Einstein speaks of his mind processes on the origin of General Relativity; (Nov. 21, 2009)

This article is how Einstein described his mind processes that lead to the theory of restricted relativity and then his concept for General Relativity. In 1905, restricted relativity discovered the equivalence of all systems of inertia for formulating physics equations. From a cinematic perspective there was no way to doubting relative movements; still there was the tendency to physically extend privileged significance to system of inertia.  The question was “if speed is relative do we have to consider acceleration as absolute?”

Ernest Mach considered that inertia did not resist acceleration except when related to the acceleration toward other masses. This idea impressed me greatly. First, I had to establish a law of gravitation field and suppress the concept of absolute simultaneity. Simplicity urged me to maintain Laplace’s scalar gravity potential and fine tune Poisson’s equation. Given the theorem of inertia of energy then inertia mass must be depended on gravitation potential but my research left me skeptical. In classical mechanics, vertical acceleration in a vertical field of gravity is independent of the horizontal component of velocity; it follows that vertical acceleration is exercised independently of the internal kinetic energy of the body in movement. I discovered that this independence did not exist in my draft theory; this evidence did not coincide with the affirmation that all bodies submit to the same acceleration in a gravitational field. Thus, the principle that there is equality between inertia mass and weight grew with striking significance. I was convinced of its validity though I had no knowledge of the results of experiments done by Eotvos.

Consequently, the principle of equality between inertia mass and weight would be explained as follow: in a homogenous gravitational field all movements are executed in relation to a system of coordinates accelerating uniformly as if in absence of gravity field. I conjectured that if this principle is applicable to any other events then it can be applied to system of coordinates not accelerating uniformly. These reflections occupied me from 1908 to 1911 and I figured that the principle of relativity needed to be extended (equations should retain their forms in non uniform accelerations of coordinates) in order to account for a rational theory of gravitation; the physical explanation of coordinates (measured by rules and clocks) has to go.

I reasoned that if in reality “a field of gravitation used in system of inertia” did not exist it could still be served in the Galilean expression that “a material point in a 4-dimentional space is represented by the shortest straight line”. Minkowski has demonstrated that this metric of the square of the distance of the line is a function of the squares of the differential coordinates.  If I introduced other coordinates by non linear transformation then the distance of the line stay homogeneous if coefficients dependent on coordinates are added to the metric (this is the Riemann metric in 4-dimension space not submitted to any gravity field). Thus, the coefficients describe the field of gravity in the selected system of coordinates; the physical significance is just related to the Riemannian metric. This resolved this dilemma in 1912.

Two other problems had to be resolved from 1912 to 1914 with the collaboration of Marcel Grossmann. The first problem is stated as follow: How can we transfer to a Riemannian metric a field law expressed in the language of restrained relativity?  I discovered that Ricci and Levi-Civia had answered it using infinitesimal differential calculus.  The second problem is: what are the differential laws that determine the coefficients of Riemann?  I needed to resolve invariant differential forms of the second order of Riemann’s coefficients. It turned out that Riemann had also answered the problem using curb tensors.

“Two years before the publication of my theory on General Relativity” said Einstein “I thought that my equations could not be confirmed by experiments. I was convinced that an invariant law of gravitation relative to any transformations of coordinates was not compatible with the causality principle. Astronomic experiments proved me right in 1915.”

Note:  I recall that during my last year in high school my physics teacher, an old Jesuit Brother, filled the blackboard with partial derivatives of Newton’s equation on the force applied to a mass; then he integrated and he got Einstein’s equation of energy equal mass by C square. At university, whenever I had problems to solve in classical mechanics on energy or momentum conservations I just applied the relativity equation for easy and quick results; pretty straightforward; not like the huge pain of describing or analyzing movements of an object in coordinate space.

Here is the link for practice problems for Special Rel.  The problems on the quiz will be like these ones.

http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/

Sorry about the lack of a MaBloWriMo post yesterday. I got a little behind, left resources I wanted at the office, and did some other things.

If you remember, my original goal in this process was to relate the Farey sequences to the Riemann hypothesis. I have some vague understanding that the relationship is based on the distribution of the terms in the Farey sequence, as points in the unit interval. It’s getting on toward time to talk about the Riemann hypothesis side of this picture, so I can start relating the two. But before I do, there’s one more diversion (hopefully it isn’t too far off base) I’d like to make related to Farey sequences. I’ve still got some learning to do about it, but let’s see what I can get down today, laying some foundation for the next day or two, perhaps.

Recall that the way to construct one Farey sequence, , from the previous one, , is to throw in all of the mediants of successive terms whose denominators aren’t too big. What if we didn’t bother with that last part, and just left in all the mediants? All the numbers we’ll write down are still reduced, and we’ll obtain all of the fractions in this way, because they all show up in some Farey sequence, and we’re getting all the terms in all the Farey sequences, just sometimes a little earlier than Farey would.

Just to be clear, our first few sequences now look like this:

and so on. We see that the -th sequence in this list contains all of , as well as some other numbers with bigger denominators. A nice property of these sequences, which isn’t shared with the Farey sequences, is that every other term in the -th sequence is a new term that wasn’t in the -st sequence. So when I go to make the next sequence in this process, I’m always taking the mediant of a “new” number and an “old” number. Moreover, each “new” number will be involved in two mediants… one taken “to the left” (with the “old” number on the left, making a smaller value) and one taken “to the right”.

This language let’s me write down a binary tree (every node has two branches down) as follows: Begin with 1/2 as the root (at the top, I’m throwing out 0/1 and 1/1). This is a new fraction in the second sequence above, so to make the third sequence, I added in the “left mediant” (1/3) and “right mediant” (2/3) from 1/2. To make the sequence after that, 1/3 gives a “left mediant” (1/4) and a “right mediant” (2/5), and similarly 2/3 spawns 3/5 and 3/4. So I build up a tree that looks like this:

I’ll call this the Stern-Brocot tree, though the actual definition my be slightly different.

Another way I could build up a sequence of sequences, and generate another binary tree, is to use midpoints, instead of mediants. If my first sequence is still 0/1 and 1/1, then taking midpoints will always give me denominators that are powers of 2. My tree will now look like:

I could now line up these trees, and determine a function that takes one rational number, finds it’s position in the first tree, and spits out the value in the same position from the second tree. For example, using our pictures above, we see that this function will take 3/5 to 5/8. This function is known as Minkowski’s question mark function, , and Wikipedia has a graph, so you should click that last link. I’ve only defined it on rationals, but you wave the “continuity” wand to extend my definition to a function on .

So, to evaluate for some rational, you have to find that rational in the Stern-Brocot tree. How do you do that? You know that you don’t have to go further down in the tree than your denominator, but that’s still a lot of fractions to look at, potentially. Perhaps there’s a better way?

I guess one way is to play the over-under game. Start at 1/2. If that’s your fraction, you are done. Otherwise, if your fraction is bigger, move right, and if your fraction is smaller, move left. Repeat until you get to your fraction.

But there’s more math we can say if we think about this process slightly differently.

The point of the tree being a tree is that there is only one way to get from the root, 1/2, to any fraction. Working your way down, you make a sequence of moves, either left () or right (). So you generate some string – , for example. Of course, that notation gets out of hand quickly, so we might also use exponents to write this example as . To such a string we can associate a sequence of fractions by writing down whatever fraction we are at when we change direction. Let us write this sequence as , and call these “turning points”. I’ve used primes here, because the numbers I’m actually interested in are one before I make a turn. Let me call that sequence , calling these values parents (so has a line directly down to in the Stern-Brocot tree, connecting the two). So, for example, the sequence has turning points , , and finally and associated parents , , and .

What is the relationship among successive turning points and parents? Suppose you are at the turning point , with parent , looking to get to the next parent or turning point, and are going to do this with a sequence of moves (left or right, it doesn’t actually matter). The next parent will be the weighted mediant of the turning point with its parent . That is, , and . Similarly, the next turning point will be the weighted mediant of with . This also means that it is the weighted mediant of with .

Combining all of these relationships, messing with the algebra just slightly, you can determine that and . You may recall that these are exactly the relations between the convergents of a continued fraction (if you start putting subscripts on your , writing it as ).

So, given a continued fraction for a rational in , begin at 1/1 (which isn’t in the tree, I know) and move left times (the first move getting you to 1/2), then move right, and so on. In your final step, you only move (if you wonder about the “-1″, you might think that the -th convergent is the fraction you are after, and that is the -th parent, not the -th turning point), and you’ll arrive at . On your way, all of the fractions that you hit, one before a turning point, will be the convergents to .

That only gets us half-way into evaluating , for this rational you’ve picked. You first find its continued fraction and then, by the process above, you’ll see how to get down to from the top of your tree. That means will be the value in our second tree (taking averages, the tree with powers of two in the denominator) that follows the same path. The initial lefts, from 1/1, will get us to a value of . Then we are supposed to take rights. Taking 1 right will get us to . Another right will then be , which I’ll write . Yet another right gets us to , and so on, until . After that, we move left times. The analysis of where we end up is basically the same, you just have to remember that you are subtracting s, instead of adding them.

Putting this all together, we obtain (remembering that in the last stage we only went moves.

Just as a warning, I may be off slightly in some of my formulas. I haven’t written down anything knowing that it was false, but I’m not convinced I obtain the correct formula at the end of the day (it looks slightly different from the formula at Wikipedia, for instance). If anybody sees an error, please let me know.

