relatif-prima &laquo; WordPress.com Tag Feed http://en.wordpress.com/tag/relatif-prima/ Feed of posts on WordPress.com tagged "relatif-prima" Tue, 05 Jan 2010 14:29:14 +0000 http://en.wordpress.com/tags/ en <![CDATA[Persamaan eksponensial]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/10/persamaan-eksponensial-2/ Tue, 10 Jun 2008 15:17:04 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/06/10/persamaan-eksponensial-2/

[IMOmath Tests] Persamaan 2^{333x-2}+2^{111x+2}=2^{222x+1}+1 memiliki tiga akar real. Jika jumlah ketiga akarnya ditulis dalam bentuk \frac{m}{n}, di mana m,n bilangan real positif yang relatif prima, tentukan m+n.

Solusi
Misalkan 2^{111x}=r. Jika akar-akarnya adalah x_1,x_2,x_3, maka r_1\cdot r_2\cdot r_3=2^{111(x_1+x_2+x_3)}. Persamaan pada soal menjadi \dfrac{r^3}{4}+4r=2r^2+1, atau r^3-8r^2+16r+4=0. Dengan teorema Vieta, didapat r_1\cdot r_2\cdot r_3=4, sehingga 4=2^{111(x_1+x_2+x_3)}. Maka x_1+x_2+x_3=\dfrac{2}{111}, sehingga didapat m+n=113.

]]> <![CDATA[Sistem persamaan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/05/sistem-persamaan/ Sat, 05 Apr 2008 12:56:22 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/04/05/sistem-persamaan/

[AIME 2008] Misalkan a dan b adalah bilangan real positif dengan a\ge b. Misalkan \rho adalah nilai maksimum \frac{a}{b} di mana sistem persamaan

a^2+y^2=b^2+x^2=(a-x)^2+(b-y)^2

memiliki solusi (x,y) yang memenuhi 0\le x<a dan 0\le y<b. Maka \rho^2 dapat dinyatakan sebagai pecahan \frac{m}{n} di mana m dan n adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan m+n.

Solusi
Perhatikan bahwa

a^2+y^2=(a-x)^2+(b-y)^2\rightarrow a^2+y^2=a^2-2ax+x^2+b^2-2by+y^2\rightarrow b^2+x^2=2ax+2by.

Dengan cara yang sama, dengan memperhatikan ruas tengah dan ruas kanan, didapat a^2+y^2=2ax+2by. Maka didapat

a^2+y^2=b^2+x^2=2ax+2by.

Tetapi 2by\ge y^2, sehingga 2ax\le a^2. Ini menyebabkan x\le \frac{a}{2}. Perhatikan bahwa b^2+x^2=a^2+y^2\ge a^2. Maka b^2\ge\frac34a^2. Terdapat solusi (a,b,x,y)=(1,\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0), di mana kesamaan b^2\ge\frac34a^2 terjadi. Jadi nilai maksimum \rho^2 adalah \frac43. Maka m+n=7.

]]> <![CDATA[Rasionalitas logaritma]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/14/rasionalitas-logaritma/ Thu, 14 Feb 2008 08:58:14 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/14/rasionalitas-logaritma/

[Afrika Selatan 1998] Apakah ^{10}\log8 bilangan rasional?

Solusi
Jika ^{10}\log8 bilangan rasional, misalkan ^{10}\log8=\frac{a}{b}, di mana a dan b adalah dua bilangan asli yang relatif prima.

Maka

10^a=8^b,

sehingga

2^a\cdot5^a=2^{3b}.

Membandingkan pangkat dari 2, maka a=3b. Tetapi ini menyebabkan ^{10}\log8=3 dan 8=1000. Maka terjadi kontradiksi, dan ^{10}\log8 adalah bilangan irasional.

]]> <![CDATA[Barisan satu lebihnya dari pangkat dari dua]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/12/barisan-satu-lebihnya-dari-pangkat-dari-dua/ Tue, 12 Feb 2008 06:13:53 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/12/barisan-satu-lebihnya-dari-pangkat-dari-dua/

[Mathematical Olympiad Treasures] Buktikan bahwa bilangan-bilangan F_n=2^{2^n}+1, n=0, 1, 2, 3, \ldots, adalah relatif prima.

Solusi
Misalkan m>n dan d=\text{FPB}(F_m,F_n). Perhatikan bahwa

F_m-2=2^{2^m}-1=(2^{2^{n+1}})^{2^{m-n-1}}-1.

habis dibagi 2^{2^{n+1}}-1. Tetapi

2^{2^{n+1}}-1=(2^{2^n}+1)(2^{2^n}-1)=(2^{2^n}-1)F_n.

Maka F_m-2 habis dibagi F_n. Maka kita dapat menemukan bahwa d adalah faktor dari 2. Tetapi setiap bilangan itu adalah bilangan ganjil, sehingga d=1.

