisos múltiplos de N y, en el momento que la lámpara se rompe, probar en los anteriores N-1 pisos para buscar el piso mínimo. De esta forma, si buscamos el mínimo de la función f(100/N+N-1) con 1<N<100, encontramos que ese valor es 19.

Esa es la mejor solución “inteligible” al problema entre las que vi, pero no llega a ser óptima.

El algoritmo

Para buscar la solución óptima, definamos dos funciones: y , donde es la cantidad de pisos que podrían ser el piso mínimo, es la cantidad de lámparas disponibles y es un piso determinado desde donde la próxima lámpara será arrojada. La primera función nos indica la cantidad máxima de lanzamientos de lámparas requeridos según la estrategia óptima, mientras que nos indica esa misma cantidad con la restricción adicional del piso desde donde se arrojará la próxima lámpara.

Si hay un candidato solo restante no hace falta seguir realizando lanzamientos, por lo que

.

Por otro lado, si solo nos queda una lámpara no podemos arriesgarnos a que se rompa quedando pisos sin explorar y tendremos que ir probando piso por piso. Por consiguiente tendremos

.

En los otros casos habrá que efectuar un cierto número de lanzamientos para determinar el piso mínimo. No podemos saber a priori cual será el piso óptimo desde donde realizar el siguiente lanzamiento, pero sabemos que será uno de los que son candidatos. Por lo tanto podemos decir que

,

ya que la estrategia óptima elegirá el piso desde donde lanzar de modo de minimizar el costo.

Pero cuando realizamos un lanzamiento desde el piso solo podemos tener dos resultados: la lámpara puede romperse o no. En caso de que se rompa examinaremos los candidatos menores que , mientras que en caso de que quede intacta haremos lo propio con los candidatos menores que . Como se realizó un lanzamiento, el costo será

.

Con esto tenemos definidas casi por completo a las funciones y , pero quedan pendientes algunas sutilezas que suelen conducir a errores en las definiciones recursivas. En este caso particular, habrá llamadas a , que nunca fue definida. Podemos resolver esto haciendo que

,

que es más simple que separar los casos en que es innecesario buscar.

El algoritmo implementado

La implementación, en este caso en Python, es directa a partir de las definiciones recursivas:

def cost(n, l):
    if n in (0, 1):
        return 0
    elif l == 1:
        return n
    else:
        return min(fixed_try_cost(t, n, l) for t in xrange(0, n))

def fixed_try_cost(t, n, l):
    return 1 + max(cost(t, l-1), cost(n - t - 1, l))

Pero si intentamos ejecutar cost(100, 2), observaremos que la ejecución no termina. Esto es debido a que, al igual que en caso del cálculo recursivo de los números de Fibonacci, se recalculan los mismos valores un gran número de veces. Incluso la ejecución de cost(24, 2) demora decenas de segundos.

El algoritmo utilizando programación dinámica

Una forma común para resolver este problema es aplicar la técnica conocida como programación dinámica, consistente esencialmente en almacenar los resultados previamente calculados de modo de no requerir calcularlos nuevamente. Una forma simple de implementar esto en Python es utilizar un diccionario para almacenar el costo correspondiente a cada valor de y :

costs = {}

def m_fixed_try_cost(t, n, l):
    return 1 + max(m_cost(t, l-1), m_cost(n - t - 1, l))

def m_cost(n, l):
    if (n, l) in costs:
        return costs[(n, l)]
    if n in (0, 1):
        c = 0
    elif l == 1:
        c = n
    else:
        c = min(m_fixed_try_cost(t, n, l) for t in xrange(0, n))
    costs[(n, l)] = c
    return c

Se observa que las únicas diferencias (aparte del prefijo m_) son la consulta del diccionario al inicio de la función m_cost y el grabado del valor calculado antes de devolverlo.

Si se desea obtener mejor performance, puede utilizarse una tabla normal y llenarla mediante iteración en lugar de recursión. Por ejemplo, la misma función podría implementarse en C del siguiente modo:

#define MAX_N 200
#define MAX_L 200

#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define MIN(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

int cost(int n, int l)
{
	int costs[MAX_N][MAX_L];
	int i, j, k, c;
	for (i = 0; i <= n; i++)
		costs[i][1] = i;
	for (j = 1; j <= l; j++)
		costs[0][j] = costs[1][j] = 0;
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		for (j = 2; j <= l; j++)
		{
			c = i;
			for (k = 0; k < i; k++)
			{
				c = MIN(c, 1 + MAX(costs[k][j-1],
								   costs[i-k-1][j]));
			}
			costs[i][j] = c;
		}
	}
	return costs[n][l];
}

De todos modos, todas las versiones se ejecutan en forma esencialmente instantánea, dando como resultado . Mediante una simple modificación podría devolverse la secuencia requerida en base a lo que sucede con las lámparas al ser arrojadas, obteniendo así un algoritmo para resolver el problema en la práctica.