That’s probably plenty for today. Up next (I think), I want to take the derivative (even though I can’t) of , because Wikipedia thinks I’ll get something related to the density of the Farey sequences.

By the way, a paper I was looking at to figure out about these things was “The Minkowski Question Mark, and the Modular Group (Expository)” by Linas Vepstas. The printed copy I have, from some time summer 2009, is incomplete, but it looks to be available online.

…over the next 3 days or so.  It is not easy, so buckle up your seatbelts!

Visual Special Relativity

1-SpaceFight

Spacetime Part I Student    StandardGrid

2-AliensParking

3-Lightning Strike

A pesar del título, no voy a exponer una contradicción realmente, aunque nuestro intelecto así lo vea; y además el hecho de la Invasión Extraterrestre no es el centro de la cuestión. Simplemente, además de llamar la atención, he elegido este título por 2 motivos:

1) A fin de cuentas es como Ronger Penrose lo expone en su libro “La nueva mente del emperador”

2) Podría haber escogido otra temática con la que ejemplificarlo, y poder hablar de la paradoja en sí, pero me hace mucha gracia como ciertas personas (en estos momentos me acuerdo de una física) toman una aptitud incrédula y de cerramiento total ante sus acepciones negativas cuando se pronuncia la palabra “extraterrestre”.

En realidad se trata de una realidad física, según la teoría clásica (nada de supercuerdas de momento), aunque nuestra mente se niegue a comprenderlo.

Yo la considero como un paso más allá de la consabida y comprobada paradoja de los gemelos. Y lo expongo como demostración de que la realidad, a veces, supera con creces a la ficción.

Recordemos la paradoja de los gemelos.

Uno de los gemelos a, pongamos, los 20 años de edad se va a realizar un viaje espacial en una nave que alcanza velocidades cercanas a la luz. Cuando vuelve del viaje se encuentra que su hermano gemelo ha envejecido enormemente comparado con él.

Y no es que se haya encontrado menos radicales libres en su camino, si no que realmente para el viajero ha pasado menos tiempo. 2 años en lugar de 10 por ejemplo.

Pero vayamos a nuestro caso. La paradoja es la siguiente:

Dos conocidos se cruzan en la calle. En ese preciso momento, justo en el mismo instante del cruce,  mientras para uno una civilización de la galaxia de Andrómeda viene a invadirnos, para el otro la decisión de la invasión aún no se ha tomado.

Ciertamente, para el que no sepa nada de esta paradoja es bastante “grillante”. De hecho, hemos mencionado Andrómeda, que es la galaxia importante más cercana, pero si elegimos una de las más lejanas la diferencia temporal podría llegar a ser realmente incomprensible (por ejemplo podría no existir esa civilización como civilización tecnológica, o incluso no existir simplemente).

Pero existe una demostración matemática para esta paradoja, que trataré de esbozar a continuación, al menos los principios físico-matemáticos en los que se basa, que son a su vez, la base de la relatividad especial de Einstein y Poincaré. Aunque todo proviene de la idea de espacio-tiempo de Minkowski, profesor de Einstein.

De hecho comenzaré por definir la distancia de Minkowski. Además, para poder representar el espacio-tiempo y ayudar a nuestro intelecto a asimilar la idea, nos centraremos en un espacio bidimensional, y el tiempo como tercera dimensión.

Usaremos una coordenada temporal t en el eje vertical, y 2 espaciales divididas por la velocidad de la luz (para simplificar la representación), medidas horizontalmente: x/c y z/c.

De esta forma, cada punto de este espacio-tiempo, representa un suceso, que tiene sólo existencia instantánea. Una partícula se representaría por una “línea de universo” mientras exista.

Basándonos en la propiedad de la teoría de la relatividad de que es imposible materialmente viajar más rápido que la luz, podemos dibujar “conos de luz” en esta representación tridimensional del espacio-tiempo.

La “distancia” minkowskiana, que tiene similitud con la distancia euclídea, pero con un significado diferente:

La distancia minkowskiana tiene el significado de tiempo “experimentado”.

Sólo para objetos en reposo t’=t, a medida que el punto aumenta de velocidad, t’ (distancia de Minkowski) disminuye, como podemos apreciar en la fórmula.

Normalmente, para objetos a bajas velocidades la diferencia es muy difícil de apreciar en cortas distancias, pero para un fotón que viaja a la velocidad de la luz (que dan lugar a las representaciones de “conos de luz”) t’=0. Es decir, y como ya he comentado innumerables veces en el blog, el tiempo se detiene. Un fotón no experimente el paso del tiempo.

Usando esta representación es muy fácil comprobar la veracidad de la paradoja de los gemelos.

AC representa la “línea del universo” del gemelo que se queda en casa mientras que AB y BC representan el viaje de ida y vuelta, respectivamente, del gemelo viajero. Aplicando la distancia de Minkowski tendremos claramente que AC > AB + BC.

El tiempo experimentado por el gemelo casero es definitivamente mayor que el de su gemelo viajero (así que ya sabéis viajad si queréis que vuestros amigos envejezcan más rápidamente ).

Este efecto está comprobado y medido en infinidad de ocasiones, y como ya he dicho más de una vez, los GPSs no serían tan precisos sin considerarlo.

Los “espacios simultáneos” dentro de la geometría de Minkowski, son aquellos que representan el espacio en cada instante para un observador, es decir, el conjunto de sucesos que él considera simultáneos.

Para un observador en reposo es fácil pensar que serán planos perpendiculares al eje temporal. Sin embargo para un observador en movimiento estos espacios no son perpendiculares al eje temporal.

Aquí incorporando el concepto de relatividad espacial, a través de los movimientos de Poincaré, descubriremos que tendrán una cierta inclinación, dependiendo de su “línea de universo”. Esta inclinación es en sentido contrario (de forma semejante a la distancia) al que cabría pensar en el mundo euclídeo. Aunque en realidad este sentido es indiferente para nuestra demostración.

Aún en pequeñas diferencias de velocidades, las diferencias temporales a grandes distancias pueden llegar a ser significativas.

En el caso del ejemplo (2 personas que paseando se cruzan, y Andrómeda), hablaríamos de 2 x 10 elevado a 19 kilómetros de distancia, y varios días de diferencia, en cuanto a lo que podemos considerar simultáneo.

Si aumentamos significativamente la distancia, yéndonos a otros supercúmulos de galaxias lejanos, la diferencia temporal se hace más y más acuciante.

Con las diferencias de velocidades y distancias adecuadas, puede incluso suceder que los mismos sucesos ocurran en orden distinto para 2 observadores.

Por ejemplo, un observador podría considerar simultáneos el hecho de que las naves espaciales de la civilización A se estén dirigiendo a la Tierra para invadirla, mientras que otra civilización B (muy alejada de la A, por su puesto), aún no tiene tecnología para viajes espaciales.

Sin embargo, para otro observador, en ese mismo instante, puede que la civilización B ya se esté dirigiendo a la Tierra a invadirnos, mientras que la civilización A aún o ha tomado esa decisión.

Esto es realmente “grillante”, ¿verdad?

Y, a pesar de todo, es cierto.

Disponemos a continuación una entrada con un artículo escrito por el investigador español C. Galicia y publicado en una vieja revista, al que hemos hecho algunos añadidos en fotos e imágenes, así como ciertos énfasis y subrayados en distinta presentación.

Mendo Crisóstomo

EINSTEIN, EL BRIBÓN – EL MAYOR FRAUDE CIENTÍFICO DEL SIGLO XX

Por C. Galicia
Los mitos pueden levantarse y crecer sobre la verdad o, por el contrario, surgir sobre la mentira.

Presentado como líder de la modernidad y de los tiempos futuros, Einstein no fue más que un pequeño bribón.

Este último caso es de Albert Einstein. Reconocido hoy por el sistema dominante de valores como el adalid de la paz y de la bondad humana, y reputado por casi todos como el más grande de los sabios conocidos que en el mundo han sido, su aúreo brillo no es más que una vulgar apariencia.

Presentado como líder de la modernidad y de los tiempos futuros, Einstein no fue más que un pequeño bribón.

“Este niño es retrasado”

El dictamen del doctor cayó como una losa sobre la pobre Pauline, madre del pequeño que con cuatro años apenas balbuceaba alguna palabra suelta.

Años después nacería su hermana Maya, mucho más despierta e inteligente, y que llegaría a acomplejarle influyendo notablemente en su carácter retraído y en su gran capacidad de resentimiento, en sus pésimas calificaciones escolares, etc…, pero también, por aquello de la “ley de compensación” de Jung y Adler, en ese deseo íntimo y profundo de notoriedad y afirmación (incluso de revancha) que le acompañará toda su vida, y que siempre tratará de disimular con un forzado aspecto inocente e inofensivo.
Cada nuevo fracaso hará crecer en él su resentimiento y rebeldía.

"Este niño es retrasado" El dictamen del doctor cayó como una losa sobre la pobre Pauline, madre del pequeño que con cuatro años apenas balbuceaba alguna palabra suelta.

Así, todavía impúber, acusará a “la máquina educativa alemana” de haberle engañado con creencias religiosas falsas (aunque tampoco le valdría la fe judía de sus padres), o falsificará, ¡¡¡ a los 15 años !!!, un certificado médico para no acudir a clase, e incluso renunciará a los 17 años a la nacionalidad alemana para eludir el servicio militar.
Ya de adulto él mismo reconocerá “no haber pertenecido nunca a mi país (Alemania), ni a mi propia casa, ni a mis amigos ni a mi familia”, sino tan sólo a la “tribu” (el movimiento sionista), como a él mismo le gustaba decir.

