1. adalah tali busur sebuah lingkaran sehingga . Titik adalah pusat lingkaran. Perpanjangan memotong lingkaran di titik . Jika , tentukan jari-jari lingkaran.

Solusi:

Misalkan memotong lingkaran lagi di titik , misalkan juga jari-jarinya . Maka dengan teorema kuasa titik, , atau . Jadi .

OSN 2008 baru saja dilaksanakan. Berikut ini soal pertama pada hari pertama.

Diberikan segitiga . Titik di luar segitiga sedemikian sehingga adalah segitiga sama sisi. Buktikan bahwa ketiga lingkaran luar segitiga tersebut berpotongan di satu titik.

Sebutlah titik potong lingkaran luar dengan lingkaran luar adalah . Maka akan dibuktikan lingkaran luar melalui , dengan kata lain adalah segi empat tali busur. Tetapi . Jadi , sehingga terbukti.

[IMO 2006] Misalkan adalah segitiga dengan pusat lingkaran dalam . Titik berada di dalam segitiga sehingga . Buktikan bahwa dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika .

Solusi
Perhatikan bahwa . Jadi . Perhatikan juga bahwa . Jadi , yang menyebabkan adalah segiempat tali busur. Buat lingkaran luar . Fakta terkenal bahwa pusat lingkaran itu adalah titik tengah busur . Mudah dilihat bahwa kolinear. Jadi, adalah suatu titik di keliling lingkaran itu. Jarak minimum ke suatu titik di keliling lingkaran itu jelas adalah . Maka terbukti.

[Central American 2003] adalah diameter suatu lingkaran. adalah titik pada garis singgung lingkaran di titik , sehingga berada di antara dan . adalah perpotongan lingkaran dengan , berturut-turut. adalah perpotongan lingkaran dengan berturut-turut. Buktikan bahwa .

Solusi
Perhatikan bahwa . Jadi sehinga adalah segiempat tali busur. Jadi , sehingga . Ini menyebabkan , dan . Terbukti.

[CentroAmerican 2008] Misalkan adalah segiempat tali busur, yang lingkaran luarnya berpusat di dan adalah diameternya. Jajar genjang dan dibuat. Jika dan berada pada keliling lingkaran, maka buktikan adalah persegi panjang atau persegi.

Solusi
Perhatikan bahwa , sehingga sama dengan panjang radius lingkaran. Dan juga, , sehingga juga memiliki panjang radius lingkaran. Karena adalah diameter, maka . Jadi pasti persegi panjang atau persegi.

[Kanada 1971] adalah tali busur dari lingkaran dengan pusat di titik . Misalkan adalah titik pada sehingga . diperpanjang dan memotong lingkaran di . Jika , tentukan radius lingkaran.

Solusi
Perpanjang EO, sehingga memotong lingkaran di . Karena , maka , dan .

[IMO Longlist 1987] adalah segitiga sembarang. Titik dipilih secara sembarang pada sisi . Dibuat pada sisi berturut-turut, sehingga . Tentukan di mana titik sehingga panjang minimum.

Solusi
Karena , sehingga adalah segiempat tali busur. Maka minimum jika minimum. Perhatikan bahwa minimum ketika adalah garis tinggi. Jadi panjang minimum ketika adalah titik pada sehingga adalah garis tinggi.

[Kanada 1969] Buktikan bahwa untuk setiap segiempat tali busur yang berada di lingkaran luar dengan radius 1, panjang sisi terkecilnya tidak lebih dari .

Solusi
Keempat titik sudut segiempat itu membagi keliling lingkaran menjadi empat busur yang jumlah panjangnya . Maka busur terkecil memiliki panjang tidak lebih dari . Dua titik di ujung busur adalah titik sudut segiempat, yang membentuk satu sisi. Sisi ini memiliki panjang tidak lebih dari .

[In Polya's Footsteps] Misalkan median , garis bagi , dan garis tinggi dari membagi sudut menjadi empat bagian yang sama. Berapa ?

Solusi
Garis-garis itu membagi lingkaran luar menjadi busur-busur yang sama besar. Maka . Karena tegak lurus , maka juga tegak lurus . Jadi adalah diameter. Titik adalah tali busur dan titik adalah titik tengah busur . Jadi garis pasti melalui titik pusat lingkaran. Titik pusatnya pasti merupakan perpotongan dan , yaitu titik . Jadi adalah diameter, sehingga .