i solisti di perugia

Giovedì 26 novembre Sala dei Notari ore 21:30

Palazzo dei Priori PERUGIA

Il rapporto tra musica e matematica, è questo il presupposto ideologico che ha spinto gli organizzatori  del IX Congresso della Società Italiana Storia delle Matematiche  ad includere  nel programma il concerto del sestetto de “i Solisti di Perugia” e del gruppo vocale, “Armoniosoincanto” diretto dal maestro, Franco Radicchia. Il cartellone prevede musiche di: Dufay, Lasso, Bach, Pachelbel e Pedini. Si comincerà con il Mottetto di Guillaume Dufay. L’opera si chiama: “Nuper rosarum flores” che fu scritta da Dufay nel 1436 e suonata in occasione della cerimonia di consacrazione della Cupola del Brunelleschi della cattedrale di Santa Maria del Fiore a Firenze. Il mottetto sarà cantato “a cappella” (sole voci) dal coro Armoniosoincanto e la stessa opera rivista nel 2005, dal compositore perugino Carlo Pedini, per coro e orchestra d’archi. In chiusura di concerto, quindi, la corale e il sestetto de “i Solisti di Perugia”. Il pubblico, quindi, avrà la possibilità di ascoltare la stessa melodia rielaborata secondo moduli matematici. Il secondo brano in programma è “Il Canone” di Carlo Pedini, opera che richiama – con il suo stesso nome – una formula matematica. Una forma musicale che fa passare, attraverso le voci, uno stesso tema che si rincorre attraverso i diversi solisti. Tanto per fare un esempio, il Canone più famoso è quello di “Fra’ Martino Campanaro”, dove una stessa melodia, ad una distanza esatta, è ripetuta tante volte creando una sovrapposizione che è, però, sempre consonante. Un gioco matematico perfetto, come lo è anche una “fuga”. Il tema, Pedini lo trae da una sua stessa opera: “Un giorno qualunque”. Con stile da “divertissement”, il compositore scrisse il Canone nel 2000 dedicandolo per l’appunto a i Solisti di Perugia. “Nel 2001 – ricorda Maria Cecilia Berioli, vicepresidente dell’Associazione i Solisti di Perugia – lo suonammo ad Atene in occasione delle celebrazioni della festa della Repubblica”. Il terzo brano sarà rappresentato da una prima esecuzione assoluta, anche qui un Canone, il cui tema è stato tratto da una grande opera concettuale di Johan Sebastian Bach: “Offerta musicale di Bach”. Si tratta di una raccolta musicale formata da due fughe, dieci canoni e una trio sonata a quattro frasi, dalla quale Carlo Pedini ha tratto il tema sul quale costruire il Canone. L’Offerta musicale di Bach non era stata destinata ad alcuno strumento. Tutto il materiale (di Bach) è basato su un tema musicale ideato dal re di Prussia Federico il Grande. Bach rielaborò il tema dato dal re in fughe per tre e sei voci e aggiunse una quantità di canoni, nei quali introdusse ogni difficoltà possibile per questa forma musicale, come una trio sonata per flauto, violino e basso continuo, in cui compare anche il “tema reale”. Il 7 luglio egli concluse l’opera e la dedicò al re di Prussia col nome di “Offerta musicale“. A settembre la raccolta era stampata, ma non fu mai destinata ad alcuno strumento. E’ una sorta di opera omnia della grande arte di Johan Sebastian Bach. Carlo Pedini ha, in sostanza, preso lo spunto da un “ricercare a sei”, contenuto in questa grande opera del compositore tedesco.

Il coro tornerà nuovamente a cantare a cappella – senza strumenti, quindi -, in “Bicinia” di Orlando Di Lasso (Roland de Lassus). Si tratta di canti a due voci relativi a composizioni di tipo aritmetico. Le voci si incontrano in stile contrappuntistico, in modo vario, e sempre creando delle figure geometriche.

Il concerto, , sarà chiuso dal Mottetto Nuper rosarum flores, rielaborato da Carlo Pedini sull’originale di Guillaume Dufay, cantato dalla corale e suonato dal sestetto de i Solisti di Perugia.

————————————————————————————————-

VUOI ESSERE AMICO DI GOODMORNINGUMBRIA?

scrivi a redazione@goodmorningumbria.it

————————————————————————————————————————

HOTEL RISTORANTE LA ROSETTA****

Centro Storico di Perugia  p. Italia tel. 075 5720841

larosetta@perugiaonline.com

————————————————————————————————

“C’ERA UNA VOLTA” – GIOCATTOLI

di Lorena Tega

PROSSIMA APERTURA Via Vittorio Veneto – Gualdo Tadino

tel. 075 9140664

————————————————————————————————————————

OTTO Abbigliamento Donna

di Maurizio Giorgelli

via Bonazzi 8 Perugia tel. 075 5729084

————————————————————————————————————————

PARAFARMACIA EMALFARMA

di Emanuela Coreno e C.

via Settevalli 208/b  Perugia  tel. 075 5004777

————————————————————————————————————————

Sono persuasa del fatto che nel nostro corpo ci sia un omino -si chiama Mario- che ogni volta che ci muoviamo calcola il variare delle nostre coordinate nello spazio e le scrive da qualche parte.

Io voglio molto bene a Mario, perciò cerco di non fare troppa attività fisica per non farlo stancare.

Infatti quando ci sentiamo deboli in realtà è perché Mario non ha voglia di lavorare. Potremmo anche muoverci senza che nessuno calcoli le nostre coordinate, ma questo porterebbe ad una sgradevole sensazione di disorientamento, come accade a volte quando ci svegliamo di notte e non riusciamo a capire dove siamo -anche Mario ogni tanto dorme- o quando abbiamo bevuto troppo -il poverino è astemio, e gli piace vendicarsi così di questo suo problema-. Invece la confusione dovuta all’uso di droghe è dovuta al fatto che quelle, invece, può assumerle e gli piacciono molto, quindi se ci droghiamo si droga anche lui e dopo un po’ non capisce più un cazzo.

Anche voi dovreste voler bene a Mario, perché lui ve ne vuole davvero tanto: non è che sia divertente star lì tutto il giorno come un pirla a scrivere equazioni da qualche parte.

DESCARGAR>>>