Quizás por ello no le importó dar a su hija mayor Lieserl en adopción, sin volver a preocuparse de ella en todo el resto de su vida, ni abandonar a su hijo Eduard, que era enfermo mental, en un psiquiátrico de Suiza sin nunca más volver a interesarse por su salud o su destino, ni maltratar de forma habitual a sus otros hijos tal y como siempre han reconocido, ni abandonar a su familia tras regalar a su mujer todo un rosario interminable de humillaciones y adulterios, regalo con que también obsequió a su segunda esposa, Elsa, etc.

En fin, quien desee conocer la edificante vida privada del “Genio” leerá con provecho el libro de Roger Highfield y Paul Carter titulado The privates lifes of Albert Einstein.

no le importó dar a su hija mayor Lieserl en adopción, sin volver a preocuparse...en todo el resto de su vida, ni abandonar a su hijo Eduard...enfermo mental, en un psiquiátrico...sin nunca más volver a interesarse...ni abandonar a su familia tras regalar a su mujer todo un rosario interminable de humillaciones y adulterios

El hombre que había cambiado cuatro veces de nacionalidad (alemana, suiza, alemana de nuevo, británica y norteamericana), se lamentaba de la siguiente forma:

“Quizás mi destino es que siempre me presenten como una bestia negra: soy un judío para los alemanes y un científico alemán para los ingleses“.

Lo más triste de todo es que a sus 17 años el pobre Albert Einstein se siente relegado, solo, socialmente inadaptado y fracasado en su más íntima vocación: llegar a ser un músico virtuoso.
A pesar de pertenecer a una rica familia judía que pudo pagarle las mejores escuelas de música de Munich, Milán y Aarau (Suiza), donde aprenderá el elitista método pestalozziano, a esa edad se dará cuenta que nunca pasará de ser un violinista mediocre. Había que buscar otra cosa.
Tenía que triunfar en la vida como fuera. ¡Sí, eso es! Sería un sabio profesor de matemáticas. Y a pesar de los pésimos resultados obtenidos en sus estudios secundarios, logrará al año siguiente ingresar en la prestigiosa Escuela Politécnica de Zurich.

A pesar de pertenecer a una rica familia judía que pudo pagarle las mejores escuelas de música, nunca pasará de ser un violinista mediocre

“Nunca seré doctor”

Pero como las matemáticas no eran su fuerte, se inclinará por la física, logrando licenciarse en 1900 con una nota de 4´91, un aprobado raspado con la necesaria décima por encima del mínimo suficiente para no suspender, siendo su tesina o memoria de licenciatura la que alcance la calificación más baja de todas.
Al año siguiente presentará la tesis doctoral, pero será rechazada. Cambia entonces de tema y se pone manos a la obra, pero resulta otra vez de nuevo un rechazo.

“¡Estoy harto, nunca seré doctor!”, escribía en 1903 a uno de sus amigos.
Sin embargo, su paso por la Politécnica de Zurich no resultará infructuoso. Enseñaban allí, por ventura para él, científicos de la talla de Weber, Wolfer, Hürdwig, Pernet o del gran matemático Herman Minkowski (el compilador de la teoría del espacio cuadrimensional y verdadero autor de la teoría de la relatividad especial). Además, allí conocería a su mujer, Mileva Maric…
Entretanto, Einstein ha comenzado a trabajar en la Oficina Comercial de Patentes de Berna y, aunque sólo lo hace en calidad de técnico de 3ª categoría, eso le permitiría relacionarse con los científicos más importantes de la época y se familiarizará con los éxitos de los nuevos inventos, aumentando su deseo de triunfar.
Al fin, en 1905, consigue ablandar al tribunal con una tesis “breve, anodina y carente del menor interés“ (según comentó uno de los tribunos), titulada Una nueva determinación de las dimensiones moleculares.

¡¡¡ Cinco años para un trabajo de 29 páginas con ideas plagiadas de aquí y de allá !!!
Pero el momento es propicio, idóneo para triunfar, porque el monolítico edificio de la física clásica de Newton se resquebraja por momentos, hace aguas por todos sitios, tocado en su línea de flotación. Además, como él no es nadie, al aventurar hipótesis no arriesga ningún prestigio. Así que, animado por este cúmulo de cosas, el bueno de Albert se enfrasca en el estudio de los grandes del momento: Mach, Lorentz, Weber, Maxwell, Boltzmann, etc., y saca sus propias conclusiones.
Pero a veces la lectura de estos grandes físicos era abstrusa, difícil, cargada de detalles matemáticos. ¿Cómo logró nuestro héroe salir del atolladero una vez y otra careciendo, además, de los conocimientos matemáticos precisos e imprescindibles?

Esta es una pregunta que se han hecho legiones, pero que en verdad tiene una fácil respuesta…

1905, “annus mirabilis”

Año en verdad “milagroso” aquel de 1905 para el joven Einstein. Al menos así lo han calificado todos sus hagiógrafos. Mas, ¿por qué?

Gracias a su relación con el Nobel Wilhelm Wien, jefe de redacción de la prestigiosa revista Annalen der Physik, nuestro genio logra publicar la tesis doctoral antes mencionada seguida de otros cuatro artículos que trastornarán el mundo de la física en particular y toda la epistemología en general.

Uno de los artículos (“Un punto de vista heurístico sobre la producción y propagación de la luz”), donde relacionaba la hipótesis de los “quanta” de Planck (aunque sin citarle, como era su costumbre) con el “fenómeno fotoeléctrico” de Lenard, le hará acreedor en 1922, nada menos, ¡¡¡ al premio Nobel de física !!!
En realidad se le quería premiar por otro artículo titulado Cuerpos movidos electrodinámicamente, donde esbozaba la teoría de la relatividad especial, ya antes expuesta y por separado por Maxwell, Lorentz, Kaufmann, Cherenkof, Poincaré y, sobre todo, por Minkowski, su antiguo profesor de Zurich; pero teniendo en cuenta la poca credibilidad de que gozaba dicha “teoría” entre la comunidad científica, y también porque dicha teoría tenía un número indeterminado de “padres” y no podía ser atribuída a una persona en particular, se juzgó más prudente atribuírselo por la cuántica.

Einstein y sus correligionarios de calaña sionista, liberal, capitalista, mundialista y progresista

Aunque el espaldarazo definitivo como “Pontifex Maximus” de la conciencia universal no le llegará hasta el año 1922 con el Nobel, de hecho, aquellos cuatro artículos de los “Annalen” le dieron un “cachet” y una popularidad inusitada. En todos los círculos científicos e intelectuales de Europa y de América no se hablaba de otra cosa que del joven Einstein y de su “teoría” de la relatividad.
Lo más difícil ya estaba hecho. Había dado con la clave de su tiempo; en una época en que los valores absolutos (amor, honor, patria, familia, Dios…) empezaban a cobrar renovada fuerza en la Europa continental, la idea relativista (aceptable en sí misma), derivando hacia el relativismo subversivo que patrocinará con éxito nuestro “genio”, conmocionará las conciencias y se revelará como un filón inagotable, como el deus ex machina de la causa liberal-capitalista y progresista.

Einstein, al fin, había llegado. Ahora le ofrecían explicar la “Teoría de las radiaciones” en la Universidad de Berna. Y aunque no pueda decirse que sus comienzos como profesor fuesen particularmente brillantes (el primer año sólo se matricularon cuatro alumnos en su asignatura y al año siguiente sólo lo haría uno, el lituano nacionalizado alemán Max Stern), no fue óbice para que, de forma inmediata, se le ofreciera, gracias a los oficios de su buen amigo Kleiner, una plaza de “Privatdozent” en la Universidad de Zurich. Después vendrían Praga, Zurich de nuevo, Berlín, etc.
Año “milagroso” en verdad aquel de 1905, pues ni en los años anteriores ni posteriores a esa fecha volverán a tener sus trabajos ni la altura, ni la originalidad, ni la brillantez (ni tampoco, ojo, el estilo literario) alcanzados por esos cuatro artículos de los “Annalen der Physik”.
Mas a nadie se le oculta que detrás de todo milagro siempre se encuentra un misterio.
¿Cuál era, pues, el misterio de Albert Einstein?

