Le quatrième et dernier problème de la Google Treasure Hunt 2008 mérite un article à lui tout seul. (J’ai parlé des trois autres dans cet article et ses commentaires)

Il s’agit de trouver le plus petit nombre premier P qui soit en même temps :

• la somme de 9 nombres premiers consécutifs
• la somme de 119 nombres premiers consécutifs
• la somme de 215 nombres premiers consécutifs
• et la somme de 675 nombres premiers consécutifs !

(les nombres 9, 119, 215 et 675 sont différents pour chaque concurrent…)

C’est étonnant, mais beaucoup de nombres premiers sont des sommes de nombres premiers consécutifs (abrégé SNPC ci après), par exemple :

5+7+11+13+17 = 53
7+11+13+17+19 =67
11+13+17+19+23 =83

De plus, il est fréquent qu’un même nombre premier soit égal à plusieurs SNPC. Par exemple sur ce site on mentionne:

34421 = 269 + … + 709 (71 nombres premiers)
34421 = 1429 + … + 1571 (23 nombres premiers)
34421 = 3793 + … + 3853 (9 nombres premiers)
34421 = 4889 + … + 4937 (7 nombres premiers)
34421 = 11467 + … + 11483 (3 nombres premiers)

Le nombre P recherché n’est donc peut-être pas très grand, d’autant que la somme des 675 premiers nombres premiers ne vaut que 1′578′242. Il n’y a probablement pas besoin de calculer en “bigint”, les entiers sur 32 bits, voire 64 disponibles avec n’importe quel langage de programmation devraient suffire. Par contre, il est pratique de disposer de fonctions prédéfinies pour manipuler des nombres premiers, c’est pourquoi j’ai choisi d’utiliser Mathematica.

Les fonctions suivantes suffisent pour résoudre le problème posé:
(code modifié le 4/6/8 suite aux commentaires de b0z0)

SCP[i_, n_] := Sum [Prime[j], {j, i, i + n - 1}]
PSP[n_, i_] := {m = i; While[p = SCP[m, n]; Not[PrimeQ[p]], m++]; p, m}
PSP[n_] := PSP[n, 1]
CPSP[list_] := {p = Map[PSP, list]; p1 = {};
  While[p != p1, p1 = p; Print[p];
   For[i = 2, i <= Length[list], i++,
    While[p[[i, 1]] < p[[1, 1]],
      p = ReplacePart[p, i -> PSP[list[[i]], p[[i, 2]] + 1]]];
    While[p[[1, 1]] < p[[i, 1]],
      p = ReplacePart[p, 1 -> PSP[list[[1]], p[[1, 2]] + 1]]];
  ];
 ]
}

La fonction SCP (Sum of Consecutive Primes) renvoie la somme des n nombres premiers consécutifs en commençant par le i-ème nombre premier en utilisant la fonction prédéfinie Prime[j] qui renvoie directement le j-ème nombre premier.

Cette somme n’étant pas forcément un nombre premier, la fonction PSP (Prime Sum of Primes) appelle répétitivement SCP en augmentant i jusqu’à ce que la somme soit un nombre premier, vérifié grâce au test de primalité PrimeQ, une fonction non triviale bien utile ici. Pour une raison expliquée plus bas, PSP renvoie une paire de résultats : la somme, et l’indice du premier nombre premier de la somme.

Enfin, la fonction CPSP (Compound Prime Sum of Primes) implante l’algorithme que j’ai inventé pour la circonstance. Elle prend en paramêtre la liste des nombres de nombres premiers consécutifs sommés. Pour résoudre notre problème, on appellera  CPSP[{675, 215, 119, 9}]

