Paul Strathern en “Russell en 90 minutos” describe brevemente y con amenidad el teorema de Gödel:

“Segun la prueba de Gödel, todo sistema complejo, tal como las matemáticas, que trate de fundarse sobre axiomas está condenado a contener proposiciones aparentemente verdaderas cuya verdad o falsedad no puede ser probada dentro de él. Se tiene que introducir siempre otro axioma de fuera del sistema a fin de probar la verdad o la falsedad de tales proposiciones. Pero tan pronto como se introduce el nuevo axioma que las hace demostrables se generan nuevas proposiciones cuya verdad o falsedad no puede ser probada. En otras palabras, todo intento de basar las matemáticas en un conjunto de axiomas fundamentales está condenado al fracaso. Las matemáticas son incompletas por su propia naturaleza.”

Esta es una explicación del teorema de Gödel que, aunque deba precisarse más (ver en la Wikipedia para mayor profundidad), es bastante útil para entender los argumentos de mi blog en que hago uso de este teorema.

• Penrose, Roger: Lo grande, lo pequeño y la mente humana. Tres Cantos, Madrid : Akal, 2006
• Autores: Penrose, Roger ; Shimony, Abner ; Cartwright, Nancy ; Hawking, Stephen William

La presente obra constituye una introducción accesible, esclarecedora y estimulante a la visión de Roger Penrose sobre la futura física teórica del siglo XXI. En sus páginas se resumen y actualizan las originales y controvertidas ideas expuestas en sus populares libros ‘La nueva mente del emperador‘ y ‘Las sombras de la mente‘, e incluye incisivas contribuciones de Abner Shimony, Nancy Cartwright y Stephen Hawking.
En dos apéndices finales, el autor explica de forma clara y sencilla, por un lado, el teorema de Goodstein y el pensamiento matemático, y, por otro, nos muestra experimentos para poner a prueba la reducción de estado inducida gravitatoriamente.

“La lógica es invencible porque para combatir la lógica es necesario utilizar la lógica”. Pierre Boutroux.

Como a veces he hecho, voy a escribir estas líneas como un juego matemático-filosófico extravagante más parecido al delirante “poema cosmogónico” que es el “Eureka” de Edgar Allan Poe que a un ensayo filosófico al uso -pues muy posiblemente algunos argumentos no serían del agrado de Torkel Franzén-, aunque puedan tener su validez dentro de su enfoque místico.
Existen tres principios básicos del funcionamiento de la lógica aristotélica clásica: el principio de identidad (“todas las cosas son las que son”), el de no contradicción (“no pueden ser ciertos a la vez A y su negación no-A”) y el del tercero excluido (“todo enunciado es o verdadero o no verdadero”). La “lógica multivalente” es aquella que no tiene el principio del tercero excluido entre sus premisas, pues tiene más ‘valores de verdad’ aparte de los de verdadero o falso, como de indeterminado. Pero los dos primeros principios se siguen cumpliendo y los sistemas son consistentes (no se dan contradicciones).
Imaginemos ahora la Nada, antes de una hipotética Creación. No existiría todo lo que conocemos y damos por hecho, por lo que no habría tampoco leyes de la lógica: sería posible la contradicción.
Veamos algunas consecuencias.
Podría decirse que habría “cero entes” en la Nada (dejando de lado que quizá los conceptos mismos de ‘cero’ o de ‘conjunto vacío’ pudieran no tener sentido planteárselos en la Nada) y el cero es igual a cero, afirmación que verificaría el principio de identidad, pese a no tener la obligación de cumplirlo necesariamente como hemos dicho con anterioridad. Pero 0 = 0 sólo sería uno de los resultados posibles porque, al no existir el principio de no contradicción, podríamos escribir la contradicción 0 = 1 y, a partir de ahí, 0 = 1 + 0 = 1 + 1 = 2 y todos los números naturales, luego los enteros y demás, llegando finalmente a poderse estructurar todo un sistema inconsistente matemático (por el momento sólo nos circunscribimos a las matemáticas y la lógica, aunque las leyes del razonamiento lógico afecten a otros campos del conocimiento, como la Ciencia o la Teología Natural, que trataremos más adelante). Sin embargo, todo sería una inmensa indeterminación, ya que se podría demostrar cualquier cosa debido a la contradicción (posible de no existir en la Nada el principio que la impide).
En el interesante y muy aprovechable libro de John D. Barrow, “La trama oculta del universo”, vienen unas excelentes explicaciones -a un nivel accesible- de lógica y matemáticas que usamos en este artículo: las “definiciones” al inicio del presente texto que aclaran y sirven de resumen simplificado de cada uno de los tres principios lógicos aristotélicos y los pequeños párrafos que transcribiremos a continuación, además de la cita de Pierre Boutroux y la del Barón de Montesquieu que aparecerá más adelante. De Gödel dice que “estableció que cualquier sistema lógico lo bastante grande como para contener la aritmética ordinaria era necesariamente incompleto”. Éste es el teorema de la incompletitud de Gödel, pero también hay un teorema que asevera que “el que un sistema sea consistente es completamente equivalente a que algún enunciado dentro del sistema sea inderivable. No es difícil ver que este curioso enunciado es verdadero. En efecto, si el sistema es consistente, entonces no debe ser posible derivar el enunciado que dice que algo es verdadero y que se negación también es verdadera. Por lo tanto, este es un enunciado inderivable. Recíprocamente, si el sistema es inconsistente, entonces, por definición, se puede probar que algún enunciado y su contrario son ambos verdaderos. Si esto es así, puede probarse que un enunciado cualquiera será verdadero. Por lo tanto, no habría enunciados inderivables en un sistema inconsistente”.