Mileva Einstein, nacida Maric

El primero en sorprenderse por la calidad y la originalidad de aquellos trabajos fue Hermann Minkowski que, como profesor suyo que fue, conocía bastante bien las limitaciones de su antiguo alumno. “¿Einstein? Si hubiera sido Grossman -se decía-, o Wegener, o esa chica tan lista de Mileva… Pero Einstein… que se “fumaba” las clases…“

Todo acabó indicando que las "geniales ideas" pertenecían en realidad a su esposa, Mileva Maric

Sin embargo, factum est illud, y Einstein era su autor… Hasta que en febrero de 1990, en la reunión anual de la American Asociation for the Advancement of Science (AAAS, Asociación Americana para el Avance de la Ciencia), estalló la bomba.
El físico Evans Harris Walker, de Aberdeen (Maryland), y la filóloga Senta Troemel-Ploetz, de la Universidad de Bonn, analizando de forma separada y bajo sus respectivos criterios los trabajos publicados por Einstein en los “Annalen der Physik” en 1905, así como la correspondencia privada entre Einstein y su esposa Mileva, llegaron a la sorprendente conclusión que, tanto las geniales ideas atribuídas al primero, así como el tremendo trabajo de formulación matemática, pertenecían en realidad a su esposa Mileva Einstein, nacida Maric.
Esto explica el sorprendente “bajón” que sufre la obra einsteiniana, tanto en cantidad como en calidad, a partir justamente de 1919, fecha de la separación del matrimonio Einstein.
A partir de entonces, Albert siempre trabajará asociado con otros físicos (como Podolsky, Bose, Nathan, Rose, De Sitter, Infeld, Hoffman, etc.), dando muestras además de una dependencia continua y manifiesta en lo que a formulación matemática se refiere (matemáticos asalariados que trabajaron para él fueron Grossman, Groumer, Lanczos, etc.)
Ernst Strauss recuerda cómo, cuando no entendía algún desarrollo matemático, solía decir: “estoy convencido, pero no convencido”.
Se podrían escribir miles de anécdotas que acreditarían fehacientemente el juicio de Evans H. Walker cuando dice:

“Mileva era mayor que él e inicialmente la líder en iniciativa especulativa“.

Recordemos cómo, por aquel entonces, estudiaba muy poca gente, pudiendo Einstein ingresar fácilmente y ¡¡¡ graduarse !!! en la prestigiosa Politécnica de Zurich.
Sin embargo, Mileva, a la sazón única mujer del curso, tuvo que “dar la talla”, resultando incomparablemente más inteligente y brillante que él. Ambos tenían en común la afición por los clásicos de la física, al igual que un acusado problema de relación social (Mileva era coja de la pierna derecha), lo cual les acercó sentimentalmente. El bribón de Einstein pronto se dio cuenta de que aquella chica era una mina y que, trasladando sus ideas a otros campos (filosofía y política, principalmente), podían tener un buen mercado.
De esta forma, aprovechado sus relaciones y contactos entre la constelación de grupúsculos y cenáculos sionistas, progresistas y mundialistas a los que pertenecía (“Patria Nueva”, “Amigos de la Nueva Rusia”, “Liga del Padronazgo en pro de un Gobierno Mundial”, etc.), le hará encumbrarse.

Un detalle bastante revelador aportado por Senta Troemel-Ploezt es que, cuando Albert y Mileva se separaron en 1919, el decreto de divorció incluyó la cláusula de que, en caso de recibir Einstein algún premio por los artículos publicados en los “Annalen der Physik”, debía entregárselo íntegramente a Mileva.
Y así fue que tres años después Albert Einstein entregó el dinero del premio Nobel a su ex-esposa. Pero lejos de tratarse de un gesto de la proverbial magnaminidad atribuída a “San Alberto Einstein” por sus hagiógrafos, lo fue en realidad por imperativo legal y elemental justicia, toda vez que, como pudo demostrar Mileva ante el juez, Einstein se había estado apropiando desde el periodo inicial de las relaciones (vivieron juntos cinco años antes de casarse) de todos los trabajos e inventos que ella había realizado, valiéndose para ello de su puesto en la oficina de patentes, para patentarlos con su propio nombre e, incluso, ¡¡¡ a nombres de terceros !!!, sin figurar Mileva en ellos para nada, pues, como solía decir el “Genio”:

“Yo no me imagino a una mujer Galileo, ni Kepler, ni Miguel Ángel”.
Pero este asunto no era nuevo, la doctora Troemel-Ploetz, ha demostrado además cómo todo este “affair” fue ya denunciado treinta años antes por el físico serbio y amigo del matrimonio Einsten, Abraham Joffe (Mileva era hija de padres serbios emigrados a Suiza), en un libro en donde testimoniaba haber visto, él mismo, los apuntes y los originales de los manuscritos más tarde publicados en los “Annalen der Physik”, escritos con la caligrafía de Mileva Maric.

Todo evidencia que algo muy gordo y muy turbio se oculta en el mito de Einstein

El simple hecho de que estos sucesos no afecten a la enmarcable figura de “El Genio”, sino que ni siquiera trasciendan y pasen inadvertidos para el gran público, así como el protagonismo alcanzado en la prensa diaria sólo comparable con el ostracismo al que son condenados los científicos disidentes del Dogma, la complicidad de revistas científicas tenidas por “serias” en este feo asunto, así como las cantidades astronómicas de dinero que se gasta Alemania para demostrar… ¿qué?, evidencian per se que algo muy gordo y muy turbio se mueve detrás del mito de Einstein.
Como dice el profesor Thruillier en la revista “La Recherche” (nº 96, enero 1996, pág. 16):

“Todo acontece como si la física relativista fuera, en un dominio particular y concreto, la realización de un programa mucho más amplio: construir un mundo “suprapersonal”, un mundo situado más allá de nuestras sensaciones y nuestras percepciones, pero dotado de una realidad superior“.
Sólo recordemos el papel que en todo este entramado ha jugado el “Council on Foreing Relations” (CFR) de los EEUU, así como la Trilateral.

“Mein Führer ist Cain Weissmann”

Decía Max Weber en “El científico y el político” que “quien hace política pacta con los poderes divinos o diabólicos que acechan en torno al poder… quien busque la salvación de su alma y de los demás se arriesga por el camino de la política, porque el genio de la política vive en tensión con el dios del amor“.
En relación con esta idea, Isidro-Juan Palacios, en la revista “Punto y Coma”, decía que, “también la actividad científica, fuente mágica de poder, ha sido usada por el hombre como vía de usurpación y de autonomía en relación con el espíritu, y por eso también se ha diabolizado”. Parece como si ambas reflexiones hubieran tenido, consciente o inconscientemente, a Einstein como punto de referencia.
“Einstein -reconoce un relativista como Eddington- abolió el infinito, modificó ligeramente sus ecuaciones para hacer que el espacio a grandes distancias resultase curvo, hasta quedar cerrado“.
Y William Popperll, de la Universidad de Columbia, dice que “la luz es para Einstein el nuevo Único, el Absoluto en un mundo donde todo lo demás es relativo“.
Y recapitulando diremos que puesto que ya no existen ni el espacio ni el tiempo por separado, sino el espaciotiempo, es decir el movimiento unido a la velocidad, éste es el concepto fundamental de la física relativista. Por eso ya no hay en el mundo ni reposo ni paz.(…)
El “Genio” atómico había pedido en una carta enviada a Roosevelt la utilización masiva de la bomba de uranio sobre Alemania insistentemente, y no sólo el 2 de agosto de 1939 (antes del estallido de la II Guerra Mundial) como se ha dicho, sino también el 7 de marzo de 1940.

El "Genio" hizo todo cuanto estuvo en su mano para CONSEGUIR el bombardeo de Hiroshima y Nagasaki: las dos ciudades católicas del Japón

“Sólo el poder organizado -había dicho para justificarse- puede hacer frente al poder organizado“. Exactamente la misma frase (y en la misma lengua alemana) que Hitler había pronunciado seis años antes, sólo que éste, que iba muy por delante en investigación y tecnología nuclear que el resto de los países, había prohibido expresamente su uso.
Cuando Einstein asistió en 1921 a una convención sionista en Nueva York, proclamó ante diez mil correligionarios:

“Mein Führer ist Cain Weissmann. Folge Ihn. Ich habe Gesprochen” (Mi líder es Cain Weissmann. Síganlo. He dicho”).

Como se ve, “todo es relativo”, sólo depende desde donde se posicione cada uno.

Anexos al artículo

1) Contumancia einsteiniana
En una jugosa e interesante velada (que Heisemberg nos relata en su libro Diálogos sobre la física atómica) celebrada en casa de Böhr en 1932 en Copenhague, Oskar Klein preguntaba lo siguiente a Böhr:
Klein - “¿No es extraño que Einstein tenga tantas grandes dificultades en aceptar el papel del azar en la física cuántica? (…) ¿La rechaza sólo porque el azar es básico en ella?“

Heisemberg – “…es justamente ese carácter básico el que le perturba. Que no sepamos, por ejemplo, cómo se mueven dentro de un puchero lleno de agua cada una de las moléculas de agua, es algo evidente. Por eso, los científicos tenemos que aplicar en este caso la estadística, de modo parecido a como, por ejemplo, lo hace una sociedad de seguros de vida con sus asegurados… En la física clásica se había admitido que se podía seguir el movimiento de cada molécula y determinarlo según las leyes de la mecánica newtoniana… Pero las cosas no suceden así en la mecánica cuántica. No podemos observar sin perturbar el fenómeno que obsevamos, y los efectos cuánticos de esta perturbación llevan por sí mismos a una indeterminación del fenómeno que queremos observar. Esto es lo que Einstein se niega a aceptar. Él considera que se deberían decubrir en el futuro determinados nuevos parámetros de determinación del acontecer… pero esta pretensión es, sin duda alguna, falsa“.

Böhr - “…no estoy plenamente de acuerdo con eso de que la observación perturba el fenómeno. Más bien debería hablarse de la imposibilidad de objetivar el resultado de la observación, tal como se hacía en la física clásica: distintas situaciones de observación son complementarias entre sí, lo cual quiere decir que se excluyen (o complementan mutuamente), que los resultados de una no pueden compararse unívocamente con los de otra… La complementariedad es un aspecto central de la descripción de la naturaleza que había existido siempre, especialmente en la forma dada por Gibbs, pero a la cual no se había prestado la atención suficiente; mientras que Einstein siempre parte del mundo conceptual de la mecánica newtoniana, o de la teoría de campos de Maxwell, y no ha captado los caracteres complementarios en la termodinámica estadística“.