1. on initialise une liste p avec les n résultats de PSP obtenus pour chacun des nombres de nombres premiers consécutifs à additioner. Ainsi, pour CPSP[{675, 215, 119, 9}], p est initialisé à {{1583291,2},{149993,15},{41641,10},{127,2}}. Autrement dit, 1583291 est le plus petit nombre premier qui soit la somme de 675 nombres premiers consécutifs, et cette somme commence avec le 2ème nombre premier. 149993 est le plus petit nombre premier qui soit la somme de 215 nombres premiers, en commençant par le 15ème, et ainsi de suite
2. par paresse (qualité indispensable chez les programmeurs…) , la détection de la fin de l’algorithme est réduite au minimum vital : dès que la liste p n’est plus modifiée par l’algorithme, on arrête
3. Pour chaque élément de la liste p en commençant par le deuxième, on regarde si la somme est inférieure à la somme du premier indice. Si c’est le cas, on calcule une somme supérieure en incrémentant l’indice correspondant, jusqu’à ce que la somme soit égale à la première, ou la dépasse. Après cette étape, la liste p devient {{1583291,10},{1600981,840},{1589563,1526},{1584829,15997}} : on voit que les sommes 2,3 et 4 ont dépassé la somme 1
4. Si la somme 1 est plus petite que la somme 2, on augmente la somme 1 jusqu’à ce que’elle atteigne ou dépasse la somme 2. On arrive ainsi à {{1623917,10},{1600981,840},{1589563,1526},{1584829,15997}}. On boucle au point 2

Les trois dernières boucles donnent les listes suivantes qui montrent bien le fonctionnement de l’algorithme:

{{8256361,1127},{8112103,3883},{8115539,6728},{8112787,71376}}
{{8275409,1130},{8259353,3947},{8264171,6833},{8256383,72536}}
{{8275409,1130},{8275409,3954},{8275409,6841},{8275409,72696}}

et voilà : 8′275′409 est égale à la somme des:

• 675 nombres premiers consécutifs à partir du 1130-ème (9109)
• 215 nombres premiers consécutifs à partir du 3954-ème (37339)
• 119 nombres premiers consécutifs à partir du 6841-ème (68821)
• 9 nombres premiers consécutifs à partir du 72696-ème (919421)

Quelques minutes pour choisir le bon outil (Mathematica) + quelques minutes de programmation + 30 secondes de calcul, c’est gagné !

Voici la vidéo d’un colloque (pour public scientifique au sens large) de Terence Tao sur ses travaux récents avec ses collaborateurs sur le thème Structure et aléatoire dans les nombres premiers (après les longues 3 minutes 44  d’introduction).

A l’occasion de la découverte de la plus grande paire de nombres premiers jumeaux, et en parallèle avec la rédaction d’un articule sur le calcul distribué, j’ai partiellement ré-écrit cet article de 2005 sur les nombres premiers.

Introduction

Un nombre P est premier s’il ne se divise que par 1 ou lui-même. Il n’est donc “pas dans le livret”, autrement dit, il n’existe pas deux nombres entiers A et B plus grands que 1 tels que A x B = P.

Les premiers nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 …

Le grands nombres premiers ont une grande importance pratique en cryptographie, donc dans les dispositifs de sécurité informatique ou électronique, les systèmes de paiement etc.

Ces systèmes vitaux actuellement se basent sur des idées connues depuis des millénaires, mais qui n’ont été prouvées que récemment. Par exemple:

1. pour être absolument certain qu’un nombre N est premier, il faut essayer de le factoriser (trouver ses facteurs A et B, par lesquels on pourrait diviser N), ce qui implique d’essayer un grand nombre de divisions, et ça prend beaucoup de temps.
2. il existe des “tests de primalité” qui peuvent dire très rapidement si un nombre est “très probablement” premier ou pas, sans effectuer de factorisation : si le test dit que le nombre n’est pas premier, il n’en fournit pas les facteurs.
3. il n’existe pas de formule qui donnent à coup sur des nombres premiers, mais il en existe qui marchent une 40aine de fois de suite, ce qui n’est pas mal du tout:
   • 103n²-3945n + 34381 est premier pour n=0,1,…,42 (R. Ruby)
   • 47n²^2-1710n + 10181 est premier pour n=0,1,…,42 (G. Fung)
   • 36n²^2-810n + 2753 est premier pour n=0,1,…,44 (R. Ruby)