El teorema de incompletitud de Gödel lo impide, pero se buscó infructuosamente durante mucho tiempo que “utilizando las reglas de deducción se pudiera demostrar que cualquier fórmula que se pueda formar con los símbolos de la aritmética es o verdadera o falsa. Si es posible una tal omnipotencia matemática, se dice que el sistema lógico es completo“. El teorema de Gödel (que niega la completitud de ciertos sistemas: “nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad”, como viene en la Wikipedia) se sustenta en leyes lógicas como el principio de no contradicción pero, eliminándolo, un sistema lógico puede ser completo a costa de la inconsistencia y, por tanto, no revestiría en principio de interés debido a su indeterminación intrínseca: todo podría demostrarse en el sentido que quisiéramos, “toda fórmula tiene prueba”.

Como hemos visto, la inconsistencia nos lleva a que cualquier enunciado sea verdadero, lo que en el fondo es una indeterminación total que no nos sirve en Ciencia (no nos permitiría concretar nada, ni hacer predicciones de hechos), pero, supuestamente, haría posible todo: si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; y nuestro universo podría ser sólo un caso particular con estas tres leyes lógicas restrictivas -y en realidad sólo dos, porque el principio del “tercero excluido” puede no darse en todo ámbito de lo que conocemos- que percibimos mediante nuestro sentido común en el seno de un sistema completo e inconsistente; omnipotente pero indeterminado y regido por un Ser que incluye distintas leyes en este caso particular que es nuestro universo, siendo éste una parte consistente e incompleta dentro de un total inconsistente y completo.

En definitiva, Dios puede contradecirse. Por responder a una cuestión expuesta por Homer Simpson que me propuso un amigo mío: “¿Puede Dios crear una rosquilla tan grande que ni él pueda acabarse?”, pregunta que en realidad es una reformulación de la “paradoja de la omnipotencia”. Claro que sí, pues puede contradecirse al poder ser “completo”: Dios, al ser todopoderoso, omnipotente debería tener una capacidad potencial para crear un sistema completo que contenga a la aritmética; pudiéndolo hacer si es capaz de “manejar” la inconsistencia. “Existe un dicho según el cual si los triángulos concibiesen un dios, lo imaginarían con tres lados”, dijo el Barón de Montesquieu, por lo que, pese a la aparente sorpresa y nuestra dificultad para imaginarlo, no debiera ser vista como inviable o descabellada la idea de un Dios que pueda no estar atado al principio de no contradicción (pero en cambio incluyéndolo en un universo que Él decide crear).

Si en la Nada no existe el principio de no contradicción, todo enunciado es verdadero como dije antes, y cero (la Nada) es, en principio, igual a cualquier cosa. Más que haber la Nada en el comienzo, sería el Caos -¿equivalente a la idea de un Dios o incluido en Él?-, producto de la “inmensa indeterminación” que mencionamos arriba. Un Caos como viene recogido en algunas leyendas o mitos (o incluido en algunas teologías) y hay un Dios que lo ordena todo y así “crea” nuestro universo (en el que se incluyen las tres leyes lógicas aristotélicas).

Quizá las mitologías griega y egipcia no anduvieran erradas al creer en un caos primigenio (que “toma conciencia de sí mismo” en el caso de los egipcios: ver la “Mitología Universal” de Juan B. Bergua) y la Creación sería el ordenamiento de todo; teorías como la del inconsciente colectivo y los arquetipos de Carl Gustav Jung podrían llegar a explicar, como un remedo de “implante” divino en el alma humana, el por qué algunas leyendas tienen a una situación caótica (y su ordenamiento) como Origen de las cosas.

• Penrose, Roger: Las sombras de la mente : Hacia una comprensión científica de la consciencia. Barcelona : Crítica, D.L. 2007

Roger Penrose, profesor de la Universidad de Oxford y autor de obras como La nueva mente del emperador o El camino de la realidad se enfrenta en Las sombras de la mente la ambiciosa tarea de llegar a una comprensión científica de la mente humana, que, en su opinión, no puede reducirse a los esquemas simplistas de quienes sostienen que la mentalidad consciente procede como un ordenador y puede explicarse en términos de modelos computacionales. Comienza por ello demostrando que la «comprensión» es algo que va mucho más allá de la mera computación, y trata de averiguar de qué modo la consciencia aparece «a partir de la materia, el espacio y el tiempo».

Penrose sostiene que mientras las señales neuronales pueden comportarse como sucesos explicables en términos de la física clásica, las conexiones entre las neuronas están controladas a un nivel más profundo, donde debe existir una actividad en la frontera cuántico/clásico. El nivel neuronal que nos describen las representaciones habituales del cerebro es una mera sombra de una actividad más profunda donde debe buscarse la base física de la mente: el campo mecano-cuántico que los humanos experimentamos como consciencia y libre albedrío. Su propuesta, tan atrevida, le obliga a profundizar en aspectos complejos e innovadores de la ciencia, pero deja abierto un camino para que, a través de una selección de las partes más accesibles del libro, cualquier lector pueda seguir con facilidad el argumento que expone.

Como ha dicho Christopher Lehmann-Haupt, Penrose nos revela en este libro mundos insospechados, difíciles de ver, pero que, conducidos por él, «resulta emocionante imaginar».