2) Einstein y la bomba atómica
El Proyecto Manhattan sería el encargado, a principios de los años 40, de llevar a cabo la construcción de las primeras bombas atómicas durante la Segunda Guerra Mundial, bajo el mandato del presidente Roosevelt en los EEUU.
Oppenheimer y Fermi serían dos de las figuras de primerísima fila en el proyecto. Todos sabemos lo que ocurrió después: Hiroshima y Nagasaki fueron completamente destruídas y con ese holocausto quedó inaugurada la era atómica.
Pero no todo fue fácil hasta llegar a aquel instante. Momentos hubo de indecisión, parálisis o pérdidas de tiempo. Y fue en ellos precisamente donde la figura de Albert Einstein jugaría un papel definitivo. Viendo que los progresos sobre la construcción de la bomba iban lentos, los científicos Wigner, Szilard y Tiller, los tres al servicio del poder americano, pidieron a Einstein, ya que gozaba por aquellos años de un notable prestigio internacional, que escribiese al presidente Roosevelt instándole a apoyar sin paliativos las investigaciones para la construcción de la bomba, dotándoles de los medios necesarios. El texto de la carta que Einstein escribió el 2 de agosto, y que le fue entregada en mano al presidente Roosevelt el 11 de octubre de 1939, decía:

“…en el curso de los últimos cuatro meses se ha hecho patente mediante el trabajo de Joliot en Francia, así como de Fermi y Szilard en América, que pueden establecerse reacciones en cadena en una gran masa de uranio, de forma que puedan ser generadas grandes cantidades de energía. Este nuevo fenómeno podría también conducir a la construcción de una bomba de una nueva clase y extremadamente poderosa.
Un nuevo artefacto de este tipo que hiciese explosión en una ciudad o en un puerto podría destruirlos completamente. Un bombardeo masivo de este tipo sobre Alemania garantizará a América una victoria segura en una guerra previsible“.

Como sabemos, la guerra en Europa terminó antes de que las bombas estuviesen listas, pero quedaron preparadas para ser lanzadas sobre el Japón.
Sus efectos devastadores fueron de todos conocidos.
Y de tales efectos se sabe que el propio Einstein se llegó a sentir responsable directo. Fue por ello que volvió a escribir a otro presidente, esta vez a H. Thruman, alarmado no precisamente ante el desarrollo de la bomba de hidrógeno por los norteamericanos, sino ante el anuncio de los sovéticos de desarrollar su propio arsenal nuclear:

“La destrucción de toda la vida sobre la tierra ha entrado dentro del campo de las posibilidades técnicas. Todo parece encuadrarse en esta siniestra marcha de los acontecimientos. Cada paso es consecuencia del anterior, y al final de este camino se perfila cada vez más claramente el espectro de la aniquilación general“…

3) Credo científico de San Alberto Einstein
Citas extraídas de los escritos de Einstein sobre sí mismo (Albert Einstein. Correspondencia 1903/1955. Editorial Hermann, 1962, págs. 8, 12 y 13)
“Einstein, ermitaño de Princeton, el físico que marchó a la búsqueda del movimiento perfecto (como Moisés recibiendo las Tablas de la Ley en el monte Sinaí). Einstein, en la cima de la montaña de Dios, os invita a subir por la escala de Jacob que termina a los pies de Dios“

“La persecución del conocimiento viene a ser una especie de búsqueda mística que nos acerca a la Verdad Suprema. El método científico funda la única verdad que puede prevalerse de razón y objetividad. Yo os muestro la única forma indiscutible de verdad“.

“San Einstein es el Genio místico, el Sumo Sacerdote de la física, el Profeta que os conduce a través de su pasión hacia la verdad y el conocimiento, suprema gracia de nuestra religión cósmica y liberadora, estadio supremo de la ciencia. Mi Gran Obra, sostenida por mis catedrales de las matemáticas, debe haceros descubrir el nuevo paraíso. Por eso es preciso que abandoneis al dios personal (“interviniente” en el curso de los acontecimientos) para así poseer la Verdad-Una“.

Just a problem given by my colleague. Need to think thousand times to answer it to say it’s difficult. Peace bro ^^

Let be a nonzero null vector defined on -dimensional Minkowski space. If a vector satisfies , prove that

1. is either spacelike or null.
2. If is a null, then for some constant .
3. The set of vectors which satisfies is a -dimensional vector space . And a set whose elements null vectors is a one-dimensional vector subspace of .

Solution:

1. Suppose is timelike, then there exists a frame such that takes a form . Since is a null, then it must have a nonzero time component. Then, . It’s a contradiction.
2. Since is a null, then there exists a frame such that it takes a form for some constant , and it is the zeroth and th-components of , with . Since is a null and satisfies , it also must take a form in , for some constant , and the position of is the same as the position of in . Thus it is very easy to see that this relation holds, , with . We can guarantee that since the vector is nonzero.
3. From a relation for the first question, and for the second, it’s such an easy to prove.

2. Juni 2009

If you haven’t seen this episode: Spoilers follow after the break, brotha…

Frankly, this episode was niiice. I thought it was good to be away from the ‘main’ plot of Jack, Kate, Sayid….. getting back to the island for an episode.

Though, I guess I may be in the minority in thinking that. A lot of people, I’m sure would rather have resumed that storyline from last time.

But, this episode offered some interesting revelations:

Widmore. He was on the island! I always suspected this due to his extreme interest in the island, but it’s nice to know more about his past. We still can’t tell why exactly he was on the island — he doesn’t appear to be part of the US military / army who were there to test the H-bomb; especially as it seems that Richard’s people have killed them all off. And it should be more interesting to find out how he ends up off the island with no idea how to go back and a life long desire to do so.

I don’t think Charlotte will suffer the same fate that Minkowski did, and that Desmond nearly did. At least, I hope that she doesn’t. Initially I was unsure about her character, but it seems that she has some interesting stories to tell. Especially with that hint that she may have been born on the island. Also; she seems enough of a major character now to not be killed off so close to her introduction.

Will Desmond meet anyone we know in Los Angeles (Jack? Kate? Ben? — that might spell trouble for Penny). It’s weird, because both Penny and Desmond seem to be under the impression that Widmore is out to get them. Yet I don’t see any reason for him to do so & we know that Ben has more of a reason. Am I missing something?

According to what I’ve read, the ‘enhanced’ version of the Lie (episode 2) which gets shown after the normal showing in the US revealed that Ms Hawking’s [the old woman who knows about time who talked to Desmond and more recently, Ben] first name is Elouise. Sound familiar? That mouse that Faraday had was named Elouise. And, the girl that was holding a gun pointed at Faraday for a large point of this episode was called Ellie!

Could that be Faraday’s mother? After all, Desmond was told that she was in Los Angeles — where Ben is, with Ms Hawking [the old woman :p]. At this point, it’s looking fairly likely!

Thought it was nice that Penny & Des’s boy was named Charlie.

Anywho…. that’ll do for now, I’m sure that I’ll think of something more to put here later.

/

Last week, I began to discuss the ideas of multi-dimensional thought. I really don’t have anything to go upon except my own ideas. I have looked briefly for web resources and haven’t found anything. I have some books on the way but until then I want to see if we can cover some territory.

I guess where we need to start is with trying to understand what dimensions of thought may be. I guess I will approach this linguistically – what types of writing do we do and how do they relate to geometric shapes.

* These are the areas that I would like to explore and see if there are methods of relating in the 4th dimension.

I’m leaning towards a Euclidean space versus a Minkowski space. Minkowski space is basically adding time to the standard 3 dimensions. Linguistically this would lead to story or poetry over time. Thus we end up with history or experience. This is unsatisfactory as a method for critical interpretation within a singular text.

Euclidean space holds the (hope) for internal investigation of a text. By measuring the distance between key words or ideas, there may develop patterns and shapes that suggest a deeper logic than previously appreciated. If these patterns do exist, it may be possible to develop rules for grammar and composition.

Your thoughts?

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That’s right. Today I’m going to talk about where my blogging name (and basically my online name everywhere) came from.

If you go up to a mathematician and ask if they know who David Hilbert is, chances are they will say, “Yes! He is one of the most famous mathematicians of all time.” If they are problem oriented, then they will probably go off on his 23 problems that were presented at the International Congress of Mathematics in 1900. They may even say that this is what the current “Millenium problems” are based on.

On the other hand, David Hilbert is quite well-known to philosophers of math and science as the great formalist. He wanted to completely axiomatize mathematics. He was concerned with constructive proofs from these foundations. People on this side of the fence probably are familiar with his quote, “Wir mussen wissen. Wir werden wissen.” (or “We must know. We will know.”)

I want to present some history that is lesser known. There are many theorems associated with Hilbert. People familiar with algebraic number theory are used to seeing things like “HIlbert’s Theorem 90″ or “Hilbert’s Theorem 92″ (often also called Hilbert Satz 90 …) etc. But what are these referring to? It can’t possibly be his 90th theorem.