]]> <![CDATA[Rata-rata tanpa empat bilangan genap]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/08/rata-rata-tanpa-empat-bilangan-genap/ Fri, 08 Feb 2008 15:37:16 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/08/rata-rata-tanpa-empat-bilangan-genap/

[In Polya's Footsteps] Empat bilangan genap berurutan dibuang dari himpunan A=\{1,2,3,\ldots,n\}. Jika rata-rata dari bilangan yang tersisa adalah 51,5625, empat bilangan manakah yang dibuang?

Solusi
Misalkan S adalah jumlah dari bilangan-bilangan yang tersisa. Maka S/(n-4)=51,5625=825/16, atau 16S=825(n-4). Karena 16 dan 825 relatif prima, maka n-4 habis dibagi 16, dan dapat dimisalkan n=16t+4, untuk suatu bilangan asli t (t\ne0 karena n\ge8 karena terdapat 4 bilangan genap).

Jumlah bilangan pada A adalah \frac12n(n+1), sehingga rata-ratanya \frac12(n+1). Setelah empat bilangan dibuang, rata-ratanya kemungkinan berubah, tetapi mungkin tidak banyak. Maka dapat diasumsikan \frac12(n+1) tidak jauh dari 51,5625, sehingga n tidak jauh dari 103,125. Karena nilai 16t+4 yang dekat dengan 103,125 adalah 84, 100, dan 116, dapat kita periksa satu-persatu.
(i) n=84. Nilai maksimum dari S adalah jika bilangan yang dibuang adalah 2, 4, 6, 8, yaitu

S=\dfrac{(1+2+3+\cdots+80)-(2+4+6+8)}{80}=44,375.

Maka ini tidak mungkin, sehingga n\ne84.

(ii) n=116. Nilai minimum dari S adalah jika bilangan yang dibuang adalah 110, 112, 114, 116, yaitu

S=\dfrac{(1+2+3+\cdots+116)-(110+112+114+116)}{112}=56,55\ldots.

Maka ini tidak mungkin, sehingga n\ne116.

Jadi n=100. Misalkan bilangan yang dibuang adalah a-3, a-1, a+1, a+3. Maka

\dfrac{(1+2+3+\cdots+100)-4a}{96}=\dfrac{825}{16}.

Maka a=25, sehingga bilangan yang dibuang adalah 22, 24, 26, 28.

]]> <![CDATA[Tiga angka terakhir dari pangkat bilangan]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/07/tiga-angka-terakhir-dari-pangkat-bilangan/ Thu, 07 Feb 2008 10:33:09 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/02/07/tiga-angka-terakhir-dari-pangkat-bilangan/

[Easy as \pi?] Buktikan bahwa terdapat suatu bilangan asli n sehingga 29^n berakhiran dengan 001.

Solusi
Karena terdapat 1000 angka dari 000 sampai 999, maka di antara 29^1, 29^2, 29^3, \ldots, 29^{1001} terdapat dua bilangan yang tiga angka terakhirnya berbeda (dari prinsip rumah burung). Maka misalkan 29^k dan 29^l berakhiran dengan tiga angka yang sama, di mana k>l.

Maka 29^k-29^l habis dibagi 1000. Tetapi 29^k-29^l=29^l(29^{k-l}-1) harus habis dibagi 1000, sedangkan 29^l tidak mungkin habis dibagi 1000, karena 29 dan 1000 relatif prima. Maka 29^{k-l}-1 habis dibagi 1000, dan berakhiran dengan 000. Maka 29^{k-l} berakhiran dengan 001. Terbukti.

]]> <![CDATA[Pecahan besar]]> http://artofmathematics.wordpress.com/2008/01/21/pecahan-besar/ Mon, 21 Jan 2008 11:41:12 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/2008/01/21/pecahan-besar/

[IMO 1979] Jika diketahui 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{1319}=\dfrac{p}{q}, di mana p dan q adalah dua bilangan asli yang relatif prima. Buktikan bahwa p habis dibagi 1979.

Solusi
Dari post sebelumnya, kita mendapat

1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots-\dfrac{1}{1318}=\dfrac{1}{660}+\dfrac{1}{661}+\dfrac{1}{662}+\ldots+\dfrac{1}{1318}.

Maka

\dfrac{p}{q}=\dfrac{1}{660}+\dfrac{1}{661}+\dfrac{1}{662}+\ldots+\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}.

Kita kelompokkan menjadi

\displaystyle\left(\dfrac{1}{660}+\dfrac{1}{1319}\right)+\ldots+\displaystyle\left(\dfrac{1}{989}+\dfrac{1}{990}\right)=\dfrac{1979}{660\cdot1319}+\ldots+\dfrac{1979}{989\cdot990}.

Maka, kita dapat menulis pecahan itu sebagai

\dfrac{p}{q}=\dfrac{1979\cdot k}{660\cdot661\cdot\ldots\cdot1319}.

Tetapi, 1979 adalah bilangan prima dan setiap faktor pada penyebut lebih kecil dari 1979. Maka, pembilang itu memiliki faktor 1979, sehingga p habis dibagi 1979.

]]>