Nombres de Mersenne et grands nombres premiers

Les “nombres de Mersenne” 2ⁿ-1 sont “assez souvent” des nombres premiers, par exemple:

2²-1=3, 2³-1=7, 2⁵-1=31, 2⁷-1=127, 2¹³-1=8191

Comme 2^n-1 est une fonction exponentielle, on peut trouver “facilement” de très grands nombres premiers

En 1588, P. Cataldi calcul a que 2¹⁷-1=131071 et 2¹⁹-1 = 524 287 sont premiers, puis Euler en 1750 prouva que 2³¹-1=147′483′647 est premier.

S’ensuivit une course au plus grand nombre premier dont on trouve un historique sur la Wikipedia.

En 1878, Edouard Lucas énonça un test de primalité très puissant, qui lui permit de prouver que 2¹²⁷-1 = 170141183460469231731687303715884105727 est premier, sans effectuer les divisions

les nombres premiers suivants furent découvert dès 1952 avec des ordinateurs.

Actuellement, le plus grand nombre premier connu est 2^{32′582′657}-1. Il fait 9′808′358 décimales et à été découvert en septembre 2006 par le projet GIMPS, dont je reparle dans un article sur le calcul distribué.

Nombres premiers jumeaux

En examinant la différence entre des nombres premiers consécutifs, on s’aperçoit qu’elle vaut plus souvent 2 que toute autre valeur. Il existe donc des nombres premiers “jumeaux” : 5-7, 11-13, 17-19 par exemple, mais on en connait de beaucoup plus grands. En fait on pense qu’il existe une infinité de telles paires. Comment les trouver ? Par exemple en cherchant “autour” des nombres de Mersenne !

Le 15 janvier 2007, des nombres premiers jumeaux de 58′711 décimales ont été trouvés, également en utilisant le calcul distribué. Ce sont 2′003′663′613 × 2^195′000±1

Curiosités

La Spirale d’Ulam

Un matheux nommé Ulam s’ennuyait à une conférence et à commencé à écrire les nombres 1,2,3,4 etc en spirale sur du papier quadrillé, puis à noircir les cases correspondant aux nombres premiers.

A sa grande surprise il a vu apparaitre des “lignes” obliques qui correspondent à des fonctions génératrices de nombres premiers de forme a.n²+b.n + c, comme les fonctions mentionnées plus haut. (voir la wikipedia)

En généralisant, on peut colorier les cases de la spirale d’Ulam avec une couleur représentant le nombre de facteurs premiers de chaque case. Mais ma représentation préférée est celle-ci, dans laquelle le nombre de facteurs définit le rayon de petites boules centrées à chaque case :

Un copain métaphysique m’a sommé de mentionner aussi la “Croix de Plichta”, mais il s’agit AMHA d’une justification un peu simpliste de la théorie ésotérique un peu planante de monsieur Plichta…

Pourquoi simpliste :

1. 2 et 3 sont des premiers par définition. Pourtant ils ne sont pas marqués comme tels dans la croix.
2. Le nombre situé sur le rayon R (de 1 à 24) au Nième tour s’écrit R+24*(N-1). Donc si R est multiple de 2 ou 3, tous les nombres sur les mêmes rayons le seront aussi et ne seront donc pas premiers. La “croix” résulte donc d’un “crible” par 2 et 3.
3. Les nombres sur les rayons magiques ne sont pas tous premiers, et c’est bien là le problème…

Bref, ne pas se laisser impressionner par une quelconque régularité apparente des petits nombres premiers…

Références

1. Wikipedia
2. “Merveilleux nombres premiers”, Jean-Paul Delahaye, Belin, 2000
3. articles de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science
4. Feuille Maple sur les repunits