These theorems are in reference to Hilbert’s book Zahlbericht. He wrote the text in 1897, and it was the number theory text that many famous mathematicians such as Artin, Hasse, Hecke, and Weyl used (it was basically the only modern treatment of algebraic number theory available). One should note that this is remarkable considering “bericht” means “report,” and Hilbert literally wrote this text as a report of the state of algebraic number theory for the German Mathematical Society.

When Hilbert was comissioned to write the report, he was to work with Minkowski to write the state of all of number theory. Minkowski’s half was never written.

It is also rather interesting to note that although Hilbert had done work in algebraic number theory, this was a report on all of number theory, so the intent was not original work. In fact, the work that Hilbert is most known for in the field had not even been done yet. The report was designed to give direction to the field. It is because of this that it received much criticism most notably from Kummer who blamed Hilbert for the delays in some of his publications. This is probably a valid argument considering Hilbert often criticized Kummer for using complicated computations and even said that he avoided a lot of his work in the report. Hilbert even went ahead and replaced many of Kummer’s proofs with his own (e.g. satz 166-171 are Kummer’s theorems but Hilbert’s proofs).

One interesting historical point is how our notation and terminology has evolved over the past 100 years. For instance, many simple ideas from algebra had not been formalized yet such as a quotient group. At one point Hilbert writes, “the members of G are obtained precisely once when we multiply the members of H by where g is a suitably chosen member of G.” In our current terminology we would just say, “ is a finite cyclic group.”

On the other hand we now get to Hilbert’s Theorems 89-94, which are considered to have influenced the subject in a very positive way. The 90th theorem (my name!) is arguably the most famous. This actually is one of Kummer’s. I won’t go into the original, but in modern terminology it is: If is a finite Galois extension of with cyclic of order n (with generator ), then if , then if and only if for some . A generalization in terms of cohomology was found by Emmy Noether.

So next time you run into a theorem labelled “Hilbert Theorem ___” or “Hilbert Satz ____” you know where it came from. You also know that it is very likely that it is not Hilbert’s theorem at all, but was just compiled by him for a report.

Citations: I must admit that little is published on this subject and everything I wrote here I got from the introduction to the english edition of the Zahlbericht by Lemmermeyer and Schappacher. The exact statement of the 90th satz was taken from Larry Grove’s Algebra.

Al hilo del último apunte en el que veíamos cómo la noción de simultaneidad es relativa y depende del observador, vamos a centrarnos ahora en la relación entre la velocidad de la luz y los viajes en el tiempo. Concretamente vamos a ver por qué superar la velocidad de la luz supone un viaje hacia atrás en el tiempo. En primer lugar, hay que insistir en que al referirnos a la velocidad de la luz estamos indicando la constante física c, que indica la velocidad -medida localmente por cualquier observador- a la que partículas sin masa se desplazan por el vacío. Esto es, ni se trata de ser más rápido que la luz en un medio material cualquiera, ni los fotones tienen algo especial a los efectos que nos ocupan que no tengan otras partículas sin masa.

Dicho esto, lo primero que hay que preguntarse cuando se habla de superar la velocidad de la luz es en qué sistema de referencia se mide dicha velocidad. No hay sistemas de referencia absolutos, por lo que la medición de velocidad no tiene sentido si no se da esa información adicional. A partir de ahí, podemos analizar qué efecto tendría ese desplazamiento a velocidad superlumínica en otros sistemas de referencia en movimiento relativo con el primero. Vamos a verlo con un experimento mental: estamos en la final de la Copa Davis entre Argentina y España, y el equipo local lo ha preparado todo para un juego rápido: pista de moqueta sintética y pelotas de taquiones. Estas pelotas tienen la propiedad de poder superar la velocidad de la luz en el sistema de referencia de la raqueta que las golpea. En el primer partido tenemos a Del Potro al servicio, y a Nadal al resto. En previsión del saque que se avecina, Nadal retrocede a velocidad v. Del Potro se dispone a sacar, bota la pelota, y … punto para Rafa Nadal. Veámoslo en un diagrama:

Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Vamos a suponer por simplicidad que la velocidad de la pelota taquiónica es infinita en el marco de referencia de la raqueta, es decir, llega a su destino instantáneamente. El saque de Del Potro es el evento A, simultáneo en su sistema de referencia con el evento B (la pelota llega a Nadal). Este devuelve la bola a velocidad infinita en su propio sistema de referencia, con lo que llega a Del Potro (evento C) ¡antes de que éste hubiera realizado el saque! De manera cuantitativa: Del Potro saca en el instante t según su reloj, y Nadal recibe la pelota en ese mismo momento según el primero. Dado que según Del Potro Nadal está en movimiento y el tiempo avanza más lentamente para él, cuando para el primero han pasado t segundos para Nadal han transcurrido t‘=t/γ. Nadal está de acuerdo en que recibe la pelota y devuelve el resto en t‘=t/γ, y puede razonar de manera simétrica para determinar cuándo llega la pelota del vuelta a Del Potro, ya que para él es este último el que se mueve. Así cuando en el reloj de Nadal es t‘=t/γ, para Del Potro han pasado t”=t‘/γ=t/γ²<t segundos. Por lo tanto, su resto llega a Del Potro antes de que éste sacara.

Añadamos a esto que si la sorpresa de recibir el resto impide a Del Potro realizar el saque, acabamos de construir una paradoja temporal, de esas que tanto nos dan que pensar. El corolario sería que hay que jugar en tierra batida con pelotas ordinarias para evitar que el espacio-tiempo colapse, pero nos desviamos del tema. Este retroceso en el tiempo desde el punto de vista de algunos observadores es inevitable cuando se produce influencia causal entre dos eventos A y B con separación de tipo espacio, ya que hay sistemas de referencia en los que A es anterior a B y viceversa (además de sistemas de referencia en los que A y B son simultáneos). No se trata de ningún tipo de efecto visual debido al desplazamiento superlumínico, sino de una genuina inversión cronológica, que no sólo puede hacer que en un cierto sistema de referencia el efecto anteceda a la causa, sino que podría dar lugar a que el observador interfiriera con esta última después de producido el efecto, abriendo la puerta a paradojas causales. En el marco de la relatividad especial no es posible en cualquier caso construir líneas de universo de tipo espacio, por lo que este tipo de paradojas estaría excluido. Las cosas no son sin embargo tan simples si nos movemos a la relatividad general, pero eso es ya otra guerra.

Siguiendo con la serie sobre el espacio-tiempo de Minkowski, y antes de adentrarnos en los vericuetos de los espacios-tiempos curvos, vamos a ver un par de pinceladas más de cómo esta interpretación geométrica nos puede ayudar a entender algunos aspectos anti-intuitivos de la relatividad especial. Consideremos por ejemplo las diferentes “paradojas” que parecen surgir dentro de la teoría (la de los gemelos, la de la escalera en el granero, etc.). Dichas paradojas brotan de intentar combinar la idea clásica del espacio y el tiempo separados y absolutos -muy arraigada en nuestro subconsciente- con la del espacio-tiempo unificado con geometría minkowskiana. Tal como puede verse en el primer diagrama que empleamos para representar los sistemas de referencia de dos observadores en movimiento relativo, el espacio y el tiempo de uno son una mezcla del espacio y el tiempo del otro, y viceversa. Esto conlleva entre otras cosas que la noción de simultaneidad sea relativa a cada observador, tal como se ve en la imagen inferior.

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Esta relatividad de la simultaneidad es un ingrediente esencial de muchas de las paradojas, ya que a la postre indica que la ordenación temporal relativa de dos eventos depende del observador. Por ejemplo, los eventos A y B en la imagen superior son simultáneos para O, pero para O’ A es posterior a B. Del mismo modo, C y D son simultáneos para O’, pero C es anterior a D para O. Finalmente, F es un evento anterior a E desde el punto de vista de O, pero para O’ es precisamente al contrario. Esto -unido a la velocidad finita de transmisión de las señales- permite entender muchas paradojas, como por ejemplo la del mosquito y el remache, que ya tratamos hace algún tiempo: desde el punto de vista del remache primero se produce el impacto en el fondo del orificio, y luego la cabeza choca contra la pared, mientras que para el mosquito el orden de los eventos es el inverso.

Otra paradoja muy relacionada es la de la escalera en el granero: tenemos una escalera de longitud L₁ y una granero de longitud L₂ (distancias medidas cuando están en reposo el uno con respecto al otro), siendo L₁ > L₂. Nos movemos a velocidad v hacia el granero, y desde el punto de vista de un observador en reposo dentro del mismo, el tamaño de la escalera es L‘₁ = L₁/γ < L₁, donde

es el factor de Lorentz. A una velocidad lo suficientemente cercana a la de la luz, L‘₁ < L₂, por lo que este observador considerará que hay un instante en el que la escalera está totalmente contenida en el granero (para recalcar más este hecho, podemos imaginar que pulsa un botón que durante un instante cierra y luego abre la puerta delantera y la trasera del granero de manera simultánea, con lo que la escalera está efectivamente encerrada dentro del granero). Sin embargo, desde el punto de vista de la escalera el granero tiene una longitud L‘₂ = L₂/γ < L₂ < L₁, por lo que nunca podrá estar totalmente dentro del granero. Para este segundo observador, el extremo delantero de la escalera sale por la parte de atrás del granero antes de que la parte trasera haya entrado. Si en el diagrama anterior A y B representan el cierre de la puerta delantera y el cierre de la puerta trasera respectivamente (simultáneos para el observador en reposo en el granero), puede verse que al trazar la línea de simultaneidad para O‘ -la escalera- de  A (la puerta delantera se cierra), el evento B (la puerta trasera se cierra) es anterior.

Para resolver otra aparente paradoja como la célebre de los gemelos, no necesitamos hacer uso ni siquiera de la noción de simultaneidad, ya que como Villa indicaba en este hilo de comentarios, nos basta con recurrir a la propia geometría del espacio-tiempo. Si uno de los hermanos viaja a velocidad v hasta una distancia d=vt y vuelve a la misma velocidad (suponemos velocidad constante por simplicidad, pero realmente no es imprescindible), siempre desde el punto de vista del observador en la Tierra, el trayecto espacio-temporal A_[0,0] → C_[t,d] → B_[2t,0] del viajero tiene longitud

i.e., , mientras que el suyo en reposo en la Tierra (A → B) es

por lo que t_AB=2t. Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal, el viajero mide lo mismo (véase aquí una resolución algebraica). Ambos concluyen por lo tanto que el viajero ha envejecido menos.

El próximo día seguiremos sacándole punta a esta relatividad de la simultaneidad, y veremos cómo superar la velocidad de la luz en algún sistema de referencia puede producir paradojas causales.

La pequeña incursión en el espacio-tiempo de Minkowski que comenzamos hace un par de días nos llevó hasta el concepto de métrica. Mediante ésta se pueden medir distancias entre eventos y ángulos entre vectores en el espacio-tiempo. En el caso minkowskiano, dicha métrica difiere de la del espacio euclídeo en que el componente temporal tiene signo diferente a las dimensiones espaciales, lo que tiene consecuencias profundas en las propiedades del espacio-tiempo.

En primer lugar, vimos como en nuestro sistema de referencia en reposo, los ejes t’ y x’ de un observador en movimiento relativo con nosotros no forman un ángulo de 90º, a pesar de lo cual siguen siendo ortogonales. Es fácil verlo, ya que cualquier vector a lo largo del eje t’ tiene en el sistema de referencia de O la forma (t₁, vt₁) para un algún valor de t₁, y del mismo modo cualquier vector a lo largo del eje x’ tiene la forma (vt₂, t₂). Por lo tanto, su producto interno es -t₁vt₂+vt₁t₂=0. Por supuesto, en O’ se da la misma situación, ya que cualquier vector a lo largo de t‘ tiene la forma (t‘,0), y cualquier vector a lo largo de x‘ tiene la forma (0, x‘). De hecho, el resultado de este producto interno es el mismo en cualquier sistema de referencia, lo que es una de las grandes ventajas de este marco de trabajo. Al estar operando con objetos de naturaleza geométrica, expresiones tales como G(r,s) son independientes del sistema de referencia que estemos considerando (un vector y en general un tensor se representará de manera diferente en distintos sistemas de coordenadas, pero el objeto geométrico es siempre el mismo).

Esta invariancia es especialmente importante cuando se mide la distancia entre eventos del espacio-tiempo. Consideremos dos eventos A y B, y un vector s que los une. En el espacio euclídeo tenemos G(s,s)=s², esto es, un valor positivo que representa el módulo al cuadrado del vector s. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowski esta cantidad puede tomar un valor negativo. Dicha cantidad sigue representando no obstante una distancia o una separación entre puntos del espacio-tiempo, y dependiendo de su signo puede ser de tres tipos:

• Si s²>0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo espacio. Lo que ocurra en uno de estos eventos no influirá causalmente en el otro, ya que la pendiente m de la recta que los une verifica 1/m>1 (i.e., haría falta comunicación a velocidad superlumínica para transportar dicha influencia causal – aquí cabría hacer algún comentario sobre la paradoja EPR, pero lo dejamos para mejor ocasión).
• Si s²<0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo tiempo. Un observador podría desplazarse entre los mismos, esto es, uno de los eventos estaría en el cono de luz futuro del otro.
• Si s²=0 tenemos dos puntos con separación de tipo nulo. Además del caso trivial en el que los dos puntos coincidan, esta separación indica que un rayo de luz puede conectar ambos eventos.

En la figura inferior se muestra la situación relativa de estos eventos con respecto a un observador. Todos los eventos cuya separación con respecto a dicho observador es de tipo tiempo están dentro de su cono de luz (futuro o pasado cronológico). La frontera del cono de luz la forman precisamente los eventos con separación de tipo nulo, y su unión con el futuro/pasado cronológico define el futuro/pasado causal.

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estos intervalos espacio-temporales tienen además una interpretación muy relevante. Una separación de tipo tiempo representa el tiempo propio experimentado por un observador que se desplaza entre dichos eventos. Del mismo modo, una separación de tipo espacio representa la distancia medida por la regla de un observador en el que ambos eventos son simultáneos. Todo esto es sumamente interesante, ya que nos permite derivar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, consideremos un observador que se desplaza a velocidad v con respecto a nosotros. Sincronizamos nuestros relojes cuando nos cruzamos, y vemos que tras un tiempo t en nuestro reloj, el otro observador está en x=vt. Para este segundo observador habrá pasado un tiempo t’ y el no habrá percibido movimiento (i.e., x‘=0). Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal tenemos que -t²+v²t²=-t‘², o lo que es lo mismo tras despejar, t‘=t(1-v²)^1/2. Hemos obtenido la dilatación temporal, y razonando de manera análoga podemos obtener la dilatación espacial. Chachi, ¿verdad?

Hace un par de días celebrábamos el centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y de su presentación en sociedad por parte de Hermann Minkowski. Gracias a él, la relatividad especial de Einstein se dotó de una interpretación geométrica sumamente poderosa y elegante, que además de permitir reconciliar las percepciones aparentemente paradójicas de diferentes observadores, fue el punto de partida para la generalización de la teoría. Existen diferentes formas de definir el espacio-tiempo de Minkowski de manera formal, pero para simplificar vamos a ver una aproximación más cualitativa.

Empecemos por considerar la perspectiva de un cierto observador O, que vamos a representar en un diagrama en el que el eje vertical t es el tiempo, y el eje horizontal x es el espacio (como es habitual, supondremos por simplicidad en el diagrama que hay una única dimensión espacial). Si elegimos unidades en las que la velocidad de la luz es c=1, un pulso de luz que se aleja de O se representaría mediante una diagonal de 45º, bisectriz del ángulo formado por los ejes t y x, como se ve en la figura inferior (la línea amarilla punteada representa el pulso de luz).

Imaginemos ahora un segundo observador O‘ en estado de movimiento uniforme relativo con respecto a O. Su trayectoria se representaría según este último como la recta t’, que formaría un ángulo menor de 45º con t, por tratarse de una trayectoria a velocidad inferior a la de la luz. Es fácil ver de hecho que la pendiente de esta recta es 1/v. Este segundo observador se percibirá a sí mismo en reposo, por lo que su trayectoria representa la recta x’=0, o lo que es lo mismo, el eje de tiempo en su sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, la trayectoria del pulso de luz también será bisectriz del ángulo formado por t’ y x’, lo que nos da la posición de este último eje. Su pendiente será precisamente v, la velocidad de O‘ relativa a O. Puede parecer sorprendente en primera instancia que los ejes t’ y x’ no formen un ángulo de 90º tal y como t y x, pero hay que recordar que no estamos en el espacio euclídeo al que estamos acostumbrados, sino en un espacio con una geometría diferente. De hecho, en un sentido profundo t’ y x’ son ortogonales, de la misma manera que t y x, aunque para constatar esto necesitamos un elemento adicional: la métrica.

Intuitivamente, la métrica es el mecanismo que empleamos para medir distancias entre puntos del espacio-tiempo. Matemáticamente se trata de un tensor G de tipo (0,2), esto es, de una función lineal en sus dos parámetros, que toma dos vectores y devuelve un número real. Dicho valor real G(r,s) es precisamente el producto interno de los vectores r y s, y en un cierto sistema de referencia puede expresarse como

donde g_αβ, r^α, y s^β son los componentes en dicho sistema de referencia del tensor métrico G y de los vectores r y s respectivamente (normalmente se emplea en estos casos una notación más cómoda en la que los sumatorios están implícitos cuando se da una cierta coincidencia entre sub- y superíndices). Puede verse que en el espacio euclídeo al que estamos más acostumbrados, la métrica se expresaría en un sistema de referencia ortonormal como una matriz identidad, es decir, g_αβ=1 si α=β, y g_αβ=0 en otro caso. De esa manera, recuperamos el producto escalar en la forma bien conocida:

.

En el espacio-tiempo de Minkowski la métrica es muy similar, y únicamente hay una diferencia: uno de los elementos de la diagonal (el que corresponde con la dimensión temporal) tiene signo distinto al resto de elementos (las dimensiones espaciales). Vamos a suponer que dicho signo es negativo (sin pérdida de generalidad, ya que es equivalente suponer lo contrario). Hablamos entonces de signatura (­-+++). El próximo día consideraremos las implicaciones de esta métrica, y cómo las transformaciones de Lorentz pueden obtenerse a partir de la misma.

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

“Las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer ante Vds. han brotado del suelo de la física experimental, y ahí reside su fuerza. Son radicales. En lo sucesivo el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos mantendrá una realidad independiente.“

Hermann Minkowski, 21 de septiembre de 1908

Tal día como hoy hace exactamente 100 años Hermann Minkowski, profesor de Matemáticas en la Universidad de Gotinga, se dirigió a la 80ª Asamblea de Físicos y Científicos Naturales Alemanes y pronunció las palabras anteriores. Había nacido el concepto del espacio-tiempo.

Minkowski, matemático alemán de origen judeo-polaco nacido en Lituania (Europa era un lugar divertido en aquella época, crisol de culturas and all the fish), tuvo siempre a la geometría como su área de trabajo fundamental, por lo que no es de extrañar que fuera él el que diera el paso decisivo para dotar de interpretación geométrica a la Relatividad Especial. Curiosamente, el propio Einstein no supo apreciar inicialmente el valor de esta interpretación, y la consideró como poco más que una reformulación artificiosamente compleja de los principios de la Relatividad. Visto con retrospectiva, resulta interesante que en aquellos primeros años Einstein no valorara en su justo grado la elegancia y la simplicidad del espacio-tiempo de Minkowski. Es posible que además de un cierto anhelo -sui generis, habría que decir- de mantener las cosas sencillas, Einstein no fuera del todo ajeno a la impresión personal que de Minkowski tenía. Hay que recordar que éste fue uno de sus profesores en el Politécnico de Zurich, y que como con muchos otros docentes del ETH, su relación con él durante los estudios no fue buena. De hecho, cuando Minkowski tuvo conocimiento por primera vez del trabajo de Einstein en relación a la Relatividad Especial le comentó a Max Born:

“Ah, ¿Einstein? Siempre se saltaba las clases. Nunca le hubiera creído capaz de esto.“

Sin embargo, hay que poner en el haber de Minkowski que -a diferencia de otros profesores- no sólo llegara a aceptar y trabajar en los postulados de Einstein, sino que descubriera una visión de la Relatividad Especial -el espacio-tiempo plano y absoluto- que unos años más tarde sería la base de partida de Einstein para la incorporación de la gravedad en la teoría, y el consiguiente desarrollo de la Relatividad General. Esto ocurría a partir de 1912, pero Minkowski no vivió para verlo. Una apendicitis fulminante acabó con su vida a la edad de 44 años en 1909. Su legado es sin embargo imperecedero, y si el tiempo y la autoridad lo permiten, volverá a estas páginas en los próximos días.

Que la flamme | Qui brûle son âme | Allume ton brandon.

This is a rendition by Les Musiciens du Louvre under the direction of Marc Minkowski. And, as always, Minkowski does it best.

Part One.

Part Two.

En répondant à un commentaire sur la Grande Question du Temps, je me suis aperçu que le mètre et la seconde apparaissaient ensemble dans toutes les unités des constantes universelles:

Albert et Max (Einstein et Planck)

Or, comme expliqué dans “Le temps, une 4ème dimension imaginaire“, la relativité d’Albert lie le temps et l’espace par la vitesse de la lumière : actuellement, la définition du mètre est d’ailleurs basée sur celle de la seconde, mais dans cet “espace-temps” (dit de Minkowski) , le temps est une dimension “imaginaire” au sens mathématique du terme :

1 [s] = i. 300′000′000 [m], où i est l’unité imaginaire telle que i²=-1

En introduisant la seconde comme équivalente, à un facteur près, à des mètres imaginaires dans les unités des constantes universelles on obtient :

N’est-ce pas merveilleux ? non seulement la vitesse de la lumière devient une constante purement géométrique, mais les “constantes du vide” retrouvent leur parenté oubliée…

Le plus amusant dans ce petit jeu, c’est de voir ce que devient l’unité d’énergie, le Joule avec cette manipulation :

1 J = 1 kg·m²/s² ≈ -1 kg

L’énergie, c’est une masse négative ! Ah, me direz vous, mais Albert  a dit que E=m.c², donc que (beaucoup) d’énergie était équivalent à (un peu) de masse ! Oui, mais c est proportionnel au nombre imaginaire i, donc c² ≈ i² = -1, donc c’est bien ça : l’énergie correspond à de la masse négative.

Pour demain, démontrez que : E+m = 0, donc qu’avec un peu d’imagination, la somme de tout ce qui existe pourrait être rigoureusement nulle

Références:

1. “analyse dimensionnelle” sur Wikipedia
2. “Unités de Planck” sur Wikipedia

[Klamkin] Buktikan untuk bilangan real .

Solusi
Dengan ketaksamaan Minkowski, didapat bahwa ruas kiri lebih besar atau sama dengan . Dengan power mean inequality dan misalkan , nilai di dalam akar lebih besar atau sama dengan . Maka ruas kiri pada soal lebih besar atau sama dengan .

“¿UNA NUEVA DIMENSION TEMPORAL?”

Ángel Rey Gallego

Puede sonar extraño hablar de nuevas dimensiones temporales, pero se están considerando en diversas teorías exóticas como la del “hipertiempo”. Me gustaría hacer una pequeña reflexión filosófica sobre un nuevo concepto de tiempo y una posible consecuencia que tendrían los viajes en el tiempo, que podrían dar lugar a otra dimensión temporal aparte de la habitual.
Representamos el “espacio-tiempo” como una superficie con el “eje y” correspondiendo al tiempo y el “eje x” a las tres dimensiones del espacio (de forma análoga a los “diagramas de Minkowski” en que el tiempo se representa en el “eje y” y el espacio total a lo largo del “eje x”, siendo los puntos del diagrama los “sucesos”). Quedaría el “eje z” para la idea que me dispongo a proponer: un “tiempo prima t’” en cierta forma “perpendicular” a nuestro tiempo habitual u ordinario, el “tiempo convencional t”.
Suponiendo que sean posibles los viajes en el tiempo (como saltos de un instante a otro separados entre sí, no nuestro desplazamiento habitual a la velocidad de un segundo por segundo pasando por todos los instantes de forma continua), el sistema debería ser coherente consigo mismo, por lo que no debería haber lugar a paradojas. Una forma propuesta sería la creación o generación de universos paralelos.
Estos universos no tendrían por qué suponer la destrucción del universo original o primigenio, puesto que si algo ha existido es de suponer que su concepto exista de alguna forma en algún momento y/o lugar, ya que si no, no habría existido nunca (de igual forma que para nosotros los sucesos ocurridos en el pasado los situamos en algún punto de un eje de coordenadas temporales que hemos fijado).
Pongamos por ejemplo la famosa “paradoja del abuelo”: un viajero se dirige hacia atrás en el tiempo, encuentra a su abuelo cuando era joven, tiene una fuerte discusión con él y lo mata; nuestro viajero en el tiempo ya no podría nacer, con lo que habría generado un universo. Un nuevo universo dependiente del original en tanto en cuanto que sin éste nunca habría existido al ser el lugar de procedencia del viajero en el tiempo.
Suponemos también que sigue siendo válido el “principio de causalidad”, pero redefinido en torno a esta idea de “tiempo prima” que pretendo exponer.

En la “gráfica 1” representamos el “plano π”, el espacio-tiempo primigenio de origen del viajero en el tiempo, que parte de “A” y llega a “B” de un salto, donde crea otro espacio-tiempo, el “plano σ”, en el que mata a su abuelo.
En adelante, para aclarar la imagen, eliminamos en “eje x” de dimensiones espaciales y pasamos a hablar de “líneas de universos paralelos”.

En la “gráfica 2” vemos la idea simplificada. Obviamente existe un antes y un después del asesinato del abuelo, una causa y un efecto, pero no en un sentido convencional, sino, por decirlo de alguna manera, en dirección “ortogonal” al tiempo convencional t. Como consecuencia, el tiempo prima t’ daría cuenta de los cambios en los diferentes espacio-tiempos, permitiendo pervivir al universo original (“línea π”) para eliminar la paradoja del abuelo y similares. El tiempo se define como la “duración de las cosas sujetas a mudanza” o la “medida de esta duración”, en definitiva, una medida del cambio, con lo que es razonable llamar t’ a la línea de desarrollo de los acontecimientos cambiantes que no se producen en la dirección del tiempo convencional t.
Es posible que el viajero en el tiempo no pudiera volver a la “línea π”, pero eso no impediría que hubiera existido (y quizás siga existiendo y no se destruya con el asesinato del abuelo) en algún momento a lo largo de t’.
Se podría especular que la física cuántica podría dar lugar a múltiples líneas de t’ para dar cuenta de todas las posibilidades de estados cuánticos (recuérdese la función de onda del “gato de Schrödinger“), con lo que podrían aumentar aún más las 5 dimensiones aquí expuestas: las 3 espaciales y las 2 temporales.
También cabe añadir una pequeña reflexión respecto a nuestro universo: ¿pertenecemos al universo original, virgen de cambio alguno en t’; es decir, el t’ = 0? Pensar esto puede ser un tanto pretencioso por nuestra parte o, en caso de ser cierto, un atisbo de la imposibilidad de viajar dando saltos en el tiempo; no olvidando que el viaje a velocidades cercanas a la luz no sería un viaje en el tiempo a través de un “salto” de un instante a otro porque este viajero tendría su tiempo propio, pero circularía en un mismo continuo temporal (suponiendo que el tiempo no esté cuantizado).
Todas estas reflexiones, al ir más allá del mundo experimental, son más metafísica que física, entroncando más en la filosofía que en la investigación científica, quedando de momento nada más que como un divertimento